图论法用于供水管网水力计算的

图论法用于供水管网水力计算的研究摘要：图论理论是网络分析的主要工具，现用于管网的水力平衡计算，既充分发挥了图论理论的优势，使计算变得简便、迅捷，又可将管网附件加入计算，使结果更准确、更符合实际。文中采用峰阵输入管网结构，使输入数据的工作量大大减少，易于编制程序，计算大型的复杂管网。关键字：供水管网水力计算图论法前言供水管网的的水力平衡计计算是供水系系统规划设计计、经济评价价和运行管理理的基础。水水力平衡计算算的目的就是是在确定管径径的情况下求求出满足连续续方程和能量量方程的各节节点压力水头头和各管段流流量。目前常常用的水力平平衡计算方法法有哈代-克罗斯法(Harddy-Crooss)，牛顿-莱福逊法(Newton-RRaphsoon)，线性理论论法(Lineear-Thheory))，有限元法(FiniiteEllementt)等等。所有有这些方法各各有所长，适适用范围各不不相同，有的的还需人工假假设管段流量量，使输入数数据工作量增增大，且未考考虑管网附件件的影响。本本文介绍的图图论法将复杂杂的管网处理理为相应的“网络图”，并建立相相应的数学模模型，用峰阵阵输入原始数数据来描述管管网结构，输输入的数据量量最少，不易易出错，易于于计算大型的的复杂管网。其其计算过程可可同时考虑管管网附件，如如控制阀、加加压泵、逆止止阀、减压阀阀等，使计算算结果更符合合实际。1图论原原理将供水管网网中的管段概概化成一条线线段(即图中的边)，将有附件件的管段看成成图中的特殊殊管段，边与与边由节点相相连。这样，一一个供水系统统的管网图就就转化为图论论中的网络图图。而且管道道中的水流是是有方向的，所所以管网图是是有向图。根据以上所所述原则，可可将图1所示管网系系统，转化为为图2所示的网络络图。图1图2图1中有一一水库A，三个给水水点B、C、D，Q1表示水库节节点供水量，Q2\,Q3\,Q4分别表示B、C、D节点的用水水量。管段视视为网络图中中的对应边，管管段的直径、管管长、管道流流量、摩损系系数等作为管管段对应边的的权。至此，与与管网同构的的网络图生成成了。图中箭箭头表示各条条边的方向，即即管段中水流流方向。网络图中节节点与边的关关联函数可以以用完全关联联矩阵I4×5表示如如式(1)所示。

顶点边的编号

(1)式中：Iij=={1，表示j管段段与i节点相连，且且管内水流流流离该节点；；0，表示此管段段不与该节点点关联；-1，表示j管管段与i节点相连，且且管内水流流流入该节点。完全关联矩矩阵与管段流流量列向量q以及节点流流量列向量Q可组成管网网节点方程(即连续方程)Iij×q+QQ=0,q==(q1,q2,q3,q4,q5)T,Q=(QQ1,Q2,Q3,Q4)T。网络图的生生成树(全涉及树)可以有很多多种，在计算算时可以任选选一种。在本本例中，选1、2、4这3条边为图的的生成树，则则补树(余树)的各边(弦)为3、5.各弦将与枝枝构成基本回回路，一个基基本回路中有有且仅有1条弦。用基基本回路矩阵阵Bf表示则如式(2)所示。枝124弦35Bf=[-11010](2)1-1-101式中每一行行表示一个基基本回路(环)。环的方向向以该环对应应弦的方向为为准。“-1”表示管段中中的流向与环环中弦的方向向相反，“1”表示相同，“0”表示该管段段不在此环内内。Bf可用矩阵B和单位阵U表示为式(3)。Bf=［B｜UU］,其中B=[-110](3)1-1-1环阵与管段段摩损列向量量hf构成环方程程如式(4)所示。摩损损向量的元素素顺序与Bf中每行元素素所对应的管管段顺序相同同。Bf×hf=00。其中hf=(h1,h2,h4,h3,h5)T(44)图论理论中中，连续方程程用割方程代代替。每个割割方程只含一一根枝，并和和相关的弦构构成割集，将将图2分割成互不不连通的脱离离体。这样，图图中就有3个割集。割割集和割集阵阵Af如式(5)所示：割集K：

割阵：Af=[枝124弦35](5)K1=(e1,,e3,e5)1001-1K2=(e2,,e3,e5)010-11K3=(e4,,e5)00101割阵Af中中，每一行表表示一个割集集。图中有3根枝，所以以就有3个割集。割割阵中，“+1”表示该管段段在此割集内内，且管段流流向与此割集集内的枝中的的流向相同，“-1”表示流向相相反，“0”表示该管段段不在此割集集内。式(5)的割阵Af和割集K一一对应。割割阵Af可用一个矩矩阵A和一个单位位阵U表示为：Af=［U｜AA］,其中A=［1-1］-1101割阵与流量量列向量可构构成割方程。根据图论理理论，割阵的的行向量与环环阵的行向量量正交，这种种关系可用式式(6)表示。[B|U]·[[U|A]TT=0或者[U|AA]·[B||U]T=0(66)所以有B==-AT或者A=-BT。这样，环环阵可以由割割阵求出，反反之亦然。关联矩阵通通过选主元初初等行变换即即可得到割阵阵：先选关联联阵第一行中中一非零枝元元素为主元，并并使其为+1，消去其它它各行中此主主元；再选第第二行、第三三行、…的主元，最最后即得割阵阵Af。因此，可可以由关联矩矩阵导出割阵阵和环阵。2图论法模型型任何管道的的水力计算都都可以用管段段流量q\,水头损失h\,管径D\,管长L和管壁条件C等5个因素来描描述。一般D、L和C为已知条件件，只有q和h未知。因此此，求解一个个管网的水力力平衡问题，可可从两方面考考虑：一是利利用q和h的关系，消消去h，以q为未知量计计算，求出q后，反求h；二是首先先消去q，以h为未知量计计算；解出h之后，再反反求。图论法法也可从这两两方面入手，即即求弦流量式式和求枝摩损损式。前者只只适用于环状状网，而后者者则适用于所所有类型的管管网，所以本本文着重介绍绍后者。设一管网有有J个节点，P条管段，L个环，则三三者满足L=P-JJ+1的关系。管管网的每一管管段都有q和h两个未知量量，因而未知知量的个数为为2P。但管网环环方程有L个，线性无无关的连续性性方程有J-1个，总数为L+J-11=P个，不能求求解2P个未知量［1］。因此，必必须借助P个管段摩损损方程式。管管段摩损方程程式线性化后后的通式如(7)和(8)所示。系数R称为阻尼系系数，Y称为传导系系数。R和Y的具体形式式与所选用的的摩损公式有有关，是D、C、L的函数。摩摩损公式线性性化后，R还是q的函数，Y还是h的函数。不不过，在求解解过程中，总总是把R和Y当作已知量量来对待。阻尼式：h=R×q(7)传导式：q=Y×h(8)式中R和YY是阻尼系数数和传导系数数矩阵。如果摩损公公式采用Hazenn-Willliam公式，则有有：h=R×q=110.68qq1.8522L/(C1..852D4.87)==10.688L|q|00.852//(C1.8852D4.87)qq(9)R=10.688L|q|00.852//(C1.8852D4.87))(10)Y=1/R=CC1.8522D4.87/((10.688L|q|00.852))=C1.8852D4.87/((10.688L)|q||-0.8552(11)用h向量表表示管段摩损损：h表示枝摩损损，h′表示弦摩损损；用q向量表表示管段流量量：q枝管段流量量，q′表示弦管段段流量。割方程的右右端项Q为脱离体所所含节点流量量之和。方环程：Bf×h=0,,即[BUU]×［h］=0(12)h′割方程：Af×q=Q,,即[UA］×［q］=Q(13)q′传导式：［q］=［Y0］×［h］(14)q′0Y′h′求枝摩损式式(以管段摩损损为未知量)：首先将传导导式(14)代入割方程(13)得：［UA］×［Y0］×［h］=Q(15)0Y′h′由环方程((12)可得Bh+h′=0，即h′=-Bh，代入式(15)得：［UA］×［Y0］×［h］=Q(16)0Y′-Bh即h×［Y-AYY′B］=Q(17)根据正交定理得得：h×［Y+AYY′AT］=Q(18)这就是图论论法的求枝摩摩损式计算公公式。h即为枝管段段的摩损向量量。解得枝摩摩损值h后，其余变变量可由相应应的公式求出出。由环方程程可得h′=-B×h，即可求出出弦摩损向量量h′,q、q′向量可以由由式(14)求得。式(11))中C1.8522×D4.877/10.668×L对某一管段段来说是个常常数，可用W表示。则传传导系数Y可以表示为为：Y=W×｜q｜｜-0.8552(199)在迭代计算算时，第一次次可以直接用用W代替Y进行计算，求求出h\,q后计算Y，再求新的q值，如此反反复计算，直直至前后两次次的q值符合给定定的误差标准准为止。为了避免可可能出现的数数值摆动现象象，在第三次次迭代时，用用前两次迭代代结果的流量量平均值作为为初始流量值值［2］，即：q=q（1）++q(2)2(220)求得q(33)，……，这样收敛敛速度加快。3管网附附件实际管网中中，有许多控控制、安全、量量测设施，如如加压泵、控控制阀、逆止止阀、减压阀阀等附件，对对管网运行产产生重要影响响。传统计算算方法都未涉涉及到管网附附件问题，不不仅使计算准准确性受损，而而且其计算程程序无法用于于日常管理工工作。图论法处理理管网附件时时，将附件所所在管段视为为特殊管段，这这些管段的摩摩损式要根据据其附件的水水力学特征计计算摩损值，再再加入到管网网中进行水力力平衡计算。本本文给出几种种较常见管网网附件的处理理方法。对于于其它附件，具具体问题具体体处理，在此此就不一一详详述了。3.1普普通阀门闸板式阀门门是用得最多多的一种阀门门，在一般的水力计计算过程中，闸闸板式阀门的的水头损失计计算一般引用用公式hf=ξ×v2/2g,ξ值见文献[33]。其中，a表表示管段中过过水断面的高高度，d表示管段直直径，a/d表示阀门开开关。当开度度为0时，阀门完完全关闭，没没有流量通过过；当开度为为1时，阀门完完全打开，对对水流不产生生影响。将阀门水头头损失公式用用流量表示为为：hf=ξ×v2/2g=ξ×2q2/π2gD2则阻尼系数数R为：R=2ξq/π2gD2;传导系数为为：Y=π2gD2/2ξ×q-1计算时只需需将闸板式阀阀门的R或Y值加入，即即可计算。蝶阀的计算算方法与闸板板式阀门类似似3.2逆逆止阀逆止阀是管管网中最常见见的设备之一一，是水流方方向控制设备备，只允许水水流单向通过过。设第K根管管段上装有一一个逆止阀，管管段的传导系系数为yk。并且，逆逆止阀的工作作方向为从节节点i到节点j，如图3(a)所示。则逆逆止阀的工作作状态可以分分为以下两种种：1．当节点水压压Hi＞Hj，则水流可可从K管段中流过过。此时就相相当于一根普普通管段，逆逆止阀就象不不存在一样。管管段的传导系系数就是普通通管段的传导导系数，如图图3(b)所示。图32当节点水水压Hi＜Hj，逆止阀将将处于工作状状态，阀门自自动关闭，水水流无法通过过，如图3(c)所示。相当当于这条管段段不存在，yk=0，流量qk=yk×(hk)n=0。3.3减减压阀减压阀(Presssure--ReduccingVValvess［PRV］)可控制管网网中该阀门下下游端压力水水头值保持在在某一范围内内，而不致压压力太高，且且兼有逆止阀阀的作用。减减压阀有一额额定工作压力力，当其上游游压力超过工工作压力时，其其下游端会维维持一恒定的的压力。若上上游压力低于于工作压力，则则减压阀不起起作用。若下下游水头高于于上游，PRV相当于一处处于工作状态态的逆止阀，管管段流量为零零。图4如图44所示，上游游节点i,下游节点j，管长L，下游端管管长，整个管管段的传导系系数yk，PRV下游端管段段的传导系数数，上游端水水头值He，额定工作作水头Hset,管段上游节节点水头值Hi，管段下游游节点水头值值Hj。减压阀的的工作状态如如下：1．当Hee＜Hset且Hi＞Hj，减压阀对对水流没有影影响，可视为为普通管段。传传导系数就是是yk,如图5(a)所示。图42．当Hee＞Hset且Hi＞Hj，减压阀处处于工作状态态，下游端水水压力等于Hset管段流流量qk是水头Hset和Hj以及传导系系数的函数。这这种情况就好好象在减压阀阀处有一固定定水头为Hset的水库在向向供水，如图5(b)。管段流量量可表示为：：qk=-×(Hseet-Hj)n。3．当Hii＜Hj，减压阀就就相当于一个个逆止阀，管管段中没有流流量通过，传传导系数为零零，yk=0,如图5(c)。图53.4加加压泵由于水泵的的能量输入，水水流流过水泵泵之后，水头头不仅未象普普通管段那样样减少，反而而增加了，这这就是水泵扬扬程。但也可可把扬程视为为“管段”的“水头损失”，只是这“水头损失”是负值。加加压泵一般选选用离心泵，其其流量和扬程程关系可由水水泵特性曲线线H=Hx-Sx×Q2表示，Hx和Sx由水泵特性性曲线求出。对对水泵来说，有有实际意义的的是落在水泵泵高效区的一一小段曲线。而而管道计算常常用传导公式式一般形式为为q=α×hβ,α、β为常数。因因此可用适合合管网计算的的曲线(21)拟合水泵特特性曲线，使使Q可用一常数数项加一个关关于H的非常数项项来表示。q=q0-a××h2(21))在水泵特性性曲线高效区区靠近两端的的位置各选一一具有代表性性的点坐标值值，代入式(21)，即可求出系数a和常数项q0。这样，拟拟合曲线就确确定了。水泵特性拟拟合曲线式(21)由于有一常常数项q0，仍无法直直接给出此“管段”的传导系数数。因此可把把式(21)分成2部分：第1部分为q=q0，是一个恒恒定流量；第第2部分为q=-a××h2，是一与扬扬程H有关的流量.所以水泵这这一特殊“管段”可视为两根根管段的复合合，即一管段段中的流量始始终是q0，另一管段段的传导系数数为“-a”。可在水泵泵上游节点加加上一个值为为“-q0”的节点输入入流量，下游游节点加上一一个值为“q0”的节点输出出流量。水泵泵管段的传导导公式就变为为式(22)，即可按普普通管段计算算。计算结果果加上流量q0即得水泵流流量。q=-a×h22(22))3.5水水塔水塔节点的的压力水头可可认为是恒定定值，即H(i)==consttant。当对置水水塔向管网供供水时，可以以把水塔的供供水量作为节节点入流量，纳纳入管网进行行计算。4、算例作者用此法法计算武汉市市汉阳区自来来水管网，得得到了较满意意的结果。该该系统有330个节(其中3个水源节点)，395根管段，66个环，见图6。当不考虑虑附件时，部部分计算结果果如表所示，经经验证，结果果完全满足节节点方程和环环方程。若考考虑节点56、57之间有一逆逆止阀，只允允许从节点57流向56。考虑附件件后的部分计计算结果如表表所示。图6武汉市汉汉阳区自来水水水管网简图图

无附件

有附件

管段上游下游

流量流速上游节下游节

流量流速上游节下游节编号节点节点

点水头点水头

点水头点水头

m3/Sm/smm

m3/sm/smm1122

0.5840.7466.2966.09

0.5840.7466.2966.09212

1.1801.0466.2966.19

1.1801.0466.2966.191905857

-0.339-1.6850.1250.83

0.0050.0243.0543.001945756

-0.405-1.0550.8352.05

0043.0056.801955655

-0.440-5.5652.0552.98

0.0120.0456.8057.50394117329

0.0070.3952.5452.36

0.0070.3950.3250.1439556330

0.0290.4152.0551.71

0.0290.4157.5056.84从对照表可可以看出，虽虽然管网中只只出现了一个个逆止阀，但但整个管网的的水力状态受受到很大影响响。节点1是供水节点点，离逆止阀阀较远，所以以没有受到大大的影响；节节点55和56的节点水头头普通升高，增增幅达9%；节点57和58的水头则大大幅度下降，下下降幅度达15%；节点119和329的水头也有有所下降，但但下降幅度相相对较小，是是因为这两个个节点离逆止止阀较远，故故受影响较小小。在装上逆逆止阀之