2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列各数中不是无理数的是（）A． B．﹣ C． D．0.151151115…2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，33．下列命题为真命题的是（）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b C．的算术平方根是9 D．点（1，﹣a2）一定在第四象限4．如图，AB∥CD，∠C＝40°，∠A＝60°，则∠F的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°5．某商店搞促销活动，同时购买一个篮球和一个足球可以打八折，需花费1280元．已知篮球标价比足球标价的3倍多15元，若设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据题意，可列方程组为（）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣5），则点P在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差8．如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（）A．﹣0.4 B．﹣ C．1﹣ D．﹣19．一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），且y的值随着x的值的增大而减小，则m的值为（）A．﹣6 B．﹣ C．3 D．﹣310．在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．的立方根是．12．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：169141112101681719，则这组数据的极差是．13．比较大小．14．一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为（不需要写出自变量取值范围）15．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为12，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，CD、AB分别为上、下两底的直径，且CD∥AB，则小虫爬行的最短路程是．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，点P是直线AB上一点，当∠BPC＝∠ABC时，△BPC的面积＝．三、（本题16分）17．计算：（1）；（2）．18．解二元一次方程组：（1）；（2）．四、（本题8分）19．如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．（1）求证：∠2＝∠3．（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，则∠B的大小为．五、（本题16分）20．八年级260名学生参加捐赠图书活动，活动结束后随机调查了部分学生每人的捐赠图书的数量，并按捐书数量分为四种类型，A：5本；B：6本；C：7本；D：8本．将各类的人数绘制成如图的扇形图和条形图．（1）本次接受随机调查的学生有人，扇形图中m的值为；（2）①求本次调查获取的样本数据的平均数；②本次调查获取的样本数据的众数为，中位数为；（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本？21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请回答下列问题．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标（，）（2）点P是x轴上一点，当PB+PC的长最小时，点P坐标为；（3）点M是直线BC上一点，则AM的最小值为．六、（本题18分）22．某商店从某公司批发部购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件A种商品加价15%，每件B种商品加价10%，这样全部卖出后共收入3140元，问A、B两种商品买入时的单价各为多少元？23．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）图2中折线ABC表示槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示是槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”）；（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相差5厘米；（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积为立方厘米．七、（本题12分）24．思维启迪：（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点，点E在AC上，过B点作AC的平行线，交直线ED于点F，当CE＝1时，BF＝．思维探索：（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在AC上，DF⊥DE交BC于F，连接EF，请直接写出AE，EF，BF的数量关系，并说明理由；（3）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在直线AC上，DF⊥DE交直线BC于F，若AC＝3，AB＝，EC＝1，请直接写出线段BF长．八、（本题12分）25．如图，直线y＝kx+b经过点A（，0），点B（0，25），与直线y＝x交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．（1）求点C的坐标；（2）当DE＝OA时，求△CDE的面积；（3）当△OAD沿着OD折叠，当点A落在直线OC上时，直接写出点D的坐标．

参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．下列各数中不是无理数的是（）A． B．﹣ C． D．0.151151115…【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．解：＝是有理数，，﹣，0.151151115…是无理数．故选：C．2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．解：A、1.52+22＝2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；故选：A．3．下列命题为真命题的是（）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b C．的算术平方根是9 D．点（1，﹣a2）一定在第四象限【分析】直接利用平行线的判定和性质、算术平方根的定义以及点的坐标特点分别判断即可．解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，原命题是真命题；C、的算术平方根是3，原命题是假命题；D、若a＝0，则﹣a2＝0，则点（1，﹣a2）在x轴上，故原命题是假命题；故选：B．4．如图，AB∥CD，∠C＝40°，∠A＝60°，则∠F的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】根据平行线的性质得出∠FED，利用三角形外角性质解答即可．解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠FED＝60°，∵∠FED＝∠C+∠F，∴∠F＝∠FED﹣∠C＝60°﹣40°＝20°，故选：B．5．某商店搞促销活动，同时购买一个篮球和一个足球可以打八折，需花费1280元．已知篮球标价比足球标价的3倍多15元，若设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据题意，可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】如果设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据“同时购买一个篮球和一个足球可以打八折，需花费1280元．已知篮球标价比足球标价的3倍多15元”列出方程组即可．解：若设足球的标价是x元，篮球的标价为y元，根据题意，可列方程组为：．故选：B．6．在平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣5），则点P在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．解：点P（5，﹣5）的横坐标大于0，纵坐标小于0，所以点P所在的象限是第四象限．故选：D．7．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差．故选：D．8．如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（）A．﹣0.4 B．﹣ C．1﹣ D．﹣1【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB＝AC＝，推出OC＝﹣1即可解决问题；解：在Rt△AOB中，AB＝＝，∴AB＝AC＝，∴OC＝AC﹣OA＝﹣1，∴点C表示的数为1﹣．故选：C．9．一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），且y的值随着x的值的增大而减小，则m的值为（）A．﹣6 B．﹣ C．3 D．﹣3【分析】由一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，由y的值随着x的值的增大而减小，利用一次函数的性质可得出m﹣2＜0，解之即可得出m＜2，进而可得出m＝﹣3．解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+m2﹣3的图象与y轴交于点M（0，6），∴m2﹣3＝6，解得：m1＝﹣3，m2＝3．又∵y的值随着x的值的增大而减小，∴m﹣2＜0，∴m＜2，∴m＝﹣3．故选：D．10．在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】分别利用一次函数和正比例函数的图象性质，分析得出即可．解：A、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于负半轴，则﹣k＜0，则k＞0，故此选项错误；B、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故此选项正确；C、由y＝kx经过第一、三象限，则k＞0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故此选项错误；D、由y＝kx没经过原点，图象不合题意，故此选项错误；故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）11．的立方根是﹣．【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．解：∵（﹣）3＝﹣，∴﹣的立方根根是：﹣．故答案是：﹣．12．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：169141112101681719，则这组数据的极差是11．【分析】根据极差＝最大值﹣最小值求解可得．解：这组数据的最大值为19，最小值为8，所以这组数据的极差为19﹣8＝11，故答案为：11．13．比较大小＜．【分析】先估算出的范围，再求出的范围，再得出答案即可．解：∵2＜3，∴﹣2＞﹣＞﹣3，∴1＞3﹣＞0，∴＞＞0，即，故答案为：＜．14．一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为y＝3x+10（不需要写出自变量取值范围）【分析】根据题意可知，弹簧总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系，可设y＝kx+10．代入求解．解：弹簧总长y（单位：cm）关于所挂重物x（单位：kg）的函数关系式为y＝3x+10，故答案为：y＝3x+1015．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为12，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，CD、AB分别为上、下两底的直径，且CD∥AB，则小虫爬行的最短路程是13．【分析】先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求出结果．解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．在Rt△ABC中，∵AB＝π•＝5，CB＝12，∴AC＝＝＝13，故答案为：13．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，点P是直线AB上一点，当∠BPC＝∠ABC时，△BPC的面积＝或．【分析】当点P在AB的延长线上时，过点C作CD⊥AB于点D，可知BC＝BP＝1，再用面积法求出CD的长，从而得出答案；当点P在线段AB上时，过点C作CD⊥AB于点D，延长AB到Q，使BQ＝BC＝1，利用①同理解决问题．解：∵∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝3，①当点P在AB的延长线上时，过点C作CD⊥AB于点D，∵∠BPC＝，∠BPC+∠BCP＝∠ABC，∴∠BPC＝∠BCP，∴BC＝BP＝1，∵S△ABC＝，∴，∴CD＝，∴S；②当点P在线段AB上时，过点C作CD⊥AB于点D，延长AB到Q，使BQ＝BC＝1，∵BQ＝BC，∴∠BQC＝∠BCQ，∴∠BQC＝，∵∠BPC＝，∴∠BPC＝∠BQC，∴CP＝CQ，∵CD⊥AB，∴PD＝DQ，由①得CD＝，∴BD＝＝，∴PB＝PD+BD＝DQ+BD＝BQ+2BD＝，∴S＝，综上，△BPC的面积为或．三、（本题16分）17．计算：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案；（2）直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．解：（1）原式＝﹣3×＝﹣＝﹣＝；（2）原式＝3﹣15×+×4＝3﹣5+＝﹣．18．解二元一次方程组：（1）；（2）．【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．解：（1），把②代入①，得y﹣9+3y＝7，解得y＝4，把y＝4代入②，得x＝﹣5，故方程组的解为；（2），①+②，得3x＝8，解得x＝，把x＝代入②，得y＝，故方程组的解为．四、（本题8分）19．如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．（1）求证：∠2＝∠3．（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，则∠B的大小为34°．【分析】（1）由对顶角相等得∠FMB＝∠CMG，从而得∠ENC+∠ENC＝180°，则有DE∥FG，可判断∠3＝∠BFG，再由平行线的性质可得∠BFG＝∠2，从而得证∠2＝∠3；（2）由平行线的性质得∠A+∠ACD＝180°，∠1＝∠B，结合条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠ENC+∠CMG＝180°，∠FMB＝∠CMG，∴∠ENC+∠ENC＝180°，∴DE∥FG，∴∠3＝∠BFG，∵AB∥CD，∴∠BFG＝∠2，∴∠2＝∠3；（2）解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∠1＝∠B，∵∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，∴∠1+70°+∠ACB+∠1＝180°，即∠1+70°+42°+∠1＝180°，解得：∠1＝34°，∴∠B＝∠1＝34°．故答案为：34°．五、（本题16分）20．八年级260名学生参加捐赠图书活动，活动结束后随机调查了部分学生每人的捐赠图书的数量，并按捐书数量分为四种类型，A：5本；B：6本；C：7本；D：8本．将各类的人数绘制成如图的扇形图和条形图．（1）本次接受随机调查的学生有20人，扇形图中m的值为30；（2）①求本次调查获取的样本数据的平均数；②本次调查获取的样本数据的众数为6本，中位数为6本；（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本？【分析】（1）根据A的人数与百分比求出总人数，用C类的人数除以总人数即可求出m的值；（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．解：（1）抽取的总人数是：4÷20%＝20（人），m%＝＝30%，∴m＝30．故答案为：20，30；（2）①平均数是：＝6.3（本），②∵6出现的次数最多，出现了8次，∴众数为6本，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10、11个数的平均数，∴中位数为＝6（本）；故答案为：6本，6本；（3）根据题意得：260×6.3＝1638（本），答：估计这260名学生共捐赠图书1638本．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请回答下列问题．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标（5，﹣2）（2）点P是x轴上一点，当PB+PC的长最小时，点P坐标为（3，0）；（3）点M是直线BC上一点，则AM的最小值为2．【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）连接BC1交x轴于点P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．（3）过A作AM⊥BC于M，进而解答即可．解：（1）如图所示：C1的坐标（5，﹣2）；故答案为：5；﹣2；（2）如图所示：P（3，0）；故答案为：（3，0）；（3）AM＝2；故答案为：2．六、（本题18分）22．某商店从某公司批发部购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件A种商品加价15%，每件B种商品加价10%，这样全部卖出后共收入3140元，问A、B两种商品买入时的单价各为多少元？【分析】设A商品买入时的单价为x元，B商品买入时的单价为y元，根据购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元，加价之后卖出后共收入3140元，据此列方程组求解．解：设A商品买入时的单价为x元，B商品买入时的单价为y元，由题意得，，解得：．答：A商品买入时的单价为12元，B商品买入时的单价为20元．23．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）图2中折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示是甲槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”）；（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相差5厘米；（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积为84立方厘米．【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；（2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令两个y差值为5，求解即可；（3）先求出若乙槽中没有铁块，乙槽水位上升高度，根据多升高的水的体积为铁块体积的，即可求出乙槽中铁块体积．解：（1）根据题意可知甲槽中的水位逐渐降低，乙槽中的水位逐渐升高；∴图2中折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，故答案为：乙；甲．（2）设线段AB、DE的解析式分别为：y1＝kx+b，y2＝mx+n，∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0）∴，解得，，解得，∴AB解析式为y＝3x+2，DE解析式为y＝﹣2x+12，令|3x+2﹣（﹣2x+12）|＝5，解得x＝1或3，∴注水1分钟或3分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相差5厘米；（3）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为（19﹣14）×＝15（厘米），∴乙槽中铁块体积为（19﹣2﹣15）×36×＝84（立方厘米），故答案为：84．七、（本题12分）24．思维启迪：（1）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点，点E在AC上，过B点作AC的平行线，交直线ED于点F，当CE＝1时，BF＝2．思维探索：（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在AC上，DF⊥DE交BC于F，连接EF，请直接写出AE，EF，BF的数量关系，并说明理由；（3）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E在直线AC上，DF⊥DE交直线BC于F，若AC＝3，AB＝，EC＝1，请直接写出线段BF长．【分析】（1）利用勾股定理求出AC＝3，则AE＝2，证明△AED≌△BFD，得到BF＝AE即可求解；（2）过点B作BG∥AC交ED的延长线于点G，证明△AED≌△BGD，得到BG＝AE，DE＝DG，根据勾股定理解答；（3）分两种情形，当点E在线段AC上时，当点E在线段AC的延长线上时，设BF＝x，则CF＝5﹣x．构建方程求解即可．解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，∴AC＝3，∵CE＝1，∴AE＝2，∵BF∥AC．∴∠A＝∠DBF，∠AED＝∠F，在△AED和△BED中，，∴△AED≌△BFD（AAS），∴BF＝AE＝2，故答案为：2；（2）线段AE，EF，BF之间的数量关系为：AE2+BF2＝EF2．理由如下：过点B作BG∥AC交ED的延长线于点G，连接FG，由（1）可知，△ADE≌△BDG，∴BG＝AE，DE＝DG，∵FD⊥DE，∴FE＝FG，∵BG∥AC，∴∠CBG＝180°﹣∠C＝90°，∴BG2+BF2＝FG2，∴AE2+BF2＝EF2；（3）如图，当点E在线段AC上时，∵AC＝3，AB＝，EC＝1，∴AE＝2，BC＝＝5，设BF＝x，则CF＝5﹣x．∵EF2＝AE2+BF2＝CE2+CF2，∴x2+22＝（5﹣x）2+12，∴x＝，∴BF＝．如图，当点E在线段AC的延长线上时，过点B作BG∥AC交ED的延长线于点G，连接FG，由（1）可知，△ADE≌△BDG，∴AE＝BG，DE＝DG，∵FD⊥DE，∴FE＝FG，∵BG∥AC，∴∠GBG＝180°﹣∠ACB＝90°，∴BG2+BF2＝FG2，∴AE2+BF2＝EF2．∵AC＝3，AB＝，EC＝1，∴AE＝4，BC＝＝5，设BF＝x，则CF＝5﹣x．∵EF2＝AE2+BF2＝CE2+CF2，∴x2+42＝（5﹣x）2+12，∴x＝1，∴BF＝1．综上所述，BF的长为或1．八、（本题12分）25．如图，直线y＝kx+b经过点A（