.点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

个人收集整理―仅供参考学习个人收集整理―仅供参考学习16.3点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系【考纲要求】1能.根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2能.由给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系；3会.求两圆相交弦的方程、弦长、弧长，会求圆的切线方程.【命题规律】直线与圆的位置关系是本节考查的重点内容，题型为填空题，通常考查圆的切线方程、直线与圆相交的弦长、切线长、圆心角、弧长及面积的计算。圆与圆的位置关系通常考查公共弦长、公共弦的方程、对称性。解析几何中设而不求的思想方法，圆与其他知识的交汇，一般会在解答题中出现，难度适中。个人收集整理勿做商业用途【知识回顾】已知圆(x—a)2—(y—b)2=r2,圆心为C(a,b),那么点P(x0,y0)与圆的位置关系有:()点P在圆上=(x0—a)2+(y0—b)2=r2olPCI=r()点P在圆内o(x0—a)2+(y0—b)2<r2QPCl<丫()点P在圆外o(x0—a)2+(y0—b)2>r2olPCl>r圆外一点P到圆上任一点的最大距离为|PC1+r，最小距离为|PC|一r位置关系：相离、相切、相交，分别对应直线与圆有0个、1个、2个公共点。代数法：判断方法：代数法：a>0o相交o直线与圆有个公共点a=0o相切o直线与圆有个公共点这种A<0o相离o直线与圆有个公共点由判别式A来判断位置关系的方法，即代数法，是解析几何中研究两条曲线交点问题的通法，也是一种基本方法，具有一般性，但运算量比较大，一般不用此法。个人收集整理勿做商业用途d<ro直线与圆相交（）几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小来判断，即\d=ro直线与圆相切d>ro直线与圆相离位置关系：外离、外切、相交、内切、内含)O)Ol=. (a —a)2+(b —b)2，121r1 2 1 2口0:(x—Q)2+(y—8)2二厂20—x-a)2+(y—8)2=r2，u1 1 1 1口2 2 2 2d>r+rO外离O4条公切线12d=r+ro外切o3条公切线121|r—r|<d<r+ro相交o2条公切线1212dTr—r|o内切o1条公切线2d<1r—r|O内含O无公切线12P（x,y）00先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为-1，由点斜式方程可求切线方程，若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x二xoP(x,y)00（）几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为1:y-y=k（x-x），即kx-y+y-kx=o由圆心到0 0 00直线的距离等于半径，即可得出切线方程.（）代数方法：设切线方程为1：y-y=k（x-x），即kx-y+y-k=°，代入圆方程，得到一个关于x的o o oo一元二次方程，由A=0,求得k，切线方程即可求出1.直（1）（2）（）从圆外一点引圆的切线一定有两条，如果求出的切线斜率只有一个，则另一条切线一定垂直于1.直（1）（2）几何方法：由半径r，弦心距d，及半弦长构成的直角三角形，利用勾股定理得弦长为IAB1=2Vr2-d2代数方法：利用弦长公式设直线y=kx+m与圆（x-a）2-（y-b）2=r2相交于A（x,y）,B（x,y）两点，将直线方程与圆的方程联立则I则IABI='-；1+k21x-xI=-,1+k2•式x+x)2-4x•x、 AB 'AB AB后，整理出关于x的方程，求出x+x,x-x，ABABIABI=.i+—Iy-yIk2aB2.弦中点求法：bx+x（）由直线与圆方程联立消元＞得到关于x或y的一元二次方程，由唯达定理得x+x=--nx=士u12a 中2（2）由弦所在方程和过圆心且垂直于弦的直线方程组成的方程组求得交点坐标（即中点）。直线与圆相交时，过两圆交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+MAx+By+C）=0证明：方法一：证明：方法一：k="，.二kopx l: 000过圆％2+y2=r2上一点P(x,y)的切线方程：xx+yy=r20000xx=一-O」.y-y=一-o(x-x),即yy-y2=一xx+x2,即xx+yy=x2+y 0y 0 0000 000又Pa。,y0)在圆上x2+y2=r2•xx+yy—r200 0 0方法二：•.设l:y-y=k(又Pa。,y0)在圆上x2+y2=r2•xx+yy—r200 0 0方法二：•.设l:y-y=k(x-x)，即kx-y+y-kx=00••・圆心到l的距离d二0|y-kx|—0 0二r+100•(y-kx)2=r2(1+k2)即y2k200 0+2xy+x2—0

00 0x即(yk+x)2—0, k―--0,00 y0x/.y-y=--0(x-x)即xx+yy=r20y 0 000过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的切线方程为I5-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2x+xy+y过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点P%，y°)的切线方程为x0x+y0y+D-丁+E-k+F=0证明：DE、-圆心为(--y，--),E, y0+5 2y+E, 2x+D•k= -——0 ,「♦k= 0 op,D2x+Dl2y+Ex+~ 0 0022x+D,切线方程为y-y=-—―-(x-x)即(y—y)(2y+E)+(2x+D)(x—x)=00 2y+E0 0 0 0 00P(x,y)在圆上/.x2+y2+Dx+Ey+F=000 0 0 0 02xx+2yy+D(x+x)+E(y+y)+2F=0即xx+yy+D-0000x+x 0+E-从圆外一点P(x,y)引圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的两条切线，切线长d=xa+y2+Dx+Ey+F0 0 ,0 0 0 0DE、证明：,「圆心为(-■—，-■—),PM=PN从圆外一点P(x0,y°)引圆(x-a+(y-b)2=r2的两条切线,切线长d5x0-a+(y0-块f从圆外一点P(x0，叩引圆x2+y2=r2的两条切线,则切点弦所在直线方程为x0x+y0y=r2证明：方法一：设M,N坐标分别为M(x,y),N(x,y)11 22M,N在已知圆x2+y2=r2上，,过M,N的切线方程分别为xx+yy=r2,xx+yy=r211 22又P(x,y)为两切线公共点，,xx+yy=r2,xx+yy=r20 0 01 01 02 02上式表明点M(x,y),N(x,y)都满足二元一次方程xx+yy=r211 22 0 0,直线MN方程为xx+yy=r200方法二：设以OP为直径的圆的方程，其圆心为(x0,y0)，半径r2=(op)2=-op2x y1,(x一^)2+(y-70)2=(x2+y2)2 2 40 0即x2+y2-xx-yy=0

00又x2+y2=r2,,xx+yy=r200若点P(x0,y0)是圆x2+y2=r2外一点，则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系是相交若点P(x0，y0)是圆x2+y2=r2上一点，则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系是相切若点P(x0，y0)是圆x2+y2=r2内一点则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系是相离证明：P(x,y)在圆外，」OP12=x2+y2>r2,00 0 0r2 r200又,点O(0,0)到l:XX+yy=r2的距离d=. <—=r00直线xx+yy=r2与圆x2+y2=r2相交。00过圆C内一点A的直线l与圆交于一条弦MN，其中：当l过圆心时弦长最大，即直径；当l不过圆心但垂直于AC时，弦长最小，且MN是以为中点，且C到l的距离最大。个人收集整理勿做商业用途当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d—r(其中d为圆心到直线的距离)七、两圆相交——“相交弦直线方程”“过两圆交点的圆系方程”设圆Ci:x2+y2+qx+E1y+Fi=0和圆C2:x2+y2+Rx+E2y+F2=0相交，过两圆交点的交点弦方TOC\o"1-5"\h\z程为：(x2+y2+Dx+Ey+F)-(x2+y2+Dx+Ey+F)(D—D)x+(E—E)y+(F—F)=0i i i 2 2 2 i2 i2 i2C:x2+y2+Dx+Ey+F=0'••①注：，1 1 1 1 …由①②得(D-D)x+(E-E)y+(F-F)=0……③\o"CurrentDocument"IC:x2+y2+Dx+Ey+F=0•••② 1 2 1 2 1 22 222①当两圆是同心圆时，此直线不存在②当两圆相交时，方程③为公共弦(即相交弦)所在直线；(两圆相交弦的中垂线为连心线，但是连心线段的中垂线不一定是相交弦所在直线，除非两圆是等圆)个人收集整理勿做商业用途③当两圆外切时，方程③为两圆内公切线所在直线；④当两圆内切时，方程③为两圆公切线所在直线；⑤当两圆相离时，方程③为与两圆连心线垂直的直线；⑥当两圆半径相等时，方程③为两圆的对称轴2当过两圆交点的圆系方程：设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，过交点的圆系方程为：1 111 2 222x2+y2+Dx+Ey+F+>(x2+y2+Dx+Ey+F)=0(九丰-1)111222111当九二-1时，方程变为(D-D)x+(E-E)y+(F-F)=0，它表示过两圆交点的直线12 12 12【典例分析】例 已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(mgH),求证：不论m为何值，圆心在同一直线上。解()证明：配方得(x-3m)2+[y-(m-1)]2=25Ix=3m设圆心为(x,y)，则I ।消却＞x-3y-3=0Iy=m-1则不论为何值，圆心恒在直线l:x-3y-3=0上例若过点 的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点，求直线l的斜率的取值范围解：因为点 在圆外，所以斜率必存在设经过该点的直线方程为kx-y-4k=0,

12k—0—4kI1v3 7 3所以有 <1解得一<《k<—kk2+1 3 3例 已知两圆%2+)2-2x—6y—1=0和x2+>2—10%—12y+m=0求()m取何值时，两圆外切？()m取何值时，两圆内切？解将两圆分别化为标准方程圆c：(x―1)2+(y—3)2=11圆C：(%—5)2+(y—6)2=61—m12TOC\o"1-5"\h\z两圆圆心距CC=<(5—1)2+(6—3)2=5，r=<1T,r=<61—m12 1 2当CC=rr 即J11+j61-m=5即m=25+106？时两圆相切12 12当CC=|r—rI即k11—<61—m=5即m=25+10v11或m=25—10x.11时12 1 2由知m=25+10JE两圆外切故m=25—10布时两圆内切例已知点P(0,5)及圆c：%2+y2+4x—12y+24=0若直线l过P且被圆截得的线段长为4万求l的方程求过P点的圆的弦的中点的轨迹方程分析（）可以用代数法一一将直线l的斜率设出（优先考虑斜率不存在的情况），写出直线方程，并将其代入圆的方程，然后运用弦长公式d=vi+k2Ix—xI来解决；也可以用几何法一一设出直线l方程：1 2y—5=kx首先注意斜率不存在情况，运用圆心到直线的距离，圆半径和一半弦长构成直角三角形来解决（2）中点弦问题，可以考虑“代点作差法”，也可以利用“垂直于弦的直径平分弦”这一几何特征来求解解 方法一：如图所示，AB=4m是中点，CD±AB,AD=273,AC=4在△中，可得设所求直线的斜率为k则直线的方程为y—5=kx即kx—y+5=0I—2k—6+5I 3由点到直线 的距离公式 ； =2nk=-kk2+（—1）2 43当k=时直线l的方程为3x—4y+20=04又直线l的斜率不存在时也满足题意，此时方程为x=0・・・所求直线的方程为x=0或3x—4y+20=0方法二：设所求直线的斜率为k则直线l的方程为y—5=kx即y=kx+5，得(1+k2)，得(1+k2)x2+(4—2k)x—11=0①联立直线与圆的方程r 消去x2+y2+4x—12y+24=02k—4x+x-_ f , 1 2 1+k2…设方程①的两根为X,X由韦达定理得1 1+k2②12 11XX 〔12 1+k2由弦长公式得C1+k2|X-XI=1(1+k2)[(x+x)2-4xx=4V31 2 1 2 12,3将②式代入，解得k=4,此时直线方程为3X—4y+20-0又k不存在时也满足题意，此时直线方程为X-0...所求直线方程为X=0或3X-4y+20-0设过点的圆的弦的中点为D(x,y)，则CD±PD即CD-PD=0即(x+2,y一6)(x,y-5)-0化简得x2+y2+2X-11y+30=0所求轨迹方程为X2+y2+2x—11y+30=0例-陕西改编过原点且倾斜角为°的直线被圆x2+y2—4y=0所截得的弦长为解x2+y2—4y=0即x2+(y—2)2=4则圆心A(0,2),OA=2所求弦长为2x2xcos30=2/o例 求过直线 与圆=2+y2+2X—4y+1=0的交点，且过原点的圆的方程分析可用待定系数法，由两交点坐标和过原点的条件，求出待定系数，也可用圆系方程求经过两圆交点的圆的方程I个人收集整理勿做商业用途解方法一由11X=——5解方法一由11X=——5一〜112、所以交点坐标为A(—3,2),B(一■5<5)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0F=03D=~2由题意得V9+4—3D+2E+F=0 n<―11+2-11D+2E+F=0〔555 517E=——4F=02y=一5方法二：设所求圆的方程为X2+y2+2X—4y+1+入(2x+y+4)=0即X2+y2+2(1+入)x+(入一4)y+(1+4入)=01•此圆过原点，「.1+4九=0n九=一二43 17c.,.所求圆的方程为X2+y2+TX- y=024例 求过直线 和圆=2+y2+2X—4y+1=0的交点且面积最小的圆的方程解求圆的方程为x2+y2+2x—4y+1+X（2x+y+4）=0即x2+y2+2（1+入）x+（入—4）y+（1+4入）=0①

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