逻辑代数与硬件描述语言基础

逻辑代数与硬件描述语言基础第一页，共55页。2.1逻辑代数的基本定律和规则

2.2逻辑函数表达式的形式2.3逻辑函数的代数化简法2.4逻辑函数的卡诺图化简法2.逻辑代数与硬件描述语言基础第二页，共55页。

熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则。

掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法。本章学习学习重点2.逻辑代数与硬件描述语言基础第三页，共55页。2.1逻辑代数

逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对逻辑表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。第四页，共55页。A+A=1A·A=0A·A=AA+A=A

1、基本公式交换律：A+B=B+AA·B=B·A结合律：A+B+C=(A+B)+C

A·B·C=(A·B)·C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC

A·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：逻辑代数的基本定律和恒等式2.1逻辑代数第五页，共55页。反演律：AB=A+B

A+B=A·B吸收律

其它常用恒等式

AB＋AC＋BC＝AB+ACAB＋AC＋BCD＝AB+AC

1、基本公式逻辑代数的基本定律和恒等式2.1逻辑代数第六页，共55页。2、基本公式的证明例证明，列出等式左边、右边的函数值的真值表(真值表证明法)01·1=001+1=0001111·0=101+0=0011010·1=100+1=0100110·0=110+0=11100A+BA+BABAB逻辑代数的基本定律和恒等式2.1逻辑代数第七页，共55页。证:A+1=1AA=A.常用的恒等式可以用其它的基本定律证明2、基本公式的证明逻辑代数的基本定律和恒等式2.1逻辑代数第八页，共55页。常用的恒等式可以用其它的基本定律证明2、基本公式的证明逻辑代数的基本定律和恒等式2.1逻辑代数第九页，共55页。

：在包含变量A的逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，等式仍然成立。这一规则称为代入规则。2.1.2逻辑代数的基本规则代入规则例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)

+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围2.1逻辑代数第十页，共55页。对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。2.反演规则：例2.1.2试求

的反函数解：按照反演规则，得

2.1.2逻辑代数的基本规则2.1逻辑代数第十一页，共55页。（1）保持原来的运算优先级，即先进行与运算，后进行或运算，并注意优先考虑括号内的运算。例2.1.3试求

的反函数解：按照反演规则，得

（2）对于反变量以外的非号应保留不变。运用反演规则时，必须注意以下两个原则：2.反演规则：2.1.2逻辑代数的基本规则2.1逻辑代数第十二页，共55页。对于任何逻辑函数式，若将其中的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作例:逻辑函数的对偶式为3.对偶规则：当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式的对偶式也成立。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式。2.1.2逻辑代数的基本规则2.1逻辑代数第十三页，共55页。2.2.1逻辑函数表达式的基本形式2.2逻辑函数表达式的形式1.与-或表达式与-或表达式是指由若干与项进行或逻辑运算构成的表达式。2.或-与表达式或-与表达式是指由若干或项进行与逻辑运算构成的表达式。“与非-与非”表达式

“或非－或非”

表达式第十四页，共55页。2.2.2最小项与最小项表达式2.2逻辑函数表达式的形式1.最小项的定义与性质对于含有n个变量X1,X2,…,Xn的逻辑函数，若有一个乘积项包含了全部的n个变量，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次，这个乘积项就被称为该逻辑函数的最小项。、

、A(B+C)等则不是最小项。例如，A、B、C三个逻辑变量的最小项分别为：、、、、、、、一般n个变量的逻辑函数其最小项应有2n个。第十五页，共55页。对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；2.2.2最小项与最小项表达式2.2逻辑函数表达式的形式1.最小项的定义与性质第十六页，共55页。2.2.2最小项与最小项表达式2.2逻辑函数表达式的形式1.最小项的定义与性质最小项的表示、、、、、、、也可以用mi表示，m

表示最小项,下标i为最小项的编号，用十进制数表示（最小项中的原变量用1表示，非变量用0表示，即可得到最小项编号的十进制数值。）、、、、、、、m0m1m2m3m4m5m6m7第十七页，共55页。2.2.2最小项与最小项表达式2.2逻辑函数表达式的形式2.逻辑函数的最小项表达式是由若干最小项相或构成的逻辑表达式，也称为标准的与－或表达式。例2.2.1将化成最小项表达式=m7＋m6＋m3＋m1

第十八页，共55页。

例

将

化成最小项表达式a.去掉非号b.去括号2.2.2最小项与最小项表达式2.2逻辑函数表达式的形式c.配项第十九页，共55页。2.2.3最大项与最大项表达式2.2逻辑函数表达式的形式1.最大项的定义与性质对于含有n个变量X1,X2,…,Xn的逻辑函数，若有一个或项包含了全部的n个变量，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在或项中出现，且仅出现一次，则称该或项是逻辑函数的最大项。一般n个变量的逻辑函数其最大项应有2n个。也可以用Mi表示，M

表示最大项,下标i为最大项的编号，用十进制数表示（最大项中的原变量取0，非变量取1表示，即可得到最大项编号的十进制数值。）第二十页，共55页。2.2.3最大项与最大项表达式2.2逻辑函数表达式的形式第二十一页，共55页。最大项的性质2.2.3最大项与最大项表达式2.2逻辑函数表达式的形式1.最大项的定义与性质对于变量的任一组取值，全体最大项之积为0。对于任意一个最大项，只有一组变量取值使得它的值为0，而在变量取其它各组值时，这个最大项的值都是1；对于变量的任一组取值，任意两个不同的最大项之和1；第二十二页，共55页。相同变量构成的最小项和最大项之间存在互补关系，即：2.2.3最大项与最大项表达式2.2逻辑函数表达式的形式2.最小项和最大项的关系第二十三页，共55页。

例

将

化成最大项之积的形式2.2.3最大项与最大项表达式2.2逻辑函数表达式的形式2.最小项和最大项的关系第二十四页，共55页。

例

将

化成最大项之积的形式2.2.3最大项与最大项表达式2.2逻辑函数表达式的形式2.最小项和最大项的关系第二十五页，共55页。

例

一个逻辑电路有三个输入逻辑变量A、B、C，它的真值表如下表所示，试写出该逻辑函数的最小项表达式和最大项表达式。2.2.3最大项与最大项表达式2.2逻辑函数表达式的形式2.最小项和最大项的关系00000010101111011000011101001110ABYC步骤：1）写出使函数值为1的各行所对应的最小项2）将这些最小项相加，即得到最小项表达式。第二十六页，共55页。

例

一个逻辑电路有三个输入逻辑变量A、B、C，它的真值表如下表所示，试写出该逻辑函数的最小项表达式和最大项表达式。2.2.3最大项与最大项表达式2.2逻辑函数表达式的形式2.最小项和最大项的关系00000010101111011000011101001110ABYC步骤：1）写出使函数值为0的各行所对应的最大项2）将这些最大项相乘，即得到最大项表达式。第二十七页，共55页。

根据逻辑函数表达式，可以画出相应的逻辑图。然而，直接根据某种逻辑要求写出来的逻辑函数表达式往往不是最简的形式，这就需要对逻辑函数表达式进行化简。利用化简后的逻辑函数表达式构成逻辑电路图时，可以节省器件，降低成本，提高数字系统的可靠性。2.3逻辑函数的代数化简法第二十八页，共55页。“或-与”表达式“与非-与非”表达式

“与-或-非”表达式“或非－或非”

表达式“与-或”

表达式在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，若其中包含的与项（乘积项）数最少，且每个与项中变量数最少，这样的表达式称为最简与-或表达式。2.3.1逻辑函数的最简形式2.3逻辑函数的代数化简法第二十九页，共55页。1、逻辑函数的化简

化简的主要方法：

(１)公式法（代数法）

(２)图解法（卡诺图法）代数化简法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。并项法:

(１)2.3.2逻辑函数的代数化简法2.3逻辑函数的代数化简法第三十页，共55页。(2)吸收法：

A+AB=A

(3)消去法：A+AB=A+B2.3.2逻辑函数的代数化简法2.3逻辑函数的代数化简法1、逻辑函数的化简第三十一页，共55页。(4)配项法：2.3.2逻辑函数的代数化简法2.3逻辑函数的代数化简法1、逻辑函数的化简第三十二页，共55页。2.3.2逻辑函数的代数化简法2.3逻辑函数的代数化简法1、逻辑函数的化简化简逻辑函数第三十三页，共55页。要求:（1）求最简的与-或逻辑函数表达式。（2）画出仅用与非门实现的最简的逻辑图。解：例2.3.6

已知逻辑函数表达式为2.3.2逻辑函数的代数化简法2.3逻辑函数的代数化简法2、逻辑函数形式的变换第三十四页，共55页。要求:（1）求最简的与-或逻辑函数表达式。（2）画出仅用与非门实现的最简的逻辑图。解：例2.3.6

已知逻辑函数表达式为2.3.2逻辑函数的代数化简法2.3逻辑函数的代数化简法2、逻辑函数形式的变换将与或表达式变换成与非－与非表达式时，首先对与－或表达式取两次非，然后按照摩根定理分开下面的非号即可。第三十五页，共55页。例2.3.7试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。解：2.3.1逻辑函数的代数化简法2.3逻辑函数的代数化简法2、逻辑函数形式的变换将与－或表达式变换成或非－或非表达式时，首先对与－或表达式中的每个乘积项单独取两次非，然后按照摩根定理分开下面的非号即可。第三十六页，共55页。1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所 有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验 和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简 后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。

卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。代数法化简在使用中遇到的困难：2.1.3逻辑函数的代数法化简第三十七页，共55页。1、卡诺图

卡诺图：和n变量逻辑函数的全部最小项一一对应的方格阵图，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样所得到的方格阵图叫n变量逻辑函数的卡诺图。逻辑相邻的最小项也应该几何相邻2.4.1用卡诺图表示逻辑函数2.4逻辑函数的卡诺图化简法第三十八页，共55页。逻辑相邻与几何相邻逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的取值不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。如最小项m6=ABC、与m7=ABC在逻辑上相邻m7m61、卡诺图2.4.1用卡诺图表示逻辑函数2.4逻辑函数的卡诺图化简法几何相邻：一是相邻——紧挨的；二是相对——任一行或一列的两头；第三十九页，共55页。AB10100100011110三变量卡诺图两变量卡诺图m0m1m2m3BCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7在卡诺图的行和列分别标出变量及其取值状态。二进制数对应的十进制数编号1、卡诺图2.4.1用卡诺图表示逻辑函数2.4逻辑函数的卡诺图化简法任意两个相邻最小项之间只有一个变量的状态改变第四十页，共55页。

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD四变量卡诺图2、卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。1、卡诺图2.4.1用卡诺图表示逻辑函数2.4逻辑函数的卡诺图化简法第四十一页，共55页。3.已知逻辑函数画卡诺图当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到该逻辑函数相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。2.4.1用卡诺图表示逻辑函数2.4逻辑函数的卡诺图化简法第四十二页，共55页。例2.4.1：画出逻辑函数L(A,B,C,D)=(0,1,2,3,4,8,10,11,14,15)的卡诺图

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCDL3.已知逻辑函数画卡诺图2.4.1用卡诺图表示逻辑函数2.4逻辑函数的卡诺图化简法第四十三页，共55页。例2.4.2画出下面逻辑函数式的卡诺图解(1).将逻辑函数化为最小项表达式(2).填写卡诺图3.已知逻辑函数画卡诺图2.4.1用卡诺图表示逻辑函数2.4逻辑函数的卡诺图化简法第四十四页，共55页。

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCDL00000(2)填写卡诺图3.已知逻辑函数画卡诺图2.4.1用卡诺图表示逻辑函数2.4逻辑函数的卡诺图化简法第四十五页，共55页。2.4.2用卡诺图化简逻辑函数1、化简的依据2.4逻辑函数的卡诺图化简法第四十六页，共55页。2、化简的步骤步骤如下：(4)将所有包围圈对应的乘积项相加。(1)将逻辑函数写成最小项表达式(2)按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。(3)合并最小项，将相邻为1的方格圈成一组(包围圈)，每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个乘积项。本书中包围圈用虚线框表示。2.4.2用卡诺图化简逻辑函数2.4逻辑函数的卡诺图化简法第四十七页，共55页。（1）包围圈内的方格数一定是2n个。（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。（4）一个包围