第1讲函数的极限、连续性2015基础预习

2015工 会判断间断点的类型 在自变量的变化过程中,如果对应的函数值无限接近于f(x)函数的极限有两种变化形式xx或称为两种趋近过程x指:x及xxx指:xx及x 设函数f(x)当x大于某一正数时有定义.如果存在着正数X,使得当x满足不等式x X时,对应的f(x)f(xAεf(x)当x记作limf(x)limf(x)Alimf(x)limf(x) limf(x)AyAε(ε0X0,xX时yf(x)的图像夹在yAε两直线之间，如图yyA+ε−oXxxx0f(x设函数yf(x)在x0的某个去心邻域内有定义若ε0(不论多么小),δ0,当0xx0δ时f(xAAf(x)当xx0时的极限记作:limf(x)A此时也称当xx0时,f(x)的极限存在否则,称当xx0时,f(x)的极限不存在limf(x)AxyAε(ε0存在δ0,x^(x0δ内时,yf(x)^yyy=fAox设f(x)在x0的左边附近(右边附近)有定义使得当0x0xδ(0xx0δ)时f(x)AA为,当xx0时的左极限(右极限0记作limf(x)Alimf(x)00xx0

xx

limf(x)alimf(x)limf(x)

f(x)在x0点极限存在的充要条件是 x例:f(x)cos

x

讨论limf(x)若limf(x)0,则称f(x)例:lim10limsinx0limcosxx 21sinxcosx是相应过程的无穷小量注意无穷小量与极限过程不能分开不能脱离过程谈例如limsinx0是无穷小量;limsinx1 2若α(x)是某个极限过程的无穷小量,f(x)是该过程的有界量,则α(xf(x)是该过程例：求lim1sinx设某过程,limf(x)0limg(x)0且limf(x)g(x)l0f(x)g(x)的高阶无穷小量l0f(x)与g(x)l1f(x)与g(x)为等价无穷小量limf(x)l0f(x)是g(x)的k阶无穷小;g(x)kx

sinx~xtanx~ arcsinx~ arctanx~ex1~ ln1x~21cosx~1x221 1 1~1xsinx x316若limf(x)Alimg(x)B,limf(x)g(x)limf(x)limg(x)Alimf(x)g(x)limf(x)limg(x)A

若B0limf(x)limf(x)g(x) limg(x) 若limf(x)A,则在该过f(x)Aα(x)α(x)是该过程的无穷小量有限个无穷小的积极也是无穷小求

11x

x2

x2x2求

4x32x23x2

limsinx

1 1x

xx

(lim1 11求lim(cosxx2x求limx x0型:limfx0limg(x)0型:limf(x)limg(x)fxgx都存在,且limfxg则

fgx求limxsin 设函数f(x)在x0某邻域U(x0内有定义limf(xf(x0则称函f(x)在x0点连续x0f(x的连续点;否则f(x)在x0间断,x0f(x)的间断点或不连续点;f(x)在x右邻域U(x或左领域U(x－)) 内有定义limf(x)f(x0limf(x)f(x0 xx f(x)在x0点连续 f(x)在x0点左连续且右连f(x|x

f(x)

xx

当x0f(x)在x0点是否连续定理.(1初等函数在其定义域内连续

x2ln(4 x2 x0 cosxlimf(x)f(x0)要使它成立f(x)x0有定义f(x)x0的极限存在这三条有一条不成立f(x)x0不连续(间断fx)

当x0时当x0时,的间断点.当x0时,可去间断点:跳跃间断点:断点。左,右极限中至少有一个不存在的间断点无穷间断点:求ysin1的间断点, x根的存在定理f