初中数学建模类型浅析

初中数学建模类型浅析解决简单的实际问题是大纲规定的教学目的之一，数学建模就是将具有实际意义的应用题，通过数学抽象转化为数学模型，以求得问题的解决．选取若干范例，对其建模类型略陈管见，供参考．一、建立几何模型诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题，涉及一定图形的性质常需建立几何模型，转化为几何问题求解．例1如图1，足球赛中，一球员带球沿直线l逼近球门AB，他应在什么地方起脚射门最为有利？分析这是几何定位问题，根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线l上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为在直线l上求点P．使∠APB最大．为此，过AB两点作圆与直线l相切，切点P即为所求．当直线l垂直线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利．可见“临门一脚”的功夫理应包括选取起脚射门的最佳位置．二、建立三角模型对测高、测距、航海，燕尾槽、拦水坝、人字架的计算等应用问题，则可建立三角模型，转化为解三角形问题．例2海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°．如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？简析根据题意作出如图2的示意图，继续航行能否触礁，就是比较AC与8的大小．问题转化为解直角三角形，求AC的长．AC对这类问题中涉及到的测量专用名词的含义及测量仪器的使用，教学中应予以重视．三、建立方程模型对现实生活中广泛存在的等量关系，如增长率、储蓄利息、浓度配比、工程施工及人员调配、行程等问题，则可列出方程转化为方程求解问题．例3某家俱的标价为132元，若降价为9折出售即优惠10％)，仍可获利10％(相对于进资价)．求该家俱的进货价．简析设该家惧的进货价为x元．则问题转化为求方程例4如图3(1)，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直)．把耕地分成大小相等的六块作实验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？(1997年安徽省中考题)简析如图3(2)．作整体思考，设道路的宽为xm，则问题转化为求方程(20－x)(32－2x)＝570的解，解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)．上述三种建模类型是初中教材中涉及最多的，也是学生感知最为丰富的现实原型．四、建立直角坐标系模型当变量的变化具有(近似)函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图象问题求解．例5在如图4所示的自动喷灌设备中，喷出的水流呈现抛物线状．设水管AB高出地面1．5米．水流最高点C比喷头B高2米，且与B点连线夹角与水平面成45°，求水流落地点到A点的距离．简析因水流路线是抛物线，可建立如图4所示的平面直角坐标系，问题转化为求抛物线与x轴交点的横坐标．田已知条件可求得抛物对于飞机投物、打炮射击、投篮、平抛等问题，其物体运动的轨迹都是抛物线，往往可转化为二次函数图象问题去解决．当变量之间具有线性关系时，则可转化为直线或平面区域问题去解决．五、建立目标函数模型对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少，利润产出最大等，可透过实际背景、建立变量之间的目标函数，转化为函数极值问题．例6某商店如将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润．简析设每件售价提高x元，则每件得利润(2＋x)元，每天销售量变为(200－20x)件，所获利润y＝(2＋x)(200－20x)＝－20(x－4)2＋720．故当x＝4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润720元．函数关系是普遍存在的，所呈现的函数关系也并非都是二次的．因此建立目标函数模型的应用十分广泛．六、建立不等式模型在市场经营、生产决策和社会生活中，如估计生产数量，核定价格范围，盈亏平衡分析，投资决策等，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，转化为不等式(组)的求解或目标函数在闭区间的最值问题．例7某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其它总开支是50000元．如果该工厂计划每月至少要获得200000元利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的生产量应是多少？简析设每月生