人教版数学九年级上册：24.2.2直线和圆的位置关系教案（2课时含答案）

24．2.2直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系教学目标1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系．2．理解记忆割线、切线、切点等概念．3．能根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．预习反馈阅读教材P95～96，完成下列知识探究．1．直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．2．直线和圆只有一个公共点时，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．3．直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．4．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．例题讲解例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4cm，BC＝2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r＝1.5cm；(2)r＝eq\r(3)cm；(3)r＝2cm.【解答】过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵AB＝4cm，BC＝2cm，∴AC＝2eq\r(3)cm.又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)BC·AC，∴CD＝eq\f(BC·AC,AB)＝eq\r(3)cm.(1)r＝1.5cm时，相离；(2)r＝eq\r(3)cm时，相切；(3)r＝2cm时，相交．【跟踪训练1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆．当r满足0<r<eq\f(12,5)__cm时，⊙C与直线AB相离；当r满足r＝eq\f(12,5)__cm时，⊙C与直线AB相切；当r满足r>eq\f(12,5)__cm时，⊙C与直线AB相交．【跟踪训练2】已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是相交．直线a与⊙O的公共点个数是2．例2已知⊙O的半径是3cm，直线l上有一点P到O的距离为3cm，试确定直线l和⊙O的位置关系．【解答】相交或相切．【跟踪训练2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是多少？【点拨】分相切和相交两类讨论．解：r＝2.4或3<r≤4.巩固训练1．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是(C)A．2.5 B．3 C．5 D．102．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意的一点．若以点P为圆心的圆与OC相离，则⊙P与OB的位置关系是(B)A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相切3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是(C)A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定4．已知∠AOB＝30°，M为OB上的一点，且OM＝5cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2cm；(2)r＝4cm；(3)r＝2.5cm.解：圆心M到OA的距离d＝0.5OM＝0.5×5＝2.5(cm)．(1)r＝2cm时，d>r，直线OA与⊙M相离；(2)r＝4cm时，d<r，直线OA与⊙M相交；(3)r＝2.5cm时，d＝r，直线OA与⊙M相切．第2课时切线的判定和性质教学目标1．探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系．2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．预习反馈阅读教材P97～98，完成下列问题．1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：①切线和圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．例题讲解例(教材P98例1)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．【解答】证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．【方法归纳】在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径．【跟踪训练】如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为eq\o(BE,\s\up8(︵))的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC.试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．解：直线CD与⊙O相切，理由：连接OC.∵C为eq\o(BE,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CE,\s\up8(︵)).∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.又∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．巩固训练1．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是(B)A．相离B．相切C．相交D．不能确定2．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于60°时，AC才能成为⊙O的切线．第2题图第3题图3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C.若∠A＝25°，则∠D＝40°．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.求证：直线DF与⊙O相切．证明：连接OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠C.∴∠ODC＝∠B.∴OD∥AB.∵DF⊥AB，∴OD⊥DF.又∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切．课堂小结1．有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径；2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．①当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．第3课时切线长定理教学目标1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．预习反馈阅读教材P99～100，完成下列知识探究．1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长．图中的切线长为PA，PB．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，图中相等的线段有PA，PB，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，图中相等的角为∠APO＝∠BPO．3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等．例题讲解例(教材P100例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长．【解答】设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.解得x＝4.因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.【跟踪训练】如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)求证：四边形ODCE是正方形；(2)设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半径r.解：(1)证明：∵BC，AC分别与⊙O相切于D，E，∴∠ODC＝∠OEC＝∠C＝90°.∴四边形ODCE为矩形．又∵OE＝OD，∴矩形ODCE是正方形．(2)由(1)得CD＝CE＝r，∴a＋b＝BD＋AE＋2r＝BF＋AF＋2r＝c＋2r，解得r＝eq\f(a＋b－c,2).巩固训练1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝2．第1题图第2题图第3题图2．如图，