导数的概念及计算

第一节导数的概念及计算I教学目标：1.理解导数的概念及意义.2.掌握导数的运算.11教法与学法：讲练结合III重难点分析：导数的运算及导数的几何意义W教学过程与教学内容：一、导学激情，新课起航二、导学自探，双击必备1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数fx)=c(c为常数)f(x)=0fx)=xa(a£Q*)f'(x)=axa-1fx)=sinxff(x)=cos_xf(x)=cosxf(x)=-sinxfx)=exf(x)=exfx)=ax(a>0,aW1)f(x)=axlnafx)=lnx1f(x尸：fx)=logax(a>0,aW1)f(工尸」2.导数的运算法则(1)[fx±gx]/=f'(x)±g;(x)；(2)[fx-gx],=f'(x)g(x)+fx)g/(x)；[j^x^.]l ff(x)g(x)一fx)g'(x)/(3b(x)」=g 30).三、导学克难，探究展示.已知函数jx)=1cosx，则jn)+j(9等于()A.n2B.1

n2C.DC.解析：选C因为f(x)="9cosx+(~(-sinx),x2 x所以fn)+j,停)=-1+2义(-1)=-3.2/ nn n

.已知函数fx)的导函数为f(x)，且满足关系式fx)=x2+W(2)+lnx，则f‘(2)的值等于()A.2BA.2d-4解析：选D・.fr)=x2+呵'(2)+lnx,.♦f(x)=2x+3f(2)+1,.•，⑵=22+3f(2)+1，x2解将f(2)二曰故选D..等比数列｛«〃｝中，a1=2,a8=4,函数fx)=x(x—a1)(x—a2)—(x—a8),则f'(0)=()A.26 B.29C.212 D.215解析：选C f' (x) = (x - a1)(x - a2)・・・(x -a8)+x[(x - a1)(x - a)...4x -a8)]’ ,所以f'(0)=a1a2a3…a8=(a1a8)4=(2X4)4=212.故选C..求下列函数的导数.1(1》=x2sinx；(2)y=lnx+二；xc0sx(3)y= ;(4)y=aex+xlnx.ex解：(1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)/=2xsinx+x2cosx.(2)y' =Qnx +x)' =(lnx)' +Q)' =1-七sinx+sinx+cosx/、，化os6 (cosx)'ex-cosx(ex)(3)y'C)'= (ex)2 (4)y'=a(ex)'+x'lnx+x(lnx)1=aex+lnx+xX-=aex+lnx+1.x小结：1.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.2.常见形式及具体求导的几种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数幕的形式，再求导

对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元3.对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)=f(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f(x)，令x=x0，即可得到f(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值.导数的

几何意义考点二：导数的几何意义导数的

几何意义《蟀方程(#a)j题点(一)求切线方程1、已知曲线y斗3+4(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；⑵求曲线过点P(2,4)处的切线方程.解：(1)・.・yy=x2”.在点P(2,4)处的切线的斜率y'lx=2=22=4,・••曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x—y-4=0.(2)设曲线y$3+4与过点P(2,4)处的切线相切于点AQ0,3X0+4),则切线的斜率k=yy1x=x0=x2，.他线方程为y-&0+f)=x0(x-x0),24即y-x0x-3x3+1・•点P(2,4)在切线上，.・.4=2xg-3x3+3,即x3-3x2+4=0,解得x0=-1或x0=2,故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.练习：(1)(2020•全国卷1)曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.(2)已知函数fx)=xlnx，若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=fx)相切，则直线l的方程为.［解析］(1)设切点坐标为(x0,lnx0+x0+1).由题意得y'=1+1,则该切线的斜率为1+1=2,x x0解得x0=1，所以切点坐标为(1,2),所以该切线的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.(2)丁点(0，-1)不在曲线fx)=xlnx上，•・设切点为(x0,y0).又可，(x)=1+lnx,・・直线l的方程为y+1=(1+lnx0)x.,yn=xnInxn,联立『0 0 解得x0=1,y0=0.Lv0+1=(1+lnx0)x0，•直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.［答案］(1)2x-y=0(2)x-y—1=0［解题方略］曲线y=fx)在点P(x0，贯x0))处的切线方程是y—fx0)=f'(x0)(x—x0)；求过某点M(x1,y1)的切线方程时，需设出切点A(x0,fx0)),则切线方程为y—fx0)=f(x0)(x—x0),再把点M(x1,71)代入切线方程，求x0.题点(二)求切点坐标［例2］(2021•邯郸模拟)直线y=k(x—2)与曲线y=ex相切，则切点的横坐标为.题点(三)求参数值(范围)［例3］(1)(2021・如皋模拟)已知函数fx)=msinx+b在x=n处的切线方程为y=?x—*n+1,则实数b的值为()12TOC\o"1-5"\h\z▲1 3A.? B.2C.1 D.\3(2)(2020•江西五校联考)已知曲线C：y=xex过点A(a,0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是()A.(—8,—4)U(0,+8) B.(0,+8)C.(—8,—1)U(1,+8) D.(—8,—1)［解析］(1)由题意，函数fx)=msinx+b,则f/(x)=mcosx,可得f0=m嚼=芋m,即切线的斜率k直m，所以一半m=*，解得m=1,所以fx)=sinx+b,当x=6时，y=^3x|-*+1=1,即切点皑1),代入函数fx)=sinx+b,可得si畔+b=1,6解得b=1.2(2)对函数y=xex求导将y'=ex+x•ex=(1+x)ex.设切点坐标为(x0,x0ex0),则曲线y=xex过点A(a,0)的切线的斜率k=(1+/)%=2,、■a化简得x2-ax0-a=0.依题意知，上述关于x0的二次方程有两个不相等的实数根，所以 A=(-a)2-4X1X(-a)>0，解得a<-4或a>0.故选A.四•师导点金，总结升华五、导练检测，清理过关(2020・全国卷I)函数fx)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为()A.y=—2x—1 B.y=—2x+1C.y=2x—3 D.y=2x+1解析：选B•:fx)=x4-2x3,・f(x)=4x3-6x2,^ff(1)=-2.又f(1)=1-2=-1,•・商求的切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B..曲线y=sinx+2x+1在点P处的切线方程是3x—y+1=0,则切点P的坐标是.解析：由函数y=sinx+2x+1,则y‘=cosx+2,设切点P的坐标为(x0,yj,则斜率k=y/Ix=x0=cosx0+2=3,所以co"0=1,解得x0=2kn(kGZ),当k=0时，切点为(0,1),此时切线方程为3x-y+1=0；当kW0,切点为(2kn,4kn+1)(kGZ),不满足题意.综上可得，切点为(0,1).答案：(0,1).若直线y=kx+b是曲线y=ex-2的切线，也是曲线y=ex—1的切线，贝Ub=V作业布置：课时跟踪检测1W教后反思及评价［解析］设切点为(x0,y0),丁y'=ex0,•k=ex0,又Ty0=ex0，y0=k(**0-2)，•ex0=ex0(x0-2),解得x0=3.［答案］3［解题方略］求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一!般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.解析：设直线y=kx+b与曲线y=ex-2切于点p1(x1,ex「2),