定量分析方法总结

一、灰色关联分析灰色关联分析是系统态势的一种量化比较分析，其实质就是比较若干数列所构成的曲线到理想数列所构成的曲线几何形状的接近程度，几何形状越接近，其关联度就越大。可见，灰色关联分析是一种趋势分析，它对样本的大小没有太高的要求，一般情况下比较适合小样本，贫信息的数据，并且样本数据不需要典型的分布规律，因而，具有广泛的适用性。灰色关联分析模型的建立：确定比较数列与参考数列；设Xi={xi(1)，xi(2)，・・・xi(n)}为创业板上市公司的财务指标形成的比较数据列，其中，i=1,2・・・17.同时，把每项指标中的最优值作为最优指标集X0，可得到参考数列:X0=(x0(1),x0(2),—x0(n)}无量纲化处理；无量纲化的处理方法通常有初值化、均值化、规范化三种方法，而本文采用的是不同指标的标准化处理方法，如前文所示。各个指标权重的确定w；(k)计算关联系数6;i(k)计算关联度ri设参考数列为：X0={x0(1),x0(2),•••x°(n)}，关联分析中被比较数列记为Xi=(xi(1)，xi(2)，-xi(n)}，i=1,2,•••28；n=1,2,3…12.1对于一个参考数列X。，比较数列Xi，可用下述关系表示各比较曲线与参考曲线在各点的差：°8i(k)=minminIxo(k)-xi(k)I+pmaxmaxIxo(k)-xi(k)I二、层次分析法构建经营绩效评价模型8i(k)=层次分析法（AnalyticHierarchyProcess简称AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授Saaty于二十世纪70年代初期提出的。层次分析法（AHP），它是系统工程中对非定量事件作定量分析的一种简便方法，也是人们对主观判断进行客观描述的一种有效方法。它将复杂问题分解成若十个层次，逐步进行分析。这种做法，首先要求把问题层次化，根据问题的性质和要得到的目标，将问题分解为不同的组合因素，并将问题按不同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。通过两两比较的方法，确定层次中诸因素的相对重要性，然后组合人们的判断以决定诸因素相对于总目标的相对重要性数值或相对优劣次序的排序。层次分析法的核心思想可以归纳为“先分解后综合”，应用层次分析法进行上市公司经营绩效评价进，应包括如下基本步骤[27]（1）建立层次结构应用层次分析法进行综合经营绩效评价时，首先建立评价问题的层次结构（Hierarchy）o层次结构是应用层次分析法把复杂问题分解简化的关键，必须建立在对决策问题深刻分析和对决策目标以及决策主体意图的充分理解之上。层次结构的建立过程是首先确定决策目标，其次罗列出与该目标相关的各种因素，然后分析这些因素问的逻辑关系，最后绘制决策的层次结构图，简单的层次结构如图所示：图简单的层次结构图这种层次结构分为目标层、准则层和方案层，其中准则层根据问题的复杂程度又可以由多层构成。层次分析法的最终目标仔是考虑所有相关因素，对各方案综合评判比较并选择最优方案。各方案对于总目标仔的优越性评分，称为方案的综合权重。求综合权重前，必须求解层次结构中的局部权重。局部权重分为两类，一类是同层因素对于上一层父因素的相对重要性，称为因素权重，例如上图中因素A1,*,…，A〃相对G的重要性;另一类是各方案就某因素而言的相对优越性，称为方案权重，例如方案B，B，…，B就因素A的相对优越性。权重反映了12n1多个比较变量间的相对重要性关系，采用归一化的向量来表示。权重的大小反映了该比较量相对其它比较量重要性的高低。（2）构造判断矩阵建立递阶层次结构以后，就可以采用层次分析法中的相对评价方法对方案进行两两比较。长期的心理学研究表明，决策者对事物两两比较的判断要比对多个事物同时比较的判断容易和准确得多。因此，层次分析法在确定权重时一般都采用两两比较的方式。若有n个比较量，则让每一个量与其他量分别进行共n-1次两两比较，第i个量与第j个量的比较结果记为匕.，再加上与自身的比较结果，可以形成一个nxn的矩阵，称为判断矩阵。该矩阵中蕴含了比较量之间的权重关系，通过一些权重求解算法可求出权重向量。因此，要得到层次结构中的局部权重，就必须首先逐层建立判断矩阵，对应方案权重的判断矩阵称为方案判断矩阵，它是关于某个因素对各方案进行两两比较而形成的。对应因素权重的判断矩阵称为因素判断矩阵。例如要得到图4.2.1中因素A1,气，…，q相对G的因素权重，就需要将A1,气，…，A.对G的重要性进行两两比较，比较结果可以形成一个nxn的判断矩阵，再通过计算求得这n个因素相对于G的权重。准则层A对目标层G的判断矩阵可以表示为表。i形成判断矩阵的过程也是数据标量化（或测度）的过程。标量化是指通过一定的标度体系，将各种原始数据转换为可直接比较的规范化格式的过程。在决策表中的数据还无法直接比较，表中的定性描述必须通过标量化手段转换为规范化的定量数据；表中的定量数据虽己量化，但其量纲和数量级还不统一，仍需规范化后才能比较。定量数据既可采用直接相比的办法进行处理，也可以让专家进行两两比较得到定性评价后按定性数据处理。定性数据可用点值打分来表示。决策者在用层次分析法对各种因素进行测度过程中，提出了一系列标度。在传统的层次分析法中，决策者通常都会选择正互反性1-9标度判断矩阵作为标量化方法［49』正互反性1-9标度打分规则如表所示：表层次分析法1-9标度打分规则等级等级定义1-9标度1前者与后者具有同等重要性气=12前者比后者稍微重要iJ33前者比后者明显重要jJ54前者比后者强烈重要ja=75前者比后者极端重要ja..=Qij

注释|匕的取值也可以取上述各数的中值2,4,6,8及其倒数。采用1-9标度的判断矩阵具有以下性质：当i=j时，a=1；寸当i尹j时，七=1/",;当i,j=1,2,3-n时，a..>0。判断矩阵具有的这一性质，对一个n个元素的判断矩阵仅需给出其上三角或下三角的n(n-1)/2个判断就可以了。当判断矩阵具有传递性，即满足等式axak=七时，称判断矩阵A为一致性矩阵。如果成对比较阵A不是一致性矩阵时，但在不一致的范围以内，Saaty等人建议用对应于A最大特征根(记作七、)的特征向量(归一化)作为权向量w。maX计算权向量且:正反矩阵A的最大特征根人是正单根，对应正特征向量w,maxlim=且:maxlim=xsAke

eTAke其中：eT=(1,1L,1)T可以通过Matlab软件中的eig命令求解特征向量和特征根。也可以采用幕乘法、根法、和法等求解正互反判断矩阵的最大特征根和特征向量的近似值。判断矩阵一致性检验在计算单准则下排序向量时，还需要进行一致性检验。因为在构造判断矩阵时并不要求判断具有一致性的要求，但是判断矩阵既然是计算排序权向量的根据，那么要求判断矩阵有大体上的一致性。从层析分析法的原理可知，如果A矩阵具有唯一的特征值x=n，则称所构造的矩阵具有完全一致性，但在判断矩阵的构造中，并不严格要求判断具有传递性和一致性。在实际情况下，直观的两两比较和判断会有计算误差，这必然导致A矩阵不具备完全一致性。当判断矩阵偏离一致性过大时，这种近似估计的可靠程度也就值得怀疑了。因此需要对判断矩阵的一致性进行检验。步骤如下：计算一致性的指标CI(ConsistencyIndex)CI=*maX~nn—1其中，人max是A的最大特征根，n为矩阵的阶数。依据表查找相应的平均一致性指标RI(RandomIndex)表RI取值规则

N3456789RI计算一致性比例CR(ConsistencyRatio)CR=也RI当CR＜时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。当CR＞时，应该对判断矩阵作适当修正。对于一阶、二阶矩阵总是一致的，此时CR=O。（5）计算组合权向量组合权向量就是计算各层元素对目标层的合成权重。经计算可得第2层对第1层的权向量，设为:O⑵二皿(2),L,0(2))T第3层对第2层各元素的权向量为：o⑶=(o⑶,L,o⑶)t,k=1,2,L,nkk1km以o3为列向量，构造矩阵：kW⑶=[o⑶…o⑶L1n-则第三层对第一层的组合权向量为：同理，第S层对第一层的组合权向量为：o（k）=W（s）W（s-1）LW⑶o⑵（6）整体一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个判断矩阵进行一致性检验外，还常需要进行组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。组合一致性检验可逐层进行，若第P层的一致性指标为CI；p）,LCI?）（n为第p-1层因素的数目），随机一致性指标为RI（p）,L,RI；p），则：CI（p）=[CI（p）,L,CI（p）]o（p-1）1nRI（p）=rRI（p）,L,RI（p）]o（p-1）1n可计算第p层的一致性比率为：CR（CR（p）=竺RI（p），p=3,4,L,s如果CR（p）V0.1，则第p层通过一致性检验。最下层(第s层)对第1层的组合一致性比率为：CR*"CR3)p=2仅当CR*适当小时，才认为整个层次的判断通过一致性检验。三、熵权法进行综合经营绩效果评价的理论基础炳最早是热力学中的一个重要概念，热力学第二定律表明，热现象有关的宏观过程是不可逆的，热量总是从高温物体自动传递到低温物体。德国物理学家克劳修斯()用entropy(译为“炳”)来表示这种表明初始状态和终止状态的变量，即炳等于工作物质吸收的热量Q与当时绝对温度T之比，炳仅与研究对象的初始状态和终止状态有关，而与其经历的热力学过程无关。进一步研究表明，系统状态一旦确定，其炳值就保持不变，在可逆过程中炳不变，SQ/T=0；系统内部一切不可逆过程总是自发的向炳值增加的方向进行。统计物理学用炳来度量系统的无序性的大小，系统的炳值为：S=klnP(式中，k为玻尔兹曼常数；P为系统的状态发生的概率，又叫热力学概率。在非平衡条件下，热力学系统中各微观状态出现的概率不相等，构成分布函数f，则系统的炳值为：S=—kSflnf(式中，和号工遍及系统分布函数f的所有可能，当自变量连续时，和号变成积分。该式将炳与微观状态数目联系起来，对炳做出了微观解释，揭示了炳在不可逆过程中增加的特性与本质。微观状态数目越多，其宏观系统的炳越大，系统越混乱，炳是系统无序度和混乱度的度量。系统总是自动从有序到无序，炳值增加。随着炳理论研究的不断扩展，炳应用到信息论。1948年，维纳(Wiener)和申农(Shannon)提出了信息论，申农把通过过程中信息源的信号的不确定性称为信息炳，把消除了多少不确定性称为信息So一条信息的信息量大小和它的不确定性有直接的关系。一个系统的有序程度越高，则炳就越小，信息量就越大；反之，无序程度越高，炳越大，信息量越小。所以，从这个角度，我们可以认为，信息量的度量就等于被消除的不确定性的多少，而随机事件不确定性的大小可以用概率分布函数来表示。信息不确定性的度量，香农用“信息炳”(Entropy)或叫Shannon炳来界定，一般用符号H表示如。基于一个随机实验，假设有n种可能的(独立的)结局，各个结局可能出现的概率分别为p,pAAp，它们满足下列条件：12n0<p<1,(i=1,2AA,n成p=1TOC\o"1-5"\h\z则用：’’H=H(p,pAAp)=-kZpInp(n12nii表示概率集p,pAAp的熵，即实验结果的不确定程度，常数k取决于对12n数系统的底，这里为1/lnn。信息量的单位根据对数底的不同而不同，见表。表信息量的单位表对数的底2e10信息量的单位Bit(比特)Nat(奈特)Hartley(哈特莱)进制名称二进制单位自然单位十进制单位Tet(铁特)三进制单位在随机实验的可能结局的发生概率分配中，如果任意一个发生概率为1，其他结局均为0，则该事件为确定事件，不存在不确定性。若各个结局出现的概率相等时，则此时H值达到最大：(H)=klnn(nmax当随机变量为连续型时，信息熵可以表示如下：H(x)=-kjf(x)lnf(x)dx(R其中：H(x)为连续随机事件结局的不确定性。f(x)为随机事件的概率密度函数。信息熵有如下性质：仅当pj(j=1,2,AA,n)之中的一个等于1时，即随机事件为确定事件时，熵H=0，其他情况下，熵H>0。对于给定n，当所有的p.(j=1,2,AA,n)都相等时，即p.=1/n时，熵H最大，其值为klnn设X，Y为两个分别对应不同后果状态的风险行为，则其联合风险行为的不确定性小于等于二者单独的不确定性大小的和。即：H(X,Y)<H(X)+H(Y)(当且仅当风险行为X和Y相互独立时，等号成立。对于概率p,pAAp的任何趋于相等化或均匀化的变化都使熵的值12n增大。在多目标决策中，经常需要考虑不同指标的相对重要程度，给不同指标赋予不同的权重(系数)，而用熵来揭示所获取的数据所提供的有用决策信息的多少

与质量，用熵权作为指标的权重是一种行之有效的方法[44][48]。假设一个评估问题，有m个评估指标，n个评估对象，按照定性与定量相结合的原则，取得n个对象对m个指标的评价矩阵R'_，r，rA，_r11121nR'=jrrA，r21222n(MMMrrArm1m2mn其中:对Rf做标准化处理(以收益性指标为例)，得到:其中:/一min0f)

七=max"。；)一mM；)对于m个评价指标，n个评价方案的评估问题中，第i个指标的熵为：i=1,2,A,m(i=1,2,Ai=1,2,A,mijj=1ij式中:r

——"一Uriji=1k=—Inn并假定则，第i个指标的熵权为:1—HW=i—'m—UkHii=1熵权有如下性质［2。］：各被评价对象在指标i上的值完全相同，熵值达到最大值1，熵权为零。该指标向决策未提供任何有用信息，该指标可以取消。当各被评价对象在指标i上的值相差较大、熵值较小、熵权较大时，说明该指标为决策提供了有用信息，说明在该问题中，各对象在该指标上有明显差异，应重点分析。指标的熵越大，其熵权越小，该指标越不重要，并且满足：0V、＜1和Y®=1(4/作为权数的熵权，表明给定被评价对象集和各评价指标值确定的情况下，各指标在竞争意义上的相对激烈程度。从信息角度看，熵权代表该指标在该问题中，提供有用信息量的多寡程度。熵权的大小与被评价对象有直接关系。基于炳权的经营绩效评价模型的建立上市公司经营绩效的综合评价是以公司公开披露的财务数据为基础，对某一范围内的公司进行综合评价，如某一行业、某一地区等等。利用熵权的基本原理，可以根据上市公司公开披露的经营数据建立模型，进行经营绩效综合评价。模型的建立及评价过程可以采用如下步骤：确定评价对象，选取评价指标，建立评价矩阵若选m个评估指标，n个评价公司，取得n个对象对m个指标的评价矩阵R'r，r，Ar，ii12inR'=，r，rA，r(21222nMMM，rr，A，rmim2mn指标的标准化处理[13]由于指标存在属性和数量级的差异，需要对原始数据进行标准化处理。标准化处理主要解决不同属性数据的加总问题，使不同属指标变量在综合评价中发挥相同方向的作用，并消除变量的量纲的影响。在经营绩效评价中一般从盈利能力、偿债能力、营运能力、成长能力和资本结构等方面选取指标，指标中有一些为收益性指标，数值越大越好；有一些为成本性指标，数值越小越好；同时，有一些为适度性指标，越接近某一个值越好，或落入一个区间为好。针对不同的指标，可以采用不同的方法进行标准化处理。具体方法如下：对于收益性指标i，令：TOC\o"1-5"\h\zr'-min(r')(r=&ij-(jmax(r')-min(r')ijij

对于成本性指标i,令:max(r')-r'

r=##TOC\o"1-5"\h\zjmax(r')-min(r')(ijij对于固定型适度指标i(越接近r,越好)，令：r=1-一r^—ijmaxr，一r(iji对于区间型适度指标i（适度区间为L,L2］），令:1-r'<Lij1iL<r'<L(1iij2ir'>Lij2imax(L-r'<Lij1iL<r'<L(1iij2ir'>Lij2irij<riji-r^max(L-min(r'),max(r')-L)1iijij2i对于R，n标准化后得矩陈RmnnrrAr11121nrrArR=21222nMMMrrArm1m2mnTOC\o"1-5"\h\z（3）计算各公司指标i对于全部样本的比重f=r/Yr（j=1（4）计算各指标的熵值第i个指标的熵值等于：H=-kYfInf（i=1,2,A,n）（j=1（5）计算各指标的熵权第i个指标的熵权等于：①=1一Hi1m-产H（=1（6）第j个企业熵权法综合经营绩效评价得分s,=并（r,知）（计算各公司的综合得分，进行排序，比较优劣。四、基于TOPSIS模型的综合分析权重的确定方法在运用TOPSIS模型对上市公司的业绩进行评价的过程中，指标权重的测定是一项非常重要的步骤。通常我们对权重的测定方法分为主观赋权法和客观赋权法。主观赋权法是指邀请专家进行打分，或者通过两两比较得到判断矩阵，典型的主观赋权法有层次分析法等。主观赋权法虽然简单且容易操作，但是主观因素太多，准确性和精确度都不高。客观赋权法是指运用计算机对原始数据进行科学处理后得到权重，常见的方法有熵权法，变异系数法等。客观赋权法既能避免主观赋权法中的人为性因素，又能提高结论的准确性和科学性。本文运用的是客观赋权法，即熵权法来确定权重。通过对47家公司进行权系数的计算，并最终作为TOPSIS模型的权重系数。熵权法熵权法是客观赋权的一种方法，它是通过观察指标值的变异程度中所包含的信息量，以此来确定评价模型中的权重。熵来源于信息论，熵和信息是绝对值相等，符号相反。信息熵的增加意味着信息的减少，也就是说，某项指标的变异程度越小，那么该指标包含的信息量就越小，信息熵就越大，该指标在综合评价模型中起的作用越小，权重就越小。根据熵的定义与原理，系统的熵为：型中起的作用越小，权重就越小。公式（1）公式（1）中:X公式（1）中:对于构成的原始评价矩阵X=（X〔J）m*n中，某项指标Xj有信息熵为：对于构成的原始评价矩阵h=(一1/ln(m))h=(一1/ln(m))Xpinp，其中:i=1i=14.3TOPSIS模型的综合分析TOPSIS（TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution）是距离综合评价法，是一种逼近于理想解的排序方法。通过计算找到一个参考点，也就是正理想值点和负理想值点，然后再计算每个方案的各指标值到正理想值点和负理想值点的距离。本文用熵权法来确定评价指标权重，客服了采用专家意见调查法或层次分析

法来确定TOPSIS法中评价指标的权重时造成的主观因素的影响。4.3.1建模过程以熵权法确定TOPSIS模型权重的步骤如下：对原始数据矩阵X(X"做正向化和无纲量化处理：当指标为正向指标时，对它进行下列处理：x—min(x)

j=—L」—+0.1jmax(x)-min(x)iii=1,2,…，m;j=1,2,…，n(2)当指标为负向指标时，对它进行下列处理：max(x)-xTOC\o"1-5"\h\zJmax(x)—min(x)'ijijiii=1,2,・・・m;j=1,2,…，n当指标为适度指标时，对它进行下列处理：j=1li^iJ+0.1ijmax(x)—min(x)iii=1,2…，m;j=1,2,・・・n(4)(2)计算第j项指标的熵值jh冬jlnjjln(m)ijiji=1(j=1,2,…，n)计算第j项指标的差异系数％。G=1—h计算第j项指标的权重七。gw=—j—jWgjj=10<w<1,Ww=1j=1构成加权的数据矩阵Z，其中元素Z〃为：z=wxj；公式公式(3)公式公式(5)公式⑹公式(7)公式⑻(公式公式(3)公式公式(5)公式⑹公式(7)公式⑻确定理想解和负理想解。Z+=(z+,z+,A,z+)；z-=(z-,z-,A,z-)TOC\o"1-5"\h\z12nZ+=max(z,z,a,z);其中j1j2jmjZ-=min(z,z,a,z),j=1,2,...,n.j1j2jmj计算每个解到正理想解和负理想解的距离。即：公式⑼公式D+=乙(z-z+)2,i=1,2,...,m'j=1£(z-z-)2,i=1,2,...,mijij=1(10)公式⑼公式(10)计算相对近似度ciD-D++D-i=1,2,...m公式(11)⑼按接近大小的顺序进行排名，由于0<c<1，c越接近1，则表明该公司的效益较好五、因子分析和主成分分析的不同区别以及在综合评价中的应用之前一直也搞不清楚因子分析和主成分分析的区别，于是不停的看相关的教材，不停的琢磨，发现找的一些文献里面仍然是分不清因子分析和主成分分析的区别，看过的一些进行区别比较的文章，我也似乎看不太懂，这里结合《张文彤的spss教程》里的区别方法以及我的理解重新i=1,2,...m在spss中，主成分分析是跟因子分析处于一个对话框中，而且主成分分析可以作为因子分析的一种方法使用，并且可以看出主成分分析是一个过程，而不是作为一个终点方法。我用的是中文版，主成分和因子分析均在“分降维----因子分析”中，采用的数据仍是张文彤的教程用的数据，我们这里通过因子分析和主成分分析法对数据中的地区进行综合排名，变量从x1-x8.由于因子分析和主成分分析的对话框都在一个当中，前面的操作基本相同，方法中选用主成分分析方法，注意如果是主成分分析，只需选择输出“未旋转的因子解”就可以了不需要进行“旋转rotation”和“得分score，”对话框操作，到此即为主成分分析。这里为了同时进行因子分析和主成分分析比较，因此选择旋转的“最大方差旋转”及“得分”中的相应操作，如下图的操作该旋转是属于因子分析中的旋转，通过旋转可以更好的解释所提取的因子，而主成分分析不需要进行旋转该图为输出因子分析的各因子得分，通过不同的方法进行保存变量，则可以直接得出提取的各因子实际得分，一般默认采用回归法，然后新提取因子的得分会在spss原来数据的最后新添加几列。“显示因子得分系数矩阵”是为了直观的列出通过因子分析方法得出的方程系数与主成分分析法求出的方程系数对比结果呈现进行对比首先出现的这张结果是因子分析和主城分分析公用的结果，如下表这张表格大家都熟悉，就不细说了，可以看出通过主成分分析法，共提取了3个因子，可以解释原来所有变量的%的方差接下来这张表格就是主成分分析的结果，如果是要用主成分方法，则使用下面这张表格，也就是“未旋转的因子解”就可以列出方程通过这个我们可以列出主成分分析方法的方程，假设三个主成分为F1F2F3则F1=*GDP+*居民消费水平+*固定资产投资+*职工平均工资+……*工业总产值F2=*GDP+（）*居民消费水平+*固定资产投资+……+*工业总产值F3=*GDP+*居民消费水平+……+*工业总产值。在进行综合