第5讲 极值问题、双极值点问题

第5讲极值、双极值问题整理：贵州毕节周政源一、问题综述函数的极值的定义：一般地，设函数f(x)在点x二x及其附近有定义，0(1)若对于x附近的所有点，都有f(x)<f(x)，则f(x)是函数f(x)的一个极大值，记作000y=f(x)；极大值0(2)若对xo附近的所有点，都有f(x)>f(xo)，则f(xo)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x°)・极大值与极小值统称极值．用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数广(x):③求方程f(x)=0的根；④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.如果f'(x)在这个根的左、右两侧符号不变，则f(x)在这个根处没有极值．(最好通过列表法)利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数广(x)，求方程f(x)=0的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.二、典例分析类型一：求函数的极值【例1】求函数f(x)=x4-yx3+2x2+1(xGR)的极值.【解析】f(X=4x3-10x2+4x=2x(2x-1)(x-2),令/'(x)二0,解得“=0，x2=2,x3=2.当x变化时，/'(x),/(x)变化状态如下表：x(—8,0)01(0,—)2121(二，2)22(2,+8)f'(x)—0+0—0+f(x)1/55485-3/由上表可以看出，/(x)在(一8,0)和(2,2)上为减函数，在(0,2)和(2,+(»)上为增函数.当x=0时，函数有极小值/(0)=1；当x=2时，函数有极小值f⑵=-5.当x=时，函数有极大值/()=2248【方法小结】用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数广(x):③求方程f'(x)=0的根；④检查广(X)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(X)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(X)在这个根处取得极小值.如果f'(x)在这个根的左、右两侧符号不变，则f(X)在这个根处没有极值.(最好通过列表法)【例2】已知函数f(x)=x—2-alnx,aeR，求函数f(x)的极值.【解析】f(x)=x-2-alnx定义域为(0,+a),f(x)=1一£=土上,xx当a<0时，f(x)>0,f(x)在(0,+8)上单调递增，f(x)无极值.当a>0时，令广(x)=0，解得x=a当xe(0,a),f(x)<0,f(x)在(0,a)上单调递减；当xe(a,+8),f(x)>0,f(x)在(a,+8)上单调递增.故f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a-2-alna，无极小值.综上，当a<0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)有极小值为a-2-alna，无极大值.

【例3】已知函数f(x)二xe-i-2mx-mx,meR,讨论f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出x-x-i-m)(x+1)，【解析】易知广(x)=xex-i+ex-i-mx-m=①当m<0时，ex-1-m>°恒成立,所以当xe(-g,—1)时，广(x)<°,f(x)单调递减,当xe(—1,+a)时，广(x)>°,f(x)单调递增,所以当x=-1时，f(x)取得极小值f(-1)=-丄+牛e22②当m>°时，令f(x)=°可得x=1,x=1+lnm，12(1)当x<x时，即m>e-2时，12当xe(-l,l+Inm)时，f(x)<0,当xe(-8,-l)U(l+Inm,+8)时，f(x)>°,所以当x=-1时，f(x)取得极大值f(-1)=-丄+m，e22当x=1+lnm时，f(x)取得极小值f(1+lnm)=-2m(1+lnml；(2)当x>x时，即°<m<e-2时，12当xe(l+Inm,-1)时，f(x)<0,当xe(-8,l+Inm)U(-l,+8)时，f(x)>0,所以当x=-1时，f(x)取得极小值f(-1)=-丄+m，e22当x=1+lnm时，f(x)取得极大值f(1+lnm)=-2m(1+lnml；当x=x时，即m=e-2时，f,(x)>°恒成立，f(x)无极值.12【方法小结】应注意f'(x)=°只是函数f(x)在x处有极值的必要条件，如果再加上x左右导数的符号相°°°反，方能断定函数在x°处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误.类型二：函数极值的逆向应用【例4】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x°处取得极大值5,其导函数y=f'(x)的图象经过点

(1,0),(2,0)，如图所示.求:x的值；0a,b,c的值.【解析】(1)由图象可知，在(-®1)上f(x)>0，在(1,2)上f(x)<0，在(2,+8)上f(x)>0,故/(x)在(-8,1)和(2,+8)上递增，在(1,2)上递减,因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x=1.0(2)方法一：f'(x)=3ax2+2bx+c，3a+2b+c=0由f(由f(1)=0，f(2)=0,f(1)=5，得<12a+4b+c=0，解得\b=-9.c=12方法二:设f(x)=m(x一1)(x一2)=mx2一3mx+2m.方法二:TOC\o"1-5"\h\zm3又f'(x)=3ax2+2bx+c，所以a=一，b=一一m，c=2m，32f(x)=mx3一mx2+2mx，由f(1)=5，即m—m+2m=5，32八33得m=6，所以a=2，b=—9，c=12.【方法小结】(1)由导函数的图象求极值点，先看图象与x轴的交点，其次看这点左右两侧的导数值的正负.(2)注意条件“在点x处的极大值是5”的双重条件，即f(x)=0，f(x)=5.000类型三：极值的综合应用【例5】已知函数f(x)=x3-3ax-1(a丰0)，若f(x)在x=-1处取得极大值，直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.【解析】f(x)=3x2-3a，因为f(x)在x=-1处取得极大值，所以广(-1)=3(-1)2-3a=0，所以a=1.所以f(x)=x3一3x一1，f(x)=3x2-3，由f(x)=3x2—3=0解得x=—1,x=1.12由f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1，在x=1处取得极小值f(1)=-3.因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，又f(-3)=-19<-3，f(3)=17>1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(-3,1).

方法小结】两曲线的交点个数问题，实际上是方程解的个数问题，而本质上是函数的极值问题。类型四：双极值问题【例6】(2018年新课标I)已知函数f(x)=丄—x+alnx.x1)讨论f(x)1)讨论f(x)的单调性;2)1)若f(x)存在两个极值点x,x，证明：f(xi)—f(x2)<a-2•i2x-xi2①因为f(x)=l—x+alnx，所以f，(x)=—x_ax+1，xx2所以当-2<a<2时A<0,广(x)<0，所以f(x)在(0,+小上单调递减,②因为A>0，即a<-2或a>2，此时方程x2—ax+1=0的两个根为x=aa2―4,x=竺二£，1222当a<-2时，此时两根均为负，所以f(x)在(0,+8)上单调递减；当a>2时，A>0，此时f(x)在(0,x)单调递减，在(x,x)单调递增，在(x,+8)单调递减.1122(2)由⑴可得方程x2-ax+1=0的两个根为x1，x2，得a>2,x1+x2=a，x1x2=】，令0<x1<x2所以x1=+，2iri)x+iri)x+alnx—x+alnx所以f(x)—f(x)=」-12x11所以f(x1)-fg)=—2+alnx1—lnx2，x-xx-x\o"CurrentDocument"f(x)1—f2(x)1要证fW八x2丿<a—2成立，x—x12x222Inx-Inx即证——12<x-x121，=2(x-x)+a(lnx-lnx)，2ii2xlnxln—x+xxi2即证一-x—xi2x-xi2—2lnx——+x2x2<0,x>1，即证2<0，2即证-2lnx一丄+x>0(x>1)，2x222令g(x)=-2lnx一丄+x,x>1可得g(x)在(1,+a)上为增函数，所以g(x)>g(1)=0,x所以lnx1-lnx2<1成立，即fW-f(x2)<a—2成立.x—xx—x1212

1■三2，则实数ax1【例7】已知函数f(x)=aex一-x2-b(a,bgR)■三2，则实数ax1的取值范围为.【解法1】因为函数f(x)有两个极值点x,x,12所以广(x)=aex所以广(x)=aex-x=0有两根x,x，即12na=f=-

ax2=x②ex1ex22

令g(x)=—，则g'(x)^—x又a=—r，令m(x)=—，易知m(x)在(0,1)单调递增，所以0<m(x)Wm(ln2)=则当x则当xg(—8,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增;当x当xg(1,+8)时，g'(x)<0，g(x)单调递减;又xT一8时，g(x)T-g；xT+8时，g(x)t0+且g(0)=0,g(x)图像如下图所示:由②得x-三2nx-x三ln2.x2g(x)图像如下图所示:由②得x-三2nx-x三ln2.x211表示x到x的距离最小为ln2，21且直线y=a与其有两个交点.In22ln22ln2x当x=ln2时，—1=•此时1ex2222e2ln2e*2ex.]当x=2ln2时，满足x-x=ln2为临界情况，当y=a下移时满足题意.221故实数a的取值范围为aef0,吸1【解法2】函数f(x)有两个极值点x,x,12所以f，(x)=aex一x=0有两根x,x，即ae^=x,aex?=x，两式相比，得ex?-吗1212"2lnt令t=4(t三2)，则宀=t，得学-(t三2)(显然x1>0)，令g(t)=皿(t三2)，则g'(t)=t一皿一1t一1(t-1)2设h(t)=t-lnt-1(t22),则h'(t)=-lnt<0，所以h(t)在【2,+8)单调递减，所以h(t)Wh(2)=1-2ln2<0，即g'(t)<0,所以g(t)在[2,+8)单调递减，故g(t)wg(2)=ln2，即xe(0,ln2].1ex1ex2即0<aWln2，则实数a的取值范围为aef0,ln2.2I2」【方法小结】借助题设将目标函数化为一个变量的函数,再求其范围或证明不等式．三、巩固练习1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求a，b的值.2．3.已知f(x)=(x2一2ax)lnx+2axx2,aeR，求f(x)的极值2．3.237已知f(x)=2x2-10x(xeR)，是否存在自然数m，使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且x只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。已知函数f(x)=ax2-2x+lnx有两个不同的极值点x，x，若不等式九〉f(x)+f(x)恒成立，贝实1212数九的取值范围是()A.[—3,+a)B.(3,+a)C・[―e，+a)D・(e，+g)已知函数f(x)=1—x一alnx.x讨论f(x)的单调性；若f(x)有两个极值点x,x，记过点A(x,f(x)),B(x,f(x))的直线的斜率为k，问：是否存在121122a，使得k=a—2，求出a的值，若不存在，请说明理由.6.已知函数f(x)=lnx.若方程f(x+a)=x有且只有一个实数解，求a的值.若函数g(x)=f(x)+x2—mx,m>^-的极值点x,x(x<x)恰好是函数h(x)=f(x)—cx2—bx的零221212点，求y=(x—x)h，%+3的最小值.12I2丿四、巩固练习参考答案1.【解析】f'(x)=3x2+2ax+b,依题意得方程组3+2a+依题意得方程组3+2a+b=01+a+b+a2=10解得a=—3b=3a=4b=—11当a=-3,b=3时，f'(x)=3x2+6x+3,令f'(x)=0得x=1.(一8,l)l(l,+w)广(x)+0+f(x)□无极值□显然a=-3，b=3不合题意，舍去.令广(x)=0得x=-#x或当a=4,b=-11时，/(x)=3x2令广(x)=0得x=-#x或x(11)"3)11—亍(-中)l(l,+s)广(x)+0—0+f(x)□极大值□极小值□x=l.fx)在x=l处有极小值10,合题意，口0=4,b=-11.2.【解析】由f(x)=C—2ax)nx+2ax—x2可得f(x)=(2x—2a)lnx2.2①当a<0时，当xw(l,+8)时，广(x)>0,f(x)单调递增,当xw(0,1)时，广(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=2a—1，无极大值；②当0<a<1时，当xw(0,a)U(1,+8)时，f(x)>0，当xg(a,1)时，f(x)<0所以f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=2a—1，在x=a处取得极大值，极大值为f(a)=—a2lna+—a2；2

当a=1时，f((x)>0恒成立，f(x)无极值；当a>1时，当xw(0,l)U(a,+8)时，f(x)>0，当xw(l,a)时，f(x)<0,所以f(x)在x=1处取得极大值，极大值为f(1)=2-2，在x=a处取得极小值，极小值为f(a)=-a2Ina+—a2.23.【解析】方程f(x)+37=0等价于方程2x3-10x2+37=0,x设h(x)=2x3一10x2+37，则h'(x)=6x2一20x=2x(3x一10)，h'(x)<0,h'(x)<0,h(x)是减函数；当x彳+8J时,h'(x)>0,h(x)是增函数.••-h(3)=1>0，h伴卜-27<0，h(4)=5>0，•••方程h(x)=0在区间内分别有唯一实数根而在区间(0,3)，(4,+8)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m=3使得方程f(x)+37=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.x4.【解析】f'(x)=2ax-2+丄=0即2ax2—2x+1=0有两个正根x,xTOC\o"1-5"\h\zx12A=4—8a>0所以2ax2-2x+1=0<x+x2所以2ax2-2x+1=0<12a2xx=>0122a所以f(x)+f(x)=a(x2+x2)-2(x+x)+lnxx121212122xx-2(x+x2xx-2(x+x)+lnxx=ar丄丄］12_1212ka2a丿/=a卜x+x-2+ln丄=-1+1丄1,a2aa2a令g(a)=-丄ln+丄-10<a<—

a2a>0，a2aa2所以g(a)在(0,丄k2丿上为增函数，所以g(a)<g-=-3，所以九〉-3，故选A.k2丿5.【解析】(5.【解析】(1)f(x)定义域为(0,+8)，f，(x)x2x2一ax+1x2令g(x)=x2-ax+1，其判别式A=a2一4，所以当|a|<2时，A<0,f(x)>0，故f(x)在生(0,+8)单调递增,当当a<-2时，A>0,g(x)=0得当a<-2时，此时两根均为负，所以f(x)在(0,+^)上单调递增,11221122当a>2时，A>0,g(x)=0,此时f(x)在(0,x)单调递增，在(x,x)单调递减，在(x,+8)单调递增,11221)由(1)知，a>2，因