2020-2021高中数学人教版第二册学案：8.6.1直线与直线垂直含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：8.6.1直线与直线垂直含解析8。6空间直线、平面的垂直8．6.1直线与直线垂直[目标］理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角．[重点]异面直线的定义及两异面直线所成的角；直线与直线垂直的证明．［难点]求两异面直线所成的角．要点整合夯基础知识点异面直线所成的角［填一填][答一答]1．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？提示：根据等角定理可知,异面直线a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点（如线段的端点、中点等)．2．如图，在正方体ABCD。A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为提示：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠典例讲练破题型类型一异面直线所成的角[例1］如图,P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2eq\r(5），D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA和BC所成角的大小．[分析］（1)PA、BC移至同一个三角形中．（2）找出PA和BC所成的角．［解]如图，取AC中点F，连接DF、EF，在△PAC中，∵D是PC中点，F是AC中点，∴DF∥PA，同理可得EF∥BC,∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角（或其补角）．在△DEF中，DE＝3，又DF＝eq\f（1,2)PA＝2，EF＝eq\f(1,2）BC＝eq\r(5），∴DE2＝DF2＋EF2.∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.eq\a\vs4\al（求两异面直线所成的角的三个步骤，1作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；,，,）2证：证明作出的角就是要求的角；3计算:求角的值，常利用解三角形得出。,可用“一作二证三计算"来概括.同时注意异面直线所成角α的取值范围为0°〈α≤90°。［变式训练1]如图,在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：（1）BE与CG所成的角．(2）FO与BD所成的角．解：（1）如图，因为CG∥BF，所以∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中,∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°。(2)如图，连接FH，因为HD∥EA,EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO（或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF,所以△AFH为等边三角形,又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°。类型二线线垂直的证明与应用[例2］直三棱柱ABC。A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N,∠ABC＝120°,AB＝2，BC＝CC1＝1。证明：AB1⊥MN[分析］先找到异面直线AB1与MN所成角，再利用勾股定理进行证明．［证明］由题得MN∥B1C所以∠AB1C就是异面直线AB1与MN由题得AC＝eq\r（4＋1－2×2×1×cos\f(2π,3))＝eq\r(7）,AB1＝eq\r（5),B1C＝eq\r(2），因为（eq\r(2))2＋(eq\r（5))2＝(eq\r（7))2，∴∠AB1C＝eq\f（π,2)，所以AB1⊥MN。证明空间中的异面直线的垂直问题,往往先作出异面直线所成的角，再利用勾股定理进行证明。[变式训练2]如图，在四棱柱ABCD。A1B1C1D1中，侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3），∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1相互垂直，试求AA1的长．解：连接CD1，AC，如图．由题意得四棱柱ABCD。A1B1C1D1中,A1D1∥BC，A1D1＝BC∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1∵异面直线A1B和AD1相互垂直，∴∠AD1C∵四棱柱ABCD。A1B1C1D1中，AB＝BC＝2eq\r(3），且侧面都是矩形,∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝eq\f(\r(2)，2)AC。∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，∴AC＝2eq\r（3）×sin60°×2＝6，AD1＝eq\f（\r（2）,2）AC＝3eq\r(2)，∴AA1＝eq\r(AD\o\al（2,1）－A1D\o\al(2,1)）＝eq\r(3\r(2）2－2\r（3)2）＝eq\r（6).课堂达标练经典1．经过空间一点P作与直线a成60°角的直线，这样的直线有(D）A．0条 B．1条 C．有限条 D．无数条解析：这些直线可以是以P为顶点，以过点P且平行于a的直线为轴的圆锥的母线所在的直线，共有无数条直线．2．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（B)A．0° B．90°C．60° D．45°解析：如图所示，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE­CMFB,连接CD，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°.3．如图,在空间四边形ABCD中,AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点,若EF＝eq\r（3)，则异面直线AD、BC所成角的大小是60°。解析：设G为AC的中点，如图,连接EG,FG，因为E、F分别是AB、CD中点，∴EG∥BC，EG＝eq\f（1，2)BC＝1，FG∥AD，FG＝eq\f（1,2）AD＝1，所以∠EGF为异面直线AD、BC所成的角（或其补角）,∵EF＝eq\r（3），∴三角形EGF中，cos∠EGF＝－eq\f（1，2)，∴∠EGF＝120°，即异面直线AD、BC所成的角为60°。4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，六个面内与BD成60°角的对角线共有8解析：如图，在正方体ABCD。A1B1C1D1中，六个面内与BD成60°角的对角线共有AB1，BA1，DC1,CD1,AD1，DA1，BC1，CB15.如图所示，在空间四边形ABCD中,AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝eq\r(2），求AD，BC所成的角．解:如图，取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD＝2,所以EH∥AD，EH＝1。同理FH∥BC，FH＝1，所以∠EHF(或其补角）是异面直线AD,BC所成的角,又因为EF＝eq\r(2)，所以EH2＋FH2＝EF2，所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边，所以∠EHF＝90°,即AD，BC所成的角是90°。——本课须掌握的问题在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习