人教B版（2022）高中数学选择性必修第一册2.2.4　点到直线的距离word含答案

点到直线的距离课后篇巩固提升基础达标练1.原点到直线x+2y-5=0的距离为() B.3 D.5解析d=|0+2答案D2.设两条直线的方程分别为x+y-a=0,x+y+b=0,已知a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数根,则这两条直线之间的距离是()A.24 B.C.22 D.解析∵a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实数根,∴Δ=1-4c≥0,a+b=-1,则这两条直线之间的距离=|a+b|答案C3.已知直线3x+my-3=0与6x+4y+1=0互相平行,则它们之间的距离是() B.21313 C.513解析∵3x+my-3=0与6x+4y+1=0平行,∴36=m4,∴m=2,化6x+4y+1=0为3x+2y+12=答案D4.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于() 解析设AB边上的高为h,则S△ABC=12|AB|·h|AB|=(3-1)AB边上的高h就是点C到直线AB的距离,AB边所在的直线方程为y-即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为|-1+0-4|2=52,因此,S△ABC答案C5.直线l过点A(3,4),且与点B(-3,2)的距离最远,则直线l的方程为()=0 +5=0+y+13=0 +y-13=0解析由题意知,当l与AB垂直时,符合要求,因为kAB=4-所以直线l的斜率k=-3.所以直线l的方程为y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0.答案D6.已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为()A.12 B.14 C.解析l1:k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4),l2:k2(y-4)=4-2x也过定点(2,4),如图所示,点A(0,4-k),B(2k2+2,0),S=12×2k2×4+(4-k+4)×2×12=4k2-k+当k=18时,S取得最小值答案C7.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0之间的距离为.

解析直线8x-6y+5=0化简为4x-3y+52=0,则由两条平行直线之间的距离公式得5答案18.经过点P(-3,4),且与原点的距离等于3的直线l的方程为.

解析(1)当直线l的斜率不存在时,原点到直线l:x=-3的距离等于3,满足题意.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-4=k(x+3),即kx-y+3k+4=0.原点到直线l的距离d=|3k解得k=-724直线l的方程为7x+24y-75=0.综上可知,直线l的方程为x=-3或7x+24y-75=0.答案x=-3或7x+24y-75=09.平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,4),C(0,6).(1)求BC边上的高所在的直线方程;(2)求△ABC的面积.解(1)直线BC的斜率kBC=6-则BC边上高所在直线斜率k=-32则BC边上的高所在的直线方程为y-2=-32(x+1),即3x+2y-1=0(2)BC的方程为y=23x+即2x-3y+18=0.点A到直线BC的距离d=|2×(-1则△ABC的面积S=12|BC|d=12×10.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为32,求直线l的方程.解由题意知,若截距为0,可设直线l的方程为y=kx,由题意知|4k-3解得k=-12±3142,直线l的方程为y=-12+3142若截距不为0,设所求直线l的方程为x+y-a=0,由题意知|4+3-a|解得a=1或a=13,直线l的方程为x+y-1=0或x+y-13=0.综上所述,所求直线l的方程为y=-12+314y=-12-3142x,x+y-1=0或能力提升练1.已知直线过两直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点,且原点到该直线的距离等于1,这样的直线共有()条 条 条 条解析联立x∴两直线交点坐标为(0,1),由交点到原点的距离为1可知,只有1条直线符合条件.答案B2.点P(sinθ,3cosθ)到直线x+y+8=0的距离的最小值为() 3 2 2解析点P(sinθ,3cosθ)到直线x+y+8=0的距离为d=|sinθ+3cosθ+8|1+1即θ=2kπ+7π6,k∈Z时,d取得最小值为3故选C.答案C3.设直线l1:x+3y-7=0与直线l2:x-y+1=0的交点为P,则P到直线l:x+ay+2-a=0的距离最大值为()A.10 2 D.11解析联立x解得x=1,y=2.可得P(1,2).直线l:x+ay+2-a=0化为x+2+a(y-1)=0,因此直线经过定点Q(-2,1).P到直线l:x+ay+2-a=0的距离最大值为|PQ|=(1+2故选A.答案A4.已知直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在两坐标轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:3x+3y-1=0间的距离为()A.423 BC.22或2解析∵直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在两坐标轴上的截距相等,∴m+4m=m+42,m=2.∴直线l1:x+y-3=0,即3x+3y-9=0.故直线l1与直线l2:3x+3y-1=0答案A5.若直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则两条平行直线之间的距离为() B.2 2解析直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则a2-1=0,解得a=±1.当a=-1时,直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y+1=0重合,故舍去.当a=1时,直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+y+1=0平行.故两条平行直线之间的距离d=|-1故选B.答案B6.已知两条平行直线l1,l2分别过点P(1,1),Q(0,-1),当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为.

解析由题意可得,l1,l2间的距离最大时,PQ和这两条直线都垂直.由于PQ的斜率为1+11-故直线l1的斜率为-12故它的方程是y-1=-12(x-1),化简为x+2y-3=0答案x+2y-3=07.已知直线过两直线x-3y+1=0和3x+y-3=0的交点,且原点到该直线的距离为12,则该直线的方程为.解析联立x-3y+1=0,3①当经过点A的直线的斜率不存在时,其方程为x=12,原点(0,0)到直线x=12的距离为12②当直线斜率存在时,设经过点A的直线的方程为y-32=kx即kx-y-12k+32由于原点(0,0)到方程为kx-y-12k+32=0的直线的距离d=解得k=33,故所求直线的方程为x-3y+1=0答案x=12或x-3y+1=8.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A的平分线的方程.解设P(x,y)为角A的平分线上任一点,则点P到直线AB与到直线AC的距离相等,由两点式得直线AB的方程为y-即4x-3y-13=0,直线AC的方程为y-即3x+4y-16=0.所以由点到直线的距离公式,得|4即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|,即4x-3y-13=±(3x+4y-16),整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0.易知x-7y+3=0是角A的外角平分线的方程,7x+y-29=0是角A的平分线的方程.9.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,边AB所在直线方程为2x-y-2=0,点C(2,0),|BC|=1,B为第一象限上的点.(1)求点B坐标;(2)求AB边上的高CE所在直线的方程;(3)求直线AB与直线CD之间的距离.解(1)设B(a,2a-2),∵C(2,0),|BC|=1,∴(a-2)2+(2a∵B为第一象限上的点,∴2a-2>0,即a>1.∴a=75,则B7(2)∵边AB所在直线方程为2x-y-2=0,∴kCE=-1kAB=-又∵CE经过点C(2,0),∴AB边上的高CE所在直线的方程为y=-12x+1,即x+2y-2=0(3)∵AB∥CD,∴kCD=kAB=2.∵点C(2,0),∴直线CD的方程为y=2(x-2),即2x-y-4=0.又AB所在直线方程为2x-y-2=0,则直线AB与直线CD之间的距离d=|-4素养培优练1.(多选)S=直线lsinθmx+cosθny=1,m,n为正常数,θ∈[0,2π),A.当θ=π4时,S中直线的斜率为中所有直线均经过同一个定点C.当m≥n时,S中的两条平行直线之间的距离的最小值为2n中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面解析当θ=π4时,sinθ=cosθ,S中直线的斜率为-nm,故A根据sinθmx+cosθny=1,可知S当m≥n时,S中的两条平行直线间的距离为d=2sin2θm2+cos2(0,0)不满足方程,∴S中的所有直线不可覆盖整个平面,D不正确.答案ABD2.已知P为等腰△ABC的底边BC上一点(不含端点),PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,证明:|PM|+|PN|为定值.证明以BC的中点O为原点建立如图所示的直角坐标