七年级数学培优竞赛讲座第6讲-计算-工具与算法的变迁

22222220022004200420045533200220024kr4第22222220022004200420045533200220024kr4研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有：．巧用运算律；．用字母代数；．分解相约；．裂项相消；．利用公式等．【例1】现四个有理数，4一，l0，将这个数每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：

；(2)

；(3)

．(浙江省杭州市中考思点从24最单的不同表达式人手，逆推，拼凑．注：今天，计算机泛应用于社生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维．著名的计算机专家沃斯说过=法十数据结构有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在：(1)有理数的计算每一步要确定符；（2）有理数计算常常是号演算；运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．【例】

如果4个同的正整数

mn、、

满足

(7)(7)(7)(74

，那，p

等于()．AB．．D26．(新加坡数学竞赛题)思点解的关键是把示成不同整数的形式．【例】计算：

11

；

(“祖冲之杯”邀请赛试)(2)19491950+1951—1952+„+1997—+1999北京市竞赛)(3)5+5+„．思点对于(，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手式使人易联想到平方差公式，对(，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．【例】(1)若按奇偶分类，则+3是数(2)设，b4，c，

a、b、

的大小关系是

(用“>”连)；(3)求证：3+4是倍数．思点乘运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③

a

2n

0

；④

a

n

与

的奇偶性相同；⑤在

n

4k

中(

，r为负整数，

n

，≤r<4)当时

n

4k

的个位数字与的个位数字相同当r时n的位数字与n的位数字相同．注：在求和中错位相减、倒序相加是计算中常用的技巧．1

2214102210142210101010222210【例】有人编了一个程序：从1开，交替地做加法或乘法（第一可以是加法，也可以是乘法加法，将上次运算结果加加；每次乘法，将上次算结果乘或3，例如30可这样得到：2214102210142210101010222210（1证明：可以得到22（2证明；可以得到

2

100

97

．学训）算×（-455）+365455-211×545+545×

；（2若

，b，，a、b

的大小关系是（“＜”连接）．计算：（1

510.794

；（2=；（3

111999

=；（4

136.7212.251.875)17.09

．．在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号（不再添加括号得等式成立12=2411．1999加它的得一个数，再加上所得的数的又得到一个，再加上这次得数的又得到一个3数，„„，依次类推，一直加到上一次得数的，么最后得到的数是．．根据图所示的程序计算，若输入x值为1A．BC．D．42(北京市海淀区中考

，则输出的结果为（．已知a

199919991998

，b

200020001999

，c

20012001200020002000

，则abc=A一．C一D．1(“希望杯”邀请赛试)．如果有理数

a、b

满足关系a<b<0<c，那么代数式

bcabc3

的值()．A必为正数B必为负数C．可正可负D可能为．将

、4

、9

、8

10

，由大到小的排序是()．A3、9、8、B3、、、C．、、4、D．、、9、(美国犹他竞赛)．阅读下列一段话，并解决后面的问题：观察下面一列数l248„发，这一列数从项起，每一项与它前一项的比都等．一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做比数列，这个常数叫做等比数列的公比．(1)等比数列5，一15，45，„项是；2

53333333333320022001n+1n2346n+1n2002200153333333333320022001n+1n2346n+1n20022001如果一列数

a,,a,是比数列，且公比为13

q

，那么根据上述的规定，有

q，

q

，

„

aq，aq31

2

，q431

3

„=用n与的数式表)．(3)一个等比数列的第2项，第项20求它的第1项与第4．

(广西省中考题．(1)已知、、

都不等于零，且

cabccabc

的最大值是

m，最小值为，求的值．mn(2)求证：53一是的数．11．计算（1（2（3（4

2003200330052003224510==9998=

；；

；50各9）

3

2001

2002

2003

所得积的末位数字是；

(江苏省竞赛题)(2)若l+2

+3

+„

＝，则2

+4

+6

+„

＝．．若

、、、d

是互不相等的整

ad

)，且121，

a

d

=

．．你能比较2001与2002的大小?(苏省常州市中考题为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较n与n+1)的大小n是自然)然后，我们从分析＝l，，n3„„中发现规律，经归纳，猜想得结论。(1)通过计算，比较下列各组中两的大(在空格中填写>．①12；②；4；5；⑤56；„„(2)从第(题的结果经过归纳，可以猜想出和n+1)的小关系是．(3)根据上面归纳猜想得到的一般论，试比较下列两个数的大小20012002．3

1200220012002200．如果

ttttt13，的为()．ttttt13A一B1．D．不确定

(2003年北省竞赛题如ac<0那么下面的不等式

，

ac

，

ac0

，

c3

，

中必定成立的有)．A．1个

B．2个

C．3

．4个．设

S

222349222，T19999

，则

S

=()．A

B

1

249C．D9999

(“五羊杯”竞赛)．10互不相等的有理数，每9个和都是“分母为22的约分数分子与分母无公约数的真分则这10个理数的和为()7A．BCD．9

(江苏省竞赛题)

x．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个：

1，，1，48，16，，填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求

的值．

(上海市竞赛题．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，a+b，形式，又可分别表示为，a的值．

，b的式，求4

．(1)三个2不用运算符号，写出尽可能大的数；(2)三个4不用运算符号，写出尽可能大的数；(3)用相同的3个字～，不用运算符号，写出最大的数．．如图，是一个计算装置示意图，J2

是数据输入口，C是计算输出口，计算过程是由

J,J

分别输入自然数，经计算后得自然数K由输，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：(1)若

J,J

分别输入l则输出结果为1;(2)若J输