中考数学复习微专题：中考数学网格型模拟试题赏析

中考网格型试题赏析近几年中考中，网格型试题可谓大放异彩，这类试题构思精巧、形式活泼，能很好地考查图形变换、勾股定理、相似等数学知识，体现分类讨论、数形结合等重要的数学思想，当网格作为背景与双曲线、抛物线、圆、三角形结合时，更会出现许多让人意想不到的思路、方法，使我们在解题中感受到无穷的乐趣，本文撷取其中的几例进行解析，供参考．一、网格与双曲线结合例1在边长为1的4×4方格上建立直角坐标系（如图1），在第一象限内画出反比例函数、、的图象，它们分别经过方格中的一个格点、二个格点、三个格点；在边长为1的10×10方格上建立直角坐标系（如图2），在第一象限内画出反比例函数的图象，使它们经过方格中的三个或四个格点，则最多可画出()条．(A)12 (B)13 (C)25 (D)50 分析易知系数k为合数，且能分解成两个均不超过10的正整数的乘积的形式．如4＝1×4＝2×2，则反比例函数的图象经过以下3个格点：(1，4)，(2，2)，(4，1)．6＝1×6＝2×3，则反比例函数的图象经过以下4个格点：(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)．经过尝试，符合条件的k值共有13个，分别为：4，6，8，9，10，12，16，18，20，24，30，36，40．所以，经过方格中的三个或四个格点的反比例函数的图象最多可以画出13条．故选B．二、网格与抛物线结合例2已知图3中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？()(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 分析我们先解决如下问题：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，当a、b、c满足什么条件时，当x取任意整数时，函数值y都是整数？（为叙述方便，不妨假设抛物线开口向上．）当x＝0时，y＝c；当x＝l时，y＝a＋b＋c．∴c为整数，a＋b＋c为整数，∴a＋b必为整数，又∵当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝2a＋2(a＋b)＋c是整数，∴2a必为整数，∴a应为的整数倍，即a＝，1，，2，…从对称的角度考虑，建立如图4所示的平面直角坐标系． (1)若抛物线的顶点在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线过原点．所画抛物线y＝ax2（n＝，1，，2，…）最多能经过5个格点． (2)若抛物线的顶点不在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线），＝ax2＋bx＋c过原点和(1，0)．所画抛物线y＝ax(x－1)（a＝，1，，2，…）最多能经过8个格点．此时a＝，这8个格点分别为：(－3，6)，（－2，3），（－1，1），(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，3)，(4，6)．综上所述，抛物线最多能经过81个格点中的8个，故选C．三、网格与圆结合例3请你在12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的____个格点．分析从对称的角度考虑，建立如图5所示的平面直角坐标系．(1)如图5，若圆心在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过原点，所画圆最多能经过12个格点，此时圆的半径为5．这12个格点分别为：(0，5)，(3，4)，(4，3)，(5，0)，(4，－3)，（3，－4），（0，－5），（－3，－4），(－4，－3)，（－5，0），（－4，3），（－3，4）．(2)如图6，若圆心不在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过（，），所画圆最多能经过16个格点，此时圆的半径为，这16个格点分别为：(2，6)，(4，5)，(5，4)，(6，2)，（6，－1），（5，－3），（4，－4），（2，－5），（－1，－5），（－3，－4），（－4，－3），(－5，－1)，（－5，2），（－4，4），（－3，5），（－1，6）．综上所述，所画的圆最多能经过169个格点中的16个格点．四、网格与三角形结合例4如图7，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．(1)△ABC的面积等于____；(2)若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图7所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法． 分析(1)S△ABC＝×4×3＝6； (2)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形面积是最大的．如图8，在△ABC中，AB＝c，AB边上的高CN＝hc，△ABC的面积为S，正方形的一边DE落在AB上，其余两个顶点F、G分别在BC、AC上．设正方形DEFG的边长是x．所以，图8中正方形一边落在AB边上，另两个顶点落在其他两边上时，；图8中正方形一边落在BC边上，另两个顶点落在其他两边上时，图8中正方形一边落在AC边上，另两个顶点落在其他两边上时，∴当正方形一边落在BC边上时，正方形DEFG的面积最大．画法一如图9，在AB上任取一点P，作PQ⊥BC于点Q，以PQ为一边在△ABC内部画正方形PQMN；作射线BN交AC于点D，过点D作DG⊥BC于点G，作DE⊥DG交AB于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则四边形DEFG即为所求．证明由画图过程易得四边形DEFG为矩形，∵DG⊥BC，NM⊥BC，∴DG//NM，画法二如图10，取格点P，连结PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连结PQ与AC相交得点D；过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G、F，则四边形DEFG即为所求．证明由画图过程易得四边形DEFG为平行四边形，由格点P的位置易判断PC＝CB，且PC⊥CB，∴DG⊥CB，∴平行四边形DEFG为矩形。又∵PC＝CB，∴DE＝DG．∴