虹足高中数学组教研专题探讨数列与不定方程

虹足高中数学组教研探讨【数列与不定方程第一部分【高考【2009 高考理23】已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数 若a3n1，是否存在m、kN*，有a 找出所有数列a和bnN*an1b,a ana15d4b1q3panp项的和是数列bn中解（1）amam1ak,得6m53k1， ……24整理后，可得k2m43

m、kN*，k2m不存在m、kN*，使等式成立 ……5（2）解法 若an1b,即

a1

1b1

a1 a(na1n若d0,则1bqn1b 当an为非零常数列，bn为恒等于1的常数列，满足要求。……7若d0（*）式等号左边取极限得（*）式等号q11，此时等号左边是

lim a1 na1(n

常数，d0 综上所述，只有当an为非零常数列，bn为恒等于1的常数列，满足要求。……10解法二设

ndcan1bn都成立，且ban2/an1qa a2n2

nnn

n1(dnc)(dn2dcq(dndc)2n都成立，d2qd2……7d0,则

c0，b1,nn若d0qn

m(常数），即dndcm,dn

,综上所述，有ac0，b1，使对一切n，an1b ……10a an（3）a4n1,

3n,nN* 设

b3kp、kN*m

m 4(m1)14(mp)2

p3k

2

，p、 Np

3,

……1312s+21由二项展开式可得整数M1、M2（4-1）=4M+121s2 4m4(M2M)((1)S1)2,存在整数m满足要求。故当且仅当p3s,sN，命题成立。 mk若p为偶数，则a a a 为偶数，但3k mk

b,即4m53k而3k4 c04kc14k1(1) ck14(1)k1ck(1)k4M(1)k, 当k为偶数时，存在m，使4m53k成立 ……1

am1am2am3bk,即3am2bk也即3(4m9)3k，4m93k14(m153k1由已证可知，当k1为偶数即k为奇数时，存在m，4m93k成立，……2分当p5时,则am1am2 am5bk,即5am3bk，也即5(4m133k，而3k5的倍数，p5时,m故不是所有奇数都成立第二部【补充例题f(x)=x3，等差数列a中a=7a+a+a=12

=f3

，令b=aS数列1n项和为T

nb n求an的通 和Sn1Tn3mn，且1<m<n，使得T1TmTnmn的值；（1）

的公差为d，由a3a a1a2a33a13d12a11d=3∴an∵f(x)x3，∴Sn=f3

=an1 （2）

an

(3n2)(3n

∴1

(3n2)(3n

13

3n∴T1(1

) （3）由(2)知，T ∴T1,T

，T

T,T,T

∴ )2

6m13n 43n

6m

3 3 m m 33 33m=3m=2m=2,n=16,使得T1,Tm,Tn第三部【会后作业y如图，在y轴的正半轴上依次有点A1、A2An、，其中点Ay|An1An|3|AnAn1|(n

，在射线yx(x

2B1、B2BnB1的坐标为（33）|OBn||OBn1|2(n2,3,4,)求|AnAn1|（n的式子表示求点An、Bn的坐标（用含n的式子表示 AnBnBn1An1Sn，问{Sn（1）|AnAn1|1,且|A

|1019| A 1n1|A

1

1

1n

|A1A2|

9(3

()|AA||AA| |A

|931

271

1 2

n1

(3点

1的坐标

n4 ( 22 222 |OB|| |

（n2,

）且|OB|21n21n

(n

(2n

B的坐标为(2n12n122nnn1AnBn1AnBnBn1An1SnSn22nnn1

BBnBB2 2

1

[( ](2n3) 22 ( 2

又

12n0,即

,

2S

S∴