2020版 广西人教版数学（理）一轮复习大题专项练三 中的数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精高考大题专项练三高考中的数列高考大题专项练第6页

1.在等比数列｛an｝中,a1=1，a5=4a3.(1)求｛an｝的通项公式;（2)记Sn为｛an}的前n项和,若Sm=63，求m。解（1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn—1.由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去）,q=—2或q=2.故an=（—2)n—1或an=2n—1.(2）若an=(—2）n-1，则Sn=1-(-由Sm=63得(—2）m=-188，此方程没有正整数解.若an=2n—1，则Sn=2n—1。由Sm=63得2m=64，解得m=6.综上，m=6.2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=5,S5=3S3-2.(1）求｛an}的通项公式；(2)设bn=2an,求数列｛bn｝的前n项和T解（1)设等差数列{an｝的公差为d,∵a3=5,S5=3S3-2.∴a∴a1=1,d=2,∴a(2）∵bn=2an=22n—∴bn+1bn=22(n+1∴数列{bn}是等比数列,公比为4，首项为2.∴Tn=2(1-4n3.已知等差数列{an｝的前n项和为Sn,公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列.(1)求数列｛an｝的通项公式;(2）设bnan是首项为1,公比为3的等比数列,求数列｛bn｝的前n项和解(1）依题意得,3解得a故an=a1+(n—1）d=3+2（n-1）=2n+1,即an=2n+1.（2）由题意可知，bnan=3则bn=an·3n-1=（2n+1）·3n-1.故Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n—1)·3n—1+(2n+1)·3n，②①—②得—2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n—1-(2n+1）3n=3+2·3(1-3n=—2n·3n，因此,Tn=n·3n。4。设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N＊)；{bn｝是等比数列，公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N＊)。已知b1=1，b3=b2+2,b4=a3+a5，b5=a4+2a6。（1）求Sn和Tn；（2)若Sn+（T1+T2+…+Tn)=an+4bn，求正整数n的值.解（1）设等比数列｛bn｝的公比为q.由b1=1,b3=b2+2，可得q2-q—2=0.因为q>0，可得q=2，故bn=2n—1。所以，Tn=1-2n1-2设等差数列｛an｝的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6，可得3a1+13d=16，从而a1=1，d=1，故an=n.所以,Sn=n((2)由（1),有T1+T2+…+Tn=（21+22+…+2n)-n=2×(1-2n)由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得,n(n+1)2+2n+1—n-2整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍）或n=4。所以，n的值为4。5.（2018浙江，20)已知等比数列｛an}的公比q〉1,且a3+a4+a5=28，a4+2是a3,a5的等差中项。数列{bn}满足b1=1，数列｛(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.（1）求q的值;（2)求数列{bn｝的通项公式.解(1）由a4+2是a3，a5的等差中项，得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8。由a3+a5=20，得8q+1解得q=2或q=12因为q〉1,所以q=2.(2）设cn=（bn+1-bn）an,数列{cn}前n项和为Sn，由cn=S解得cn=4n—1。由（1）可知an=2n-1,所以bn+1—bn=（4n—1）·12故bn—bn—1=（4n—5）·12n-2bn—b1=(bn—bn—1）+(bn-1-bn-2)+…+(b3—b2)+（b2—b1)=（4n—5)·12n-2+(4n—9)·12n-3+设Tn=3+7·12+11·122+…+(4n-5）·1212Tn=3·12+7·122+…+(4n—9)·12n-所以12Tn=3+4·12+4·122+…+4·12n-因此Tn=14-（4n+3）·12n-2，n≥2,又所以bn=15—(4n+3)·126.设Sn为等差数列{an｝的前n项和,已知S3=a7，a8-2a3=3.（1）求an;（2）设bn=1Sn,数列｛bn｝的前n项和为Tn，求证:Tn〉34-1n+1（1)解设等差数列{an｝的公差为d,由题意，得3解得a故an=a1+(n-1）d=2n+1。(2）证明∵a1=3，d=2，∴Sn=na1+n(n-1)∴bn=1n∴Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=11=1〉1=34故Tn〉347。已知正项数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足an=Sn+Sn-(1）求证：{Sn}为等差数列,并求数列｛an｝的通项公式(2）记数列1anan+1的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*，不等式4Tn〈a2-a恒成立解(1)因为an=Sn所以Sn—Sn-1=Sn即Sn-所以数列｛Sn｝是首项为S1=a1=1,公差为1的等差数列所以an=Sn+Sn-1=n+（n-1）=当n=1时，a1=1也适合，所以an=2n-1。(2）因为1a所以Tn=121-1=12所以Tn〈12。要使不等式4Tn<a2—a恒成立，只需2≤a2—a恒成立,解得a≤-1或a≥2,故实数a的取值范围是(—∞,-1］∪[2,+∞）8。已知数列{an｝是公比为12的等比数列,其前n项和为Sn，且1—a2是a1与1+a3的等比中项，数列{bn}是等差数列，其前n项和Tn满足Tn=nλ·bn+1（λ为常数，且λ≠1），其中b1=8(1)求数列{an｝的通项公式及λ的值；(2)比较1T1+1T2+1解(1)由题意，得（1—a2)2=a1(a3+1),即1-12a解得a1=12故an=12设等差数列｛bn}的公差为d，又T解得λ=12故λ=12(2)由（1）知Sn=1—12则12Sn=12-由(1）知Tn=12nbn+1当n=1时，T1=b1=12b2即b2=2b1=16，故公差d=b2-b1=8,则bn=8n,又Tn=n