四川省雅安市2020届高三第一次诊断性考试数学(理)试卷及答案解析

AxPAxP四川省雅安届高三第一诊断性考试学（理）试注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（择题）请点击修改第I卷文字说明评卷人

得分一选择题已集合

，Bx

,nN，则A

B

（）A.

B.

已i为数单位，复数

，则其共轭复数

（）A.

i

B.

i

在面直角坐标系中，若角的边经过

443

，则

（）A.

32

B.

12

32已椭圆

2y2a2b

的左顶点为

，上顶点为，

（

为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）A.

3

B.

函

f

x

e

x2x

的图象大致是（）A.B.

（）执如图所示的程序框图，若输入的值分为，a

，输出的分别为a，，A.

B.

74

14如，已知

中，D为AB

的中点，

AE

AC

，若，

（）A.

B.

16

16

圆

xy2xy0

上到直线lxy2

的距离为1的共（）A.个

B.

C.3个

部与整体以某种相似的方式呈现称为分形一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基年提出的谢尔宾斯基三角形就属于种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（）

,1,1A.

B.

3764关函数

f2x

3

有下述四个结论：①若

f12

，则

x1

；②

yf

的图象关于点

对称；③函数

y

在

上单调递增；④f个位长度后所得图象关于轴称.其中所有正确结论的编号是（）A.①②④

B.①

C.③④

②④11.四面体

P

的四个顶点坐标为

，

BC3,0外接球的体积为（）A.

323

B.

2053

2

12.已知直线

与线f

相切，则的大值为（）A.

e4

B.

e

2第II（非选题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人

得分二填空题题注）13.已知圆柱的底面半径为2，高为3垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD

（如图）.若底面圆的弦AB

所对的圆心角为

，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为14.某项羽毛球单打比赛规则3局胜制，运动员甲和乙进人了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为

，则由此估计甲获得冠军的概率______

c77iic77ii15.已知函数

，则满足不等式

f值围是______．16.某企业在“精准扶贫”行中，决定帮助一贫困山区将水果运出销.现有8辆型车和4辆型车，甲型车每次最多能运且每天能运次乙型车每次最多能运10吨每天能运次甲型车每天费用320元，型车每天费用元.若需要一天内把180吨水运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少______.评卷人17.已知数列

得分三解答题题注）项为S，首项为，4a，成差数列．n1（1求数列

n

式；（2若

a

，求数列

n

项T

．18.在中角，B，所对的边分别是，b，，且

acosC

12

c

（1求角A的大；（2若

，

的最大值.19.已知某地区某种昆虫产卵和温度有

现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和度可用方

y

bx

来拟合，令y

，结合样本数据可知z与度x可线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：

i

i

ii

i

i

i表中

3.5377zy，zii

．

46.418

xˆˆnn222xˆˆnn222（1求

和温度的回归方程（回归系数结果精确到

0.001

）；（2求产卵数关温度的归方程；若地区一段时间内的气温在C之间（包括26C与36C）估计该品种一只昆虫的产卵数的范.参考数据：e3.792，5.832e6.087440，6.342568．

3.282

，附：对于一组数据

1

，其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计分别为

iiii

．i20.图，在四棱锥

ABCD

中，底面

为正方形，面

，，E

为线段PB的中点，若为段

上的动点（不含B）（1平面AEF与面

是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2求二面角B的弦值的取值范围.21.已知函数

f

lnx

．（1若

f

为单调函数，求a的值范围；（2若函数

f

仅一个零点，求a的值范围．22.已知曲线

的参数方程为

xy

（为参数），以平面直角坐系的原点

O

为极点，x的半轴为极轴建立极坐标系．（1求曲线的极坐标方程；（2，是线上点，若OQ求

OPOP

的值．23.已知正实数，

满足

a

．（1求2b最值；（2若不等式

xx

14a

对任意

x

恒成立，求的值范围．

Ax22Ax22参考答1.C【解析解一元二次不等式化简集合A,集合B中元素都是正整,根据集合的交集的概念进行运算即可,因为

x所以

AB{1,2,4}

故选C2.B【解析先根据复数的乘法计算出

，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可由

，所以其共轭复数i

故选：.3.A【解析先计算出点坐标，然后即可知的值，利用诱导公式即可求解出

cos

的值3因为角的终边经过点,所以cos

，所以cos

32

故选：A.4.B【解析根据题意得

a

b

以及

消去

结合离心率的定义可得答依题意可知

a

b

即b

33

a又c

2

2

2

3a)2a33

c6所以该椭圆的离心率.故选B5.B【解析根据函数值恒大于排除A,据函数不是偶函,

排除

根据趋于正无穷时函数值趋近于排除D

故选

B

因为

f

x

e

x2x

所以不正确函数

f

e

x2x

不是偶函数,象不关于轴称所以不正确当

x

时,

fx)

e

,

当趋近于正无穷时x2和x

都趋近于正无但是e

增大的速度大于x增的速度,

所以

x2

趋近于0,不确故选B6.C【解析根据程序框图得到

a

14

b

再相加即可得到答案.由程序框图可知程序框图的功能是计算分段函数的函数值当

x

时,

y

11所4

当

x

19

时,

1y9

所以b所以

a

14

故选C7.C【解析利用向量的线性运算将DE用,AC表示，由此即可得到

的值，从而可求

的

值因为

12

111BABCBAAB36

，所以

11，..6故选：8.C【解析通过计算可知：圆心到直线的距离等于圆的半径的一半，由此可得结.圆

xxy

可化为

(

，所以圆心为，径r为，圆心

(

到直线l:y2

的距离为：

|

，所以

d

12

r

，所以圆

x

2

y

2

xy上直线l:y

2的离为的共有3个故选：9.C【解析根据图①②,③归纳得出阴影部分面积与大三角形的面积之再用几何概型的概率公式可得答案依题意可得图中阴影部分的面积等于大三角形的面,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的

34

,图③中阴影部分的面积是大三角形面积的

916

,归纳可得图④中阴影部分的面是大三角形面积的

,所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为

.

f,1,122f,1,122故选:C10.D【解析10.①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运.

ysin①由

f12

3

图象的两个对称中心，则

x12

是

T

的整数倍（是数

f

的最小正周期），即

x

k

，所以结论①错误；②因为

3sin

，所以

是

f

的对称中心，所以结论②正确；③由

k

x

k

x

5

，当

时，

f

5

上单调递增，则

5f在上调递增，在12

上单调递减，所以结论③错误；④

f

的图象向右平移

个单位长度后所得图象对应的函数为y3sin23

，是偶函数，所以图象关于轴对称，所以结论④正.故选：D11.B【解析11.计算出线段长度，分析出四面体的形状，从而可确定出外接球的球心，根据球心求解出球的半径即可求解出外接球的体由题意知PA2,PB4,AB3,3,3

，所以

PAAB2PA2PC

，所以

PA,PAAC

，所以该四面体侧棱面

，且底面是边长为3的三角形，侧棱PA，

10002222V10002222V所以底面正三角形的外接圆半径为面上，

3

2，心必在过中点且平行于底面的平所以球半径R

2

5

4，所以球的体积为3

203

故选：12.C【解析12.根据切点处切线斜率等于导数值、切点处直线对应的函数值等于曲线对应的函数值，得到

关于a等，由此将ab表成关于的数形式，构造新函数析ab的大值.设切点

0

0

a0

得

ax2

，又由

ln0

，得

x0

11aaaalnaxln，bln22

，有

ab

111aaln，aaaln2222

，则

g

ln

a2

，故当2e时

；当a时

，故当ae时

g大值也即最大值

2

故选：【解析13.据题意：较大部分的底面积可以看成是一个三角形加上圆的，且两部分柱体同高，因此可求解出较大部分的底面积，然后直接柱体体积公式求解即因为弦AB对的圆心角为

，所以圆柱截掉后剩余部分的底面面积为132

，所以剩余部分的体积为

10

3

故答案为：103.

22x8,22x8,14.

【解析14.分析甲获胜的方式：前两局甲都获胜；(2)前两局甲获胜一局，第三局甲胜，由此计算出甲获得冠军的概率.因为甲获胜的方式有和2:1两种，2220所以甲获得冠军的概率P1333

.故答案为：

1m【解析15.先用偶函数的定义得函数为偶函,得

x)(|x

再利用

时函数为增函数可将不等式化为

|

从而可解得结果.因为

,以()

2

||

2

()

所以

f()

为偶函数所以

(x)f(|x|)

当

x

时,

f()

为增函数,所以

fm|)

所以

|

所以1m,故答案为16.

【解析16.根据题意设出关于车辆数的未知数，得到对应的不等式组，由此作出可行域，利用平移直线法分析运送费用的最小

180,

xy30,设安排甲型车辆乙型车辆由题意有即y4,

xy4,

，

xyN,

xyN,

bb

xy30,目标函数

320504y

，作出不等式组

xy4,

所表示的平面区域为四点

xy

围成的梯形及其内部，如下图所示：包含的整点有

作直线

320xy

并平移，分析可得当直线过点

最小，即z

min

3202560

（元）故答案为：

.17.（1）

an

n

；（2）

Tnn

2

.【解析17.根据4a，S成等差数列可n

2nn

再利用

n

可得

nn

从而可得数列

n

为项2为比的等数由此可得数列

n

式(2)由

2n

可得

b2n

再根据等差数列的前项公式可得结（1由题意有

2nn

,当n，

21

，所以

,当

n2

时，

a，Snnn

，

bb两式相减得

ann

n

an

n

，整理得

n2n

，所以数列

n

为项，公比的等比数列所以数列

n

式

an

n

n

．（2由n

a

2n

2n

，所以

bnn

，所以数列

n

首项，公差的等差数列,所以Tnn

n

2

．18.（1

；（2）23.【解析18.（）正弦定化边为角，再用三角形内角和为降两个角的等式；（）正弦定把边的代数式表达为一个角的函数关系式，再求值.（1由

acosC

12

c

，根据正弦定理有：

sinAsinCB

所以

sinAcos

12

sinCsin

sinAcosA

，所以

sinCsinC

因为

C

为三角形内角，所以sinC0，以

cos

，因为A

为三角形内角，所以

（2由a

3，

，根据正弦定理有：

bcasinsinsinA

，所以2sinB

，

2sin

所以

b2sin

23

2sinC

3cosCC3236

当

3

时，等号成.

所以的大值为23

2ˆˆˆ77ˆ2ˆˆˆ77ˆ另解：（）由a

3，

，根据余弦定理有：

2

2

bc

，即

2

2

因为2

b2

4

，所以

即b2，且仅当b

3时等号成立.所以b

的最大值为219.（1）

x

；（2）

y

x3.348，【解析19.根据公式计算出b和

可得

x

;根据

zy可lnx

再根据函数

y

x3.348

为增函数可得答案.（1因为z与度可用线性回归方程来拟合，设．b

iiii

182

0.255

，所以

i3.537，故

关于x线性回归方程为

x

．（2由（）可得

lnx

，于是产卵数y关于温度x的归方程为

y

0.2553.348

,当x26时

y

0.255

3.282

；当

x36

时，

y

0.255

；因为函数

y

x3.348

为增函数，所以，气温在C~36之时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是正整数．20.（1）面AEF平面【解析20.

PBC

3，理由见解析；（2）利用线面垂直的判定定理证明AE⊥平

PBC

，根据线面关系即可证明平面与平

n2t3n2t3面PBC垂直建立空间直角坐标系，根据平面BAF与面AEF法量的夹角的余弦的取值范围，计算出二面角BAF的弦值的取值围（1）因为，E为段PB的中.所以因为PA面

ABCD

，

BC

平面

ABCD

，所以

BCPA

，又因为底面ABCD为方，所以AB，PA

，所以平因为AE面PAB所以BC.为PB

，所以⊥平面PBC，因为AE面，以平面AEF平面

（2）由题意，以AB，AD所直线分别为，轴立空间直角坐标系如图所示，令PA，则

，

，

，

F

（其中

2

）.易知平面BAF的一个法向量

m

设平面的向量

，由

nn0.

即

x令，则

2t

,1

是平面AEF的个法向量cosmn

m

t2

，由

2

4，所以2，以

12

4t

33

故若F为段上的动点（不含B），二面角BAF的弦值的取值范围是3

21.（1）（2a或

【解析21.（1对

f

求导得

f

，因为

f

为单调函数，故

f

f

恒成立，利用导数研究

f

或

f

哪个能成立即可；（2因为

f

，所以x是

f

的一个零点，由1可知，当时，

f为

上的增函数，所以

f

仅有一个零点，满足题意，当时

f

得，a，，

讨论验证即可．解析：（）由

f

ln

（）得f

xxx

，因为

f

为单调函数，所以当

x

时，

f

恒成立，由于x

，于是只需xe

x

或

对于

恒成立，令

uu

，当x时

u

为增函数，则

u

，则x不可能恒成立，即

f

不可能为单调减函数．当

a

，即a时a恒立，此时函数为单调递增函数．（2因为

f

，所以x是

f

的一个零点．由（）知，当a时

f

的增函数，此时关于x的程

f

仅一解x，函数

f

仅一个零点，满足条件．当a时由

f

（ⅰ）当a，f

ln

，则

f

，令

，易知

，所以当x

时，

，

，

为减函数，

，则点222，则点222当

时，

为增函数，所以

f

，在

上恒成立，且仅当

f

，于是函数

f

仅一个零点．所以a满条件．（ⅱ）当时，由

在

为增函数，则

，当

时，

．则存在

x0

，使得

，即使得

f

，当

x0

，当

x

x0

，所以

f

．于是当

0

的另一解，不符合题意，