向量概念与运算(数学)在物理中的应用

向量概念运算（数学在物理中的应江苏省丰县中学）特教师戴京数学中的向量概念及其运算法则物理中有广泛的应用把学与物理沟通既有利于理解数学，也有利于理解物理，还有利于提高迁移能力与综合能力。数学中的向量，物理中叫矢量。定义如下：向量（数学把既有大小又方向的量向量制普通高级中学教科书（必修学》第一册（下教出版社，以下简称《数学页黑体字为原书所加，下同理》同）矢量（物理既有大小，又方向，力的合成要遵守平行四边形定则。在物理学中，象这样的物理量叫做矢量制通高级中学教科书（必修》第一册，人民教育出版社，以下简称《物理》第一册，13页而长度、质量、度、时间、能量等物理量，只有大小，没有方向，在物理学中叫标量上）物理量有许多矢量，如力F、位移s、速度v、加速度a动量p、电场强度E、磁感应强度等。标量除上述外还有如功率P能（括动能与势能势能又包括重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等）等等。矢量与标量物理意义不同比较大小的方法不同算法则也不同矢量的运算法则与数学中的向量相同。一向量加与法力运的成分（）学向的法．定义：求两个向量和的运算，叫向量加学》第页）．法则）三角形法则：图1中两向量，如图2教科书图据量加法的定义得出的求向量和的方法，称向量法三形则ABbOAbDa图

图

图（2平行四边形法则：如图3教科书图5-8）以同一A为点的两个已知向量、b为边作ABCD则A为起点的对角线AC就是与b的我把这种作两个向量和的方法叫向加的行边法学》第100页）（）学向的法．定义：求两个向量差的运算，叫向量减学》第102页．法则）角形法则：如图5教科书图5-11a-b可表示为从向量b的点指向向量的终点的向量》102）OABbbDC图

图/

图

DBDBAD（）平行四边形法则：如图教科书图）□ABCD中，

b,知=-

-学第103页）（）理力合与解．力合（1定义：求几个力的合力叫力合。（2平行四边形法则：实验表明，如果用表示两个力F和的线段为邻边作12平行四边形，那么，合力的小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示出来。这叫做力的平四边定》第12）2．

力分（1定义：求一个已知力的分力叫力的解（2平行四边形法则：把一个已知力作平行四边形的对角线，那么，与力F共的平行四边形的两个邻边，就表示力两个分力。同一个力以分解为无数对大小、方向不同的分力。一个已知力究竟该怎样分解，这要根据实际情况来决定第）比较可知，数学的研究从定义出发，物理的研究从实验出发。（）理运的成分．运的合成与分（1定义：在描述演示蜡块在注满水的玻管中参与玻璃管的水平运动与上浮运动两个运动的实验后给出：上述实验中红蜡块在竖直方向的运动和随管做的水平方向的运动，通常叫分运，红块实际发生的运动，通常叫做合动（2定义已知分运动求合运动叫做运动合已合运动求分运动叫做运的解第页2．

平抛运动的分解平抛运动可以分解为水平方向和竖直方向上的两个分运动。在水平方向（也就是在初速度方向）上物体不受力，物体由于惯性而做匀速直线运动，速度等于平抛物体的初速度。在竖直方向上物体受到重力的作用，并且初速度为零，物体做自由落体运动第86页然后是平抛实验和频闪照片，最后得公式：xv0y

12

gt

vx0gtt

2

2/

tan

vv

是

t

与x轴水平方向）的正方向的夹角

第86和页比较可知数学的研究方法用逻推理理的研究方法以应用为主。向的量—的（）数学向的量．

定义：已知两个非零向量它们的夹角为

，我们把数量

cos

叫做a与的量（或内积或乘—笔加，作a

b，

》第118页

几何意义积等a的度与b在上的投影b的乘积。学》第119页（）物理力功定义一物体受到力的作用如果在力的方向上发生一段位移个力就对物体做了功。

F2F1

1

F2

Fs图7如图（教科书图8-2所示，

这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积第135页与数学比较可以得出标(矢量与位移(量)的数量积F也叫做点乘积，其结果是数量（标量三向量向积安力洛兹（）数学实与量积

，定义：实数向a的是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1

=

（2当

>0，

的向与a的向相同；当

<0时

方向与的方向相反；当时。（）学向的量．定：已知个非零向量a和b，们的夹角为，们把向量c叫与的向量或叉乘作

b=c中c的大为

bsin

，c的方向由左手定则确定（左手定则后介绍《数学》教科书没/

有，笔者根据大学所学知识仿数学中向量的数量积的模式写）．

几何意义：向量积

b等于a的度

与在a法线（垂线）上的投影sin的乘积上）（）理的培和仑力．培（1定义：磁场对电流的作用力通常称为安培。这为了纪念法国物理学家安培（（2）安培力的大小：实表明：把一段通电直导线放在磁场里，当导线方向与磁场方向垂直时，电流所受的安培力最大；当导线方向与磁场方向一致时，电流所受的安培力最小，等于零；当导线方向与磁场方向斜交时，电流所受的安培力介于最大值和最小值之间第二册第页导线方向与磁场方向垂直时，公式为BIL理》第二册第页导线方向与磁场方向斜交，夹角为时，公式为

F

者加）安力的方向：通电直导线所受安培力的方向和磁场方向、电流方向之间的关系，可以用左手定则来判定（图，教科书图16-17开手，使大拇指跟其余四个手指垂直，并且都跟手掌在一个平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，并使伸开的四指指向电流的方向，那么，大拇指所指的方向就是通电直导线安培力的方向第二册第149页图8与数学比较可以得出，安培力F是感应强度与流I导体长度L的积（I）向量积。其中（培（磁感应强度）与电流I三物理量是矢量（向量字母用黑体；导体长度L是量（数量字不用黑体。电流I与体度L的乘积是实数与向量的积，I相于L相于；（磁感应强度）与（IL）的积是向量的量积。可以记作：F（IL以叫做叉乘积。．洛兹定射管实表明在没有外磁场时电束是沿直线前进（之图，教科书图甲果射线管放在蹄形磁铁的两极间，荧光屏上显示的电子束运动的径迹发生了弯曲（图9之图，教科书图乙表，运动电荷确实受到了磁场的作用力个力通常叫洛仑力荷兰物理学家洛仑（首提出了运动电荷产生磁场和磁场对运动电荷有作用力观点，为纪念他，人们称这种力洛仑力》第二册第页/

图（2仑兹力的方向洛仑兹力的方向也可用左手定则来判定开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，且处于同一个平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，四指指向正电荷运动的方向，那么，大拇指所指的方向就是电荷正电荷所受洛仑兹力的方向。运动的负电荷在磁场中所受的洛仑兹力，方向跟正电荷受的力相反》第册第页（3洛仑兹力的大小：将导线中的电流公式

InqvS

代入安培力公式FFnqvS)LB的大小公式：F

再以这段导线的电荷数得洛兹力这就是说，当电荷在垂直于磁场的方向上运动时，磁场对运动电荷的洛仑兹力F等电速

磁应强度B三者的乘积册第152页如果速度

与磁感应强度B不直是夹角为则洛仑兹力的大小公式变为：

Fsin

者）与数学比较可以得出，洛仑兹力F是感应强度与速度和荷量q的积（q）向量积。其中（仑兹力（速度）与B磁感应强度）三个物理量是矢量（向量字用黑体，电荷是量（数量字不用黑体v速度）与q（电荷量）的乘积是数量与向量的，中q相于当于（感应强度（的乘积是向量的向量积可以记作F=

，v相（q所以也叫做叉乘积。需要注意的是，如果为电荷，则）与方相同；如果为负电荷，则）与v方相反。么，按左手定则为负电荷时的洛仑兹力与为正电荷时的洛仑兹力方向相反。在学习中，有的同学对F与移的积功是量，而磁感应强度与导线的长度L及电流I者的乘积（为力F）0或荷、率

、磁感应强度B三者的乘（是力）是矢量不理解物理量垂直而斜交其夹角为求功时用

而求安培力或洛仑兹力F时用

不理解物与数学的对比，就能知道，原来前者是向量的数量积（点乘积是向量的向量积