008函数的值域(师)

008函数的值域(师)LtD4/11专题008：函数的值域（师）考点要求：1．主要考查函数的值域的求法（配方法、导数法、基本不等式、分离常数法、换元法等）．2．会求分段函数的值域．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．知识结构：1．求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，基本不等式法，换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．基础训练：1.函数的值域是（C）A、B、C、D、2．函数的值域为（D） A． B． C． D．3．函数的值域为．4．若函数在上的最大值与最小值之差为2，则．5.写出下列函数值域：(2)当a＝eq\f(1,4)时，求函数f(x)的值域．解析：(1)f(x)＝eq\f(\r(x)＋1,x＋3)，x∈[0，a]，(a>0)(2)函数f(x)的定义域为[0，eq\f(1,4)]，令eq\r(x)＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈[1，eq\f(3,2)]，f(x)＝F(t)＝eq\f(t,t2－2t＋4)＝eq\f(1,t＋\f(4,t)－2)，∵t＝eq\f(4,t)时，t＝±2∉[1，eq\f(3,2)]，又t∈[1，eq\f(3,2)]时，t＋eq\f(4,t)单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈[eq\f(1,3)，eq\f(6,13)]．即函数f(x)的值域为[eq\f(1,3)，eq\f(6,13)]．巩固作业：A组：选择题：1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是()x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345A．[2,5] B．NC．(0,20] D．{2,3,4,5}解析：函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．答案：D2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()．A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析∵3x＋1＞1，∴f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.答案A3．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．124．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()解析：由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A、B；再结合函数的性质，可知对于集合M中的任意x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.答案：C5．函数y＝eq\f(2,x－1)的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()A．(－∞，0)∪(eq\f(1,2)，2]B．(－∞，2]C．(－∞，eq\f(1,2))∪[2，＋∞)D．(0，＋∞)解析：∵x∈(－∞，1)∪[2,5)，则x－1∈(－∞，0)∪[1,4)．∴eq\f(2,x－1)∈(－∞，0)∪(eq\f(1,2)，2]．答案：A二、填空题：6.函数的值域为_____________．7．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则____4___．8．函数y＝eq\r(x)－x(x≥0)的最大值为________．解析：y＝eq\r(x)－x＝－(eq\r(x))2＋eq\r(x)＝－(eq\r(x)－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，∴ymax＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)三、解答题：9．求函数y＝|x＋2|＋eq\r(x－32)的值域。解析：y＝|x＋2|＋eq\r(x－32)＝|x＋2|＋|x－3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋1，x≤－2，,5，－2＜x＜3，,2x－1，x≥3.))当x≤－2时，－2x＋1≥－2×(－2)＋1＝5；当x≥3时，2x－1≥2×3－1＝5.∴y≥5.答案：[5，＋∞)10．求下列关于x的函数的定义域和值域：(1)y＝eq\r(1－x)－eq\r(x)；(2)y＝log2(－x2＋2x)；eq\a\vs4\al(3,,)x012345y234567解：(1)要使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x≥0，))∴0≤x≤1，函数的定义域为[0,1]．∵函数y＝eq\r(1－x)－eq\r(x)为减函数，∴函数的值域为[－1,1]．(2)要使函数有意义，则－x2＋2x>0，∴0<x<2.∴函数的定义域为(0,2)．又∵当x∈(0,2)时，－x2＋2x∈(0,1]，∴log2(－x2＋2x)∈(－∞，0]．即函数的值域为(－∞，0]．(3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}，函数值域为{2,3,4,5,6,7}．11.求下列函数的值域：（1），；（2）；（3）．分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．解：，，函数的值域为；解法一：由，，则，，故函数值域为．解法二：由，则，，，，故函数值域为．（3）解：令，则，，当时，，故函数值域为．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．B组：一、选择题：1．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则的最小值等于（B）。A．B．C．D．2．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是（B）A.a<-2或a>2 B.a≤-2或a≥2 C.-2<a<2 D.-2≤a≤23．(2010·南通模拟)若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，