第四章：正态分布

PAGEPAGE1第四章正态分布内容提要本章主要讲述正态分布和中心极限定理等内容．重点分析掌握正态分布的有关概念及运算了解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯定理。难点分析独立同分布的中心极限定理。

第4章正态分布4.1正态分布(Normaldistribution)1.正态分布的定义如果随机变量的概率密度为；其中为常数，则称服从参数为的正态分布(Normaldistribution)，记为.由高等数学可知，eq\o\ac(○,1)当时，达到最大值；在处，曲线有拐点；（如图4-1）eq\o\ac(○,2)的图形对称于直线；eq\o\ac(○,3)以轴为渐近线；eq\o\ac(○,4)若固定，则曲线沿轴平行移动，曲线的几何图形不变；（如图4-2）⑤若固定，改变值，由的最大值可知，当越大，的图形越平坦；当越小，的图形越陡峭。（如图4-3）图4-1图4-2图4-3特别的，当时，称服从标准正态分布(Standardnormaldistribution)，即，密度函数为其图形为图4-4标准正态分布的分布函数为由标准正态分布的对称性易知,对任意有:例如,利用上面公式和标准正态分布的分布函数表(见附表2)可得:2.分位点的定义设为一随机变量，为其分布函数，我们知道对于给定的实数，事件的概率为。在统计中，我们常常需要考虑上述问题的逆问题：已给定事件的概率，要确定取什么值。我们把这个称为或的上分位点，确地说,有如下定义：Definition设的分布函数为，满足则称为的上分位点（数）。若有密度，则分位数表示以右的一块阴影面积（如图5-6）为．即换图4-5标准正态分布的上分位点通常记成，即有：如图所示的阴影面积等于.图4-6标准正态分布的上分位点的求法:(1)利用标准正态分布的分布函数表求对给定的(),由关系式查的函数表可得的值.例如,由得由得(2)直接查常用标准正态分布的上分位点表(见Page96)0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3261.9601.6452.282(3)由的对称性易知例如(标准化)证明:(1)分别记Y的分布函数和概率密度为.a>0时有a>0时有将上两式分别对求导,得即故(2)在(1)中取即得注如果，那么(1)(2)(3)由上面的公式和标准正态分布函数的函数值表,可以方便地求一般正态变量落在任意区间上的概率了。例如,若则3规则(3law)：服从正态分布的随机变量落在区间内的概率为0.9974，落在该区间外的概率只有0.0027.也就是说，几乎不可能在区间之外取值。图Example设，求（1）；（2）；（3）.Solution查标准正态分布表(1)=(2)=.(3)Example设，求（1）；（2）；（3）若,求x.Solution（1）.(2)==.（3）要求,即要求1-,即需,因为单调函数,故需即.Example公共汽车的高度是按男子与车门定碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高（单位:cm）服从正态分布，试确定车门的高度。Solution设车门的高度为(cm).依题意有即因为，查标准正态分布表得，所以得即(cm)，故车门的设计高度至少应为184cm方可保证男子与车门碰头的概率在以下。3.正态分布的数学期望和方差设先求标准正态分布的期望和方差.由于的概率密度为于是因,所以由此可见正态分布可以由它的期望和方差完全确定.4.2正态随机变量的线性组合定理1设且Y1,Y2相互独立,则有 推广定理1有定理2设X1,X2,…,Xn相互独立,且i=1,2,…,n,则有注(1)教材上通过求概率密度的方法证明定理1有些麻烦,另有其他证明方法较为简单(如求特征函数法),有兴趣的同学可以自学.(2)如在定理2中取,可得下面重要结论:设X1,X2,…,Xn相互独立,且X1,X2,…,Xn服从同一分布,是X1,X2,…,Xn的算术平均值，则有或例1设内燃机汽缸的直径（以cm计）活塞的直径（以cm计）设X和Y相互独立.若活塞不能装入汽缸则需返工,求返工的概率.解按题意需求概率,由定理2知即于是例2一电路由3只独立工作的电阻串联而成,各只额定电阻值均为6欧,(1)已知电阻器的电阻(以欧计)求电路的总电阻W超过19的概率;(2).设电阻器的电阻若求电路的总电阻W超过19的概率小于0.005,问要控制至多是多少?解(1)分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3,则有且Y1,Y2,Y3相互独立,所以即,故所求概率为(2)分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3,则有且Y1,Y2,Y3相互独立,所以按题意,需求使得即即需例3设X1,X2,…,X9相互独立且都服从Y1,Y2,Y3相互独立且都服从又设和相互独立.求.解由定理2的注知又由假设和相互独立,故知于是4.3中心极限定理(CentralLimitTheorem)中心极限定理(CentralLimitTheorem)是研究在适当的条件下独立随机变量的部分和的分布收敛于正态分布的问题。Theorem4.4设相互独立的随机变量服从同一分布，且，，则对于任意，随机变量的分布函数趋于标准正态分布函数，即有(Letbeasequenceofindependentandidenticallydistributedrandomvariables，and，exist,then,forany,thedistributionfunctionofrandomvariabletendstothestandardnormaldistribution,.)定理的证明从略。该定理我们通常称之为林德贝格-勒维(Lindeberg-Levy)定理。Corollary4.2设相互独立的随机变量服从同一分布，已知均值为，方差为.单分布函数未知，当充分大时，近似服从正态分布.(Letbeasequenceofindependentandidenticallydistributedrandomvariables，withmeanandvariance.Whilethedistributionfunctionisunknown，andislarge，thenisanormalapproximationdistribution.)Corollary4.3设相互独立的随机变量服从同一分布，已知均值为，方差为.单分布函数未知，当充分大时,近似服从正态分布.(Letbeasequenceofindependentandidenticallydistributedrandomvariables，withmeanandvariance.Whilethedistributionfunctionisunknown，andislarge，thenisanormalapproximationdistribution.)由推论4.3知，无论是什么样的分布函数，他的平均数当充分大时总是近似地服从正态分布。Example4.2某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候?Solution令，是260个相互独立的随机变量，且，表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的使成立。由上面定理，有查得，故，取，于是也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候。Example4.3用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，求一箱味精净重大于20500克的概率。Solution设一箱味精净重为克，箱中第袋味精的净重为克，.是200个相互独立的随机变量，且，因而有Theorem4.5（德莫佛—拉普拉斯定理DeMovire-LaplaceTheorem）设表示n次独立重复试验中事件发生的次数，是事件A在每次试验中发生的概率。则对于任意区间，恒有(Letrepresentsthenumberofeventsthatoccurintheindependenttrials，representstheprobabilityofeventsthatoccurineachtrials,thenforanyinteral,Thatis.)这两个定理表明二项分布的极限分布是正态分布。一般来说，当较大时，二项分布的概率计算起来非常复杂，这是我们就可以用正态分布来近似地计算二项分布。Example4.4设随机变量服从，求.Solution