随机样本和抽样分布

随机样本和抽样分布4.1.1总体与样本总体——

研究对象全体元素组成的集合所研究对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X

.

X

的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.§6.1一、基本概念样本——

从总体中抽取的部分个体.称为总体X的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.用表示,n为样本容量.样本空间——

样本所有可能取值的集合.

个体——

组成总体的每一个元素即总体的每个数量指标,可看作随机变量X

的某个取值.用表示.若总体

X的样本满足:一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是(1)与X

有相同的分布(2)相互独立则称为简单随机样本.简单随机样本N/n

10.总体中个体总数样本容量设总体X

的分布函数为F(x),则样本若总体X

的d.f.为

f(

x),则样本的联合d.f.为的联合分布函数为设是取自总体X的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量统计量例

是未知参数,若,

已知,则为统计量是统计量,其中是一样本,则但不是统计量.常用统计量为样本均值为样本方差为样本标准差设是来自总体

X

的容量为

n

的样本,称统计量为样本的k阶原点矩例如例从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,测得其重量为(单位:公斤):

210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩.解令例1则

确定统计量的分布是数理统计的基本问题之一.

正态总体是最常见的总体,本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.抽样分布二、统计中常用分布(1)

正态分布特别地,则若~则~若若Xi相互独立中心极限定理标准正态分布的分位数定义分布的分位数.若，则称u为标准正态正态分布的双侧分位数.若,则称u/2为标准标准正态分布的分位数图形u•常用数字/2

/2

u/2•-u/2•(2)分布(n为自由度)定义设相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则n=1

时,其密度函数为n=2

时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.一般其中，在x>0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为

n的n=2n=3n=5n=10n=15

例分布的性质20.05(10)•n=10(3)t

分布

(Student分布)定义则称T服从自由度为n

的T分布.其密度函数为X,Y相互独立,设t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2°T分布的分位数t与双测分位数t/2

均

有表可查.n=10t-t••t/2-t/2••/2/2(4)

F分布则称F服从为第一自由度为n

,第二自由度为m的F

分布.

其密度函数为定义X,Y相互独立，设令F分布的性质例如事实上,故求F(n,m)•例

证明证

三、抽样分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总体与相互独立设总体,样本为()，(1)(2)(II)

两个正态总体令相互独立的简单随机样本.设与分别是来自正态总体与的则若则(3)则相互独立的简单随机样本.设与分别是来自正态总体与的与相互独立(4)的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?例设,为使样本均值大于70解设样本容量为

n

,则故令得即所以取例

从正态总体中，抽取了

n=20的样本(1)求(2)求解

(1)即故(2)故例设r.v.X与Y相互独立，X~N(0,16),

Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

与Y1,Y2,…,Y16

分别是取自X与Y的简单随机样本,求统计量所服从的分布.解从而例

在总体