第三章数据描述讲义

第三章数据描述讲义中央财经大学统计学院20101201012010120101201012010120102本章要回答的问题常用的统计图表有哪些？如何绘制和解释其含义？通常使用哪些数值指标描述数据的特征？如何计算？中央财经大学统计学院20101201012010120101201012010120103§3.1统计图与统计表绘制统计图一般都需要先对数据进行统计分组，在得到的频数分布表的基础上制图。中央财经大学统计学院20101201012010120101201012010120104§3.1.1统计分组与频数分布统计分组：就是按照研究目的将数据分成若干组的统计方法。关键：选择分组变量和划分各组界限例如按照考试成绩把学生分为优、良、中、及格、不及格。统计分组的结果是形成频数分布(分布数列，FrequencyDistribution)。频数分布举例两个构成要素：各组的分组界限每组中的次数或频率通过频数分布表可以发

现数据分布的特征。频数（frequency)：每个组中的数据个数，也称次数。频率（relativefrequency)：频数/总数据个数。成绩人数频率60以下37.14%60-70819.05%70-801228.57%80-901535.71%90以上49.52%合计42100.00%中央财经大学统计学院20101201012010120101201012010120106分组方法等距分组不等距分组单变量值分组组距分组分组方法按品质变量分组按数量变量分组中央财经大学统计学院20101201012010120101201012010120107单变量值分组将一个变量值作为一组，适合于离散变量，适合于变量值较少的情况。例如某学院2008年毕业研究生毕业时发表论文篇数的频数分布表（右表）。发表论文篇数人数2345668532合计24中央财经大学统计学院20101201012010120101201012010120108组距分组将变量值的一个区间作为一组，适合于连续变量，适合于变量值较多的情况。分组必须遵循“不重不漏”的原则。分为等距与不等距分组。各组组距都相等时为等距分组。为了避免有些组中的频数很少甚至是空白的情况，有时也可以采用不等距（异距）分组。应用中可能需要把第一组和/或最后一组设为开口组。中央财经大学统计学院20101201012010120101201012010120109组距分组的步骤1、确定组数：通常为5到15(20)组。Sturges提出的经验公式：分组组数K应满足2、确定组距和各组界限，建议为5,10…的倍数。组距≈(最大值-最小值）÷组数

3、根据分组整理成频数分布表

中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201010组距分组中的基本概念1、下限：一个组的最小可能值2、上限：一个组的最大可能值3、组距：上限与下限之差4、组中值：下限与上限之间的中点值，（下限+上限）/2。

开口组的组中值可以按以下方法计算：缺下限：上限-邻组组距/2缺上限：下限+邻组组距/2但许多作者认为无法计算开口组的上限或下限。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201011等距分组表：上下组限间断某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）频率（%）105~109110~114115~119120~124125~129130~134135~139358141064610162820128合计50100等距分组表（上下组限重叠，上组限不在内)某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）频率（%）105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064610162820128合计50100中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201013等距分组表：（使用开口组）某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）频率（%）110以下110~115115~120120~125125~130130~135135以上358141064610162820128合计50100中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010143.1.2列联表（Contingencytable）如果对数据同时根据两个变量分组，汇总得到的结果称为列联表。列联表反映的是两个变量的联合分布，可以用来分析两关变量之间的关系。也称为交叉分组表（Crosstabulation）。列联表一般根据两个定性变量进行编制，如果是定量变量则需要先对单个变量进行分组。列联表中的数字为交叉单元格中的频数或频率。以列联表为基础可以对两个变量之间的关系进行多种统计检验。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201015列联表举例市场营销专业的男生有10人。

市场营销专业统计学专业合计男生102030女生301545合计403575中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010163.1.3常用统计图数据类型定性数据定量数据条形图饼图线图茎叶图箱线图直方图中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201017条形图（BarChart)用宽度相同的条形高度或长短来表示数据

变动的图形，条形的排列可以横排，也可

以纵排。条形图有单式、复式等形式。2003年我国就业人员情况（万人）中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201018圆形图(PieChart)也叫饼图，它是用圆形及圆内扇形的面积

来表示数值大小的图形。主要用于总体内

部的结构，各组成部分所占比例等。2003年我国国内生产总值中各产业比重中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201019直方图(Histogram)用来反映数量变量的分布状况。在统计分组的基础上，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图。注意对不等距分组：纵轴必须表示为频数密度频数密度=频数/组距(面积之和=总频数)手工绘制直方图时需要先对数据进行分组；用统计软件作直方图时统计软件可以自动进行分组。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201020直方图（等距分组）某会计师事务所对20家公司进行年终审计所需时间（天）的频数分布表审计时间（天）频数10-15415-20820-25525-30230-351合计20中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201021直方图（不等距分组）某会计师事务所对20家公司进行年终审计所需时间（天）的频数分布表审计时间（天）频数频数密度10-1540.815-2081.620-255125-3530.3合计20-中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201022直方图与条形图的异同都是用来反映数据的分布状况，适用于不同类型的数据。条形图是用条形的高度表示各类别频数的多少，其宽度(表示类别)则是固定的。直方图是用面积表示各组频数的多少，矩形的高度表示每一组的频数或百分比，宽度则表示各组的组距，其高度与宽度均有意义。直方图的各矩形通常是连续排列，条形图则是分开排列。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201023折线图(Frequencypolygon)折线图也称频数多边形图是在直方图的基

础上，把直方图顶部的中点(组中值)用直线

连接起来，再把原来的直方图抹掉。折线图的两个终点要与横轴相交，具体的做法是第一个矩形的顶部中点通过竖边中点（即该组频数一半的位置）连接到横轴，最后一个矩形顶部中点与其竖边中点连接到横轴。组数越多，组据就越小，折线图就越光滑，逐渐形成一条平滑的曲线，这就是频数分布曲线。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201024审计时间的折线图主要用于显示未分组的原始数据的分布。由“茎”

和“叶”两部分构成，其图形是由数字组成的。通常以数据的高位数值作树茎，低位数字作树叶，树叶上只保留一位数字。树叶的竖列要对齐，以计算各组的次数。原始数据：

24,26,24,21,27,27,30,41,32,38从小到大排序后的数据：

21,24,24,26,27,27,30,32,38,41茎叶图:3028412144677茎叶图（Stem-and-LeafDisplay）30中央财经大学统计学院20101201012010120101201012010120102640名教师的年龄的数据：40，41，48，51，37，35，36，50，33，42，28，33，36，29，28，29，34，35，27，36，28，29，34，26，35，40，27，43，45，39，42，41，48，55，43，42，42，51，52，64Stem-and-LeafPlot

FrequencyStem&Leaf

9.00

2.677888999

4.00

3.3344

8.00

3.

10.00

4.0011222233

3.00

4.588

4.00

5.0112

1.00

5.5

1.00Extremes(>=64)

Stemwidth:10.00

Eachleaf:1case(s)

SPSSStatistics生成的一个茎叶图中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201027线图(LineChart)利用线形的升降起伏来表现描述的变量在一段时期内的变动情况，主要用于显示时间数列的数据。1996年-2003年城乡居民人民币储蓄存款年底余额中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010283.1.4绘制统计图时的注意事项1、通过选择恰当的图形类型、刻度、长宽比例等，使图形能够准确反映数据中包含的信息。时间一般绘在横轴，指标数据绘在纵轴。长宽比例要适当，其长宽比例大致为10：7。一般情况下，纵轴数据下端应从“0”开始。数据与“0”之间的间距过大时，可以采取折断的符号将纵轴折断。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201029绘制统计图时的注意事项2、图形要尽量简明。图形应该突出所要传达的信息，不必要的标签、背景、网格线、等会分散读者的注意力。3、图形应该有清楚的标题和必要的说明，明确图形的含义、计量单位、坐标轴代表的变量、资料来源等等。4、反复加工和修改是获得优秀统计图形的重要步骤。统计软件给出的统计图形没有多少可以不加修改而直接应用。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201030下图增长速度惊人。上图增长速度缓慢。不恰当的统计图形举例：纵横比例中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201031

不必要的三维效果：三维图形可能比二维图形更能吸引读者的注意，但只能用来反映变化的趋势，不能用来进行精确的比较。不恰当的统计图形举例：三维效果中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201032不恰当的统计图形举例：图形类型1960:$1.001970:$1.601980:$3.101990:$3.80MinimumWage不好的图形好的图形MinimumWage0241960197019801990$中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201033不恰当的统计图形举例：压缩纵轴QuarterlySales不好的图形0100200Q1Q2Q3Q4$好的图形QuarterlySales02550Q1Q2Q3Q4$中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201034不恰当的统计图形举例：纵轴无零点好的图形MonthlySales不好的图形36394245JFMAMJ$MonthlySales0394245JFMAMJ$36中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010353.1.5统计表统计表是统计资料的最基本表现形式,使数据资料表述的更加紧凑、简明，条理清晰、通俗易懂，便于数据的比较。一个完整的统计表从结构上看一般包括：表头、行标题、列标题、数据资料。对表中指标或数据的补充说明一般作为附加部分放在统计表的下方。

中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201036统计表的构成

表3-12003年我国就业基本情况

项目200120022003经济活动人口（万人）就业人员合计(万人)城镇登记失业人数(万人)城镇登记失业率(％)

74432730256813.675360737407704.076075744328004.3

资料来源：2004年统计年鉴中国统计出版社注：1990年至2000年，就业人员总计、城镇和乡村就业人员小计资料根据

第五次全国人口普查资料重新调整，2001年及以后资料根据人口变动抽样

调查资料推算，因此分地区、分类型、分行业的分项资料相加不等于总计。行标题表头列标题数字资料附加中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201037统计表的制作要求原则：科学、实用、美观、简练。标题简明扼要，满足3W要求(When,Where,What）。结构合理，长宽比例要适当。统计表为“开口式”；表的上下两条横线一般用粗线，其他线用细线，线条要少。数据计量单位相同时，可放在表的右上角标明，不同时应放在每个指标后或单列出一列标明。表中的数据一般是右对齐，有小数点时应以小数点对齐，而且小数点的位数应统一。对于没有数字、缺某项或免填的表格单元，应使用特定符号标出。必要时可在表的下方加上注释。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201038§3.2数据描述的数值方法数据描述的数值方法分布的形状集中趋势离散程度众数中位数均值离散系数方差和标准差峰度四分位距极差偏态中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010393.2.1集中趋势常用的集中趋势的测度指标：算术平均数中位数众数集中趋势：一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度。集中趋势测度：寻找数据水平的代表值或中心值。1算术平均数(均值，ArithmeticMean)总体均值常用表示。样本均值常用表示。样本均值的计算公式：

简单平均数：加权平均数(分组数据)：中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201041算术平均数(例子)某企业的工会随机调查了20名工人2005

年6月加班的小时数，结果如下：该组数据算术平均数等于

（13+18+…+12）/20=11.6（小时）。1318121571551217712109131219671112中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201042加权算术平均数(例子)在前面的例子中，假设我们只得到了分组后的资料：该组数据算术平均数等于

245/20=12.25（小时）。分组人数5-10610-15915-205合计20分组人数组中值xf5-1067.54510-15912.5112.515-20517.587.5合计20-245中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201043关于计算结果的说明根据原始数据和分组资料计算的结果一般不会完全相等，根据分组数据只能得到近似结果。只有各组数据在组内呈对称或均匀分布时，根据分组资料的计算结果才会与原始数据的计算结果一致。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201044算术平均数的性质1、 所有的定量数据都有算术平均数。2、计算算术平均数时使用了所有数据。3、一组数只有一个均值。4、各变量值与均值的离差之和等于零。张村有个张千万，九个邻居穷光蛋；统计平均算资产，个个都是张百万。

缺点：易受极端值的影响。严格来说无法根据有开口组

的分组数据计算算术平均数。中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010452中位数(Median)一组数据按大小顺序排列后，处在数列中点位置的数值。特点：对一组数据是唯一的。不受极端值的影响。主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201046根据原始数据计算中位数n为奇数时等于第(n+1)/2个数。n为偶数时等于第n/2和n/2+1个数的平均值1，2，5，9，11中位数=51，2，5，9，11，18中位数=（5+9）/2=7中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010473众数(Mode)一组数据中出现次数最多的变量值。主要特点：不受极端值的影响。有的数据无众数或有多个众数。对未分组定量资料很少使用。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201048众数的不惟一性众数无众数众数1众数2众数、中位数和算术平均数的关系对称分布

均值=中位数=众数分配为钟形、轻微不对称的经验公式：左偏分布均值

中位数

众数<<右偏分布众数

中位数均值<<中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201050小结：平均数、中位数、众数的特点算术平均数：易受极端值影响(使用了全部数据)数学性质优良,主要用于数值型数据数据对称分布或接近对称分布时应用中位数:不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用;主要用于顺序数据众数：不受极端值影响不具有惟一性数据分布偏斜程度较大时应用;主要用于分类数据中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010514分位数（Quantile)把顺序排列的一组数据分割为若干相等部分的分割点的数值。分位数可以反映数据分布的相对位置（而不单单是中心位置）。常用的有四分位数、十分位数、百分位数。四分位数（Quartile)：Q1Q2Q3

十分位数(Decile):D1D2………D9百分位数(percentile)：

P1P2…………P99中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201052四分位数（Quartile)数据按大小顺序排序后把分割成四等分的三个分割点上的数值。在实际应用中四分位数的计算方法并不统一（数据量大时这些方法差别不大）。对原始数据：SPSS中四分位数的位置为(n+1)/4，2(n+1)/4，3(n+1)/4。Excel中四分位数的位置分别为(n+3)/4，2(n+1)/4，（3n+1)/4。如果四分位数的位置不是整数，则四分位数等于前后两个数的加权平均。四分位数计算（例子）排序后的数据:2，5，6，7，8，9，10，12，15，16不能整除时需加权平均：位置22.753

数值560.75×(6-5)=0.75中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201054对时间序列计算平均数有一些特殊问题需要注意。平均发展水平的计算平均发展速度、平均增长速度的计算5、平均发展水平和平均发展速度中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201055时间序列中每一个观测值称为发展水平。要研究的那个时间的发展水平称为报告期水平，作为比较基础的时间的发展水平称为基期水平。根据观测值表现形式的不同可以分为绝对数、相对数或平均数时间序列。绝对数时间序列又可分为时期序列和时点序列。时期序列：不同时期的观测值可以相加，相加结果表明现象在更长一段时间内的活动总量。时点序列：不同时点的观测值相加没有实际意义。相关基本概念中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201056时间序列举例

GDP，亿元

2000年价格年末人口数万人GDP指数CPI199137296.99115823109.1103.4199242555.87117171114.1106.4199348130.69118517113.1114.71994541956124.1199559072.72121121109.0117.1199664861.84122389109.8108.3199770439.96123626108.6102.8199875944.61124761107.899.2199981390.56125786107.298.6200088228.10126743108.4100.4资料来源：中国统计年鉴2002中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201057平均发展水平（1）将不同时期的发展水平加以平均得到的平均数称为平均发展水平。对于时期序列、时点序列和相对数序列、平均数序列，平均发展水平的计算方法有所不同。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201058平均发展水平（2）（1）时期序列：按时期序列的公式计算。（2）“连续”时点序列:中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201059

先计算出两个点之间的平均数，再用相隔的时期长度加权计算总的平均数。如果各时点之间的间隔相等，公式可简化为a1a2a3ana4an-1f1f2f3fn-1（3）不连续的时点序列:平均发展水平（3）中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201060（4）根据相对数和平均数时间

序列计算序时平均数：平均发展水平（4）中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201061举例1、如何计算1991年-2000年我国的年平均GDP？2、如何计算1991年-2000年我国的年均人口数？已知1990年年末的人口数为114333万人。3、计算1991－2000年我国的人均年GDP。

GDP，亿元

2000年价格年末人口数万人199137296.99115823199242555.87117171199348130.69118517199454195.15119850199559072.72121121199664861.84122389199770439.96123626199875944.61124761199981390.56125786200088228.10126743中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201062Answer1、2、3、中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201063发展速度是是序列中两个发展水平相比的结果。可以分为环比发展速度和定基发展速度。定基发展速度等于相应各环比发展速度的连乘积；环比发展速度等于相邻两个定基发展速度之商。发展速度-100%等于增长速度。发展速度和增长速度中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201064用几何平均法计算平均发展速度几何平均数等于n个变量值乘积的

n次方根，常用于计算平均的比率、增长率等。简单几何平均数

可看作是均值的一种变形中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201065从最初水平a0出发，每期按平均发展速度发展，经过n期后将达到最末期水平an只与序列的最初观察值a0和最末观察值an有关。几何平均法的含义中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201066Example1、计算1992年-2000年我国GDP的年增长率和年平均增长率。2、计算1992年-2000年我国年末人口的年增长率和年平均增长率。

GDP，亿元

2000年价格年末人口数万人199137296.99115823199242555.87117171199348130.69118517199454195.15119850199559072.72121121199664861.84122389199770439.96123626199875944.61124761199981390.56125786200088228.10126743中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201067AnswerGDPPopulationGDPPopulation199137296.99115823--199242555.8711717114.100011.163845199348130.6911851713.11.148748199454195.1511985012.599991.124733199559072.721211219.0000121.060492199664861.841223899.7999891.046887199770439.961236268.6000031.010712199875944.611247617.8146690.918092199981390.561257867.170950.821571200088228.11267438.4009010.76081610.039381.006119中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201068§3.2数据描述的数值方法数据描述的数值方法分布的形状集中趋势离散程度众数中位数均值离散系数方差和标准差峰度四分位距极差偏态中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010693.2.2离散程度反映各变量值远离其中心值的程度（离散

程度），从另一个侧面说明了集中趋势测

度值的代表程度。不同类型的数据有不同的

离散程度测度指标。常用指标：全距（极差）四分位距方差和标准差离散系数中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010701全距（Range）全距也称极差，是一组数据的最大值与最

小值之差。R=最大值-最小值组距分组数据可根据最高组上限-最低组下限计算。受极端值的影响。全距=？2，5，6，7，8，9，10，12，15，16，20中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201071等于上四分位数与下四分位数之差反映了中间50%数据的离散程度，数值越小说明中间的数据越集中。不受极端值的影响。可以用于衡量中位数的代表性。

2四分位距(Inter-QuartileRange,IQR)2，5，6，7，8，9，10，12，15，16，20Q1=6,Q2=9,Q3=15中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201072方差是一组数据中各数值与其算术平均数离差平方的平均数，标准差是方差正的平方根。总体方差和样本方差的符号不同，计算公式也不一样。是反映定量数据离散程度的最常用的指标。3方差和标准差中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201073方差的计算公式总体方差样本方差未分组

数据分组数据样本方差用（n-1）去除，从数学角度看是因为它是总体方差σ2的无偏估计量。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201074标准差(例子)某工会随机调查了5名工人上月的加班时间如下表，平均加班时间为13小时。计算数据的标准差。加班小时数绝对离差离差平方130018525121115247636合计1466加班小时数131812157中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010754离散系数（CoefficientofVariation)标准差与其相应的均值之比，表示为百分数。特点：反映了相对于均值的相对离散程度；可用于比较计量单位不同的数据的离散程度；计量单位相同时，如果两组数据的均值相差悬殊，离散系数可能比标准差等绝对指标更有意义。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201076离散系数：例子对30名经理人员的调查表明年平均收入=$500,000，标准差=$50,000。对30名工人的调查表明平均收入=$32,000，标准差=$5,000。离散系数：经理人员:工人:虽然经理人员收入的绝对离散程度远远大于工人，但经理人员收入的相对离散程度小于工人。中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201077§3.2.3数据分布形状的描述数据描述的数值方法分布的形状集中趋势离散程度众数中位数均值离散系数方差和标准差峰度四分位距极差偏态中央财经大学统计学院201012010120101201012010120101201078偏态和峰度的类型偏态左偏分布右偏分布正态分布扁平分布峰态尖峰分布中央财经大学统计学院2010120101201012010120101201012010791偏态及其测定