2018高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第38讲数学归纳法课件理

2018高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第38讲数学归纳法课件理第一页，共29页。不等式、推理与证明第六章第38讲数学归纳法第二页，共29页。考纲要求考情分析命题趋势了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.2014，重庆卷，22T2015，陕西卷，21T数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳—猜想—证明”的模式考查.分值：0～5分第三页，共29页。板块一板块二板块三栏目导航板块四第四页，共29页。一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．第五页，共29页。1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(

)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(

)(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(

)(4)用数学归纳法证明不等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋22＋23.(

)×××√第六页，共29页。解析：(1)错误．用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n为初始值时结论成立，不一定是n＝1.(2)错误．不一定所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(3)错误．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数的增加根据题目而定．(4)正确．用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23是正确的．第七页，共29页。解析：三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.C第八页，共29页。3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到(

)A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1解析：由条件知，左边从20,21到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.D第九页，共29页。解析：由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2，故选B．B第十页，共29页。5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)时命题为真，进而需证n＝________时，命题亦真．解析：因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1.2k＋1第十一页，共29页。数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．一数学归纳法证明等式第十二页，共29页。【例1】求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．证明：①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k·(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任意n∈N*都成立．第十三页，共29页。二数学归纳法证明不等式(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．(2)数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等方法证明．

第十四页，共29页。第十五页，共29页。三归纳—猜想—证明“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决与正整数n有关的探索性问题、存在性问题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．第十六页，共29页。第十七页，共29页。第十八页，共29页。第十九页，共29页。第二十页，共29页。第二十一页，共29页。第二十二页，共29页。3．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…第二十三页，共29页。解析：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，所以当n＝k＋1时，等式也成立．根据①和②，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．第二十四页，共29页。4．已知函数f(x)＝x－xlnx，数列{an}满足0<a1<1，an＋1＝f(an)，n∈N*.证明：对任意n∈N*，不等式0<an<1都成立．证明：由f(x)＝x－xlnx，得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx>0，故f(x)在x∈(0,1)时为单调递增函数．下面用数学归纳法证明：对任意n∈N*，不等式0<an<1都成立．①当n＝1时，已知0<a1<1，不等式成立；又当n＝2时，由a1lna1<0，得a2＝f(a1)＝a1－a1lna1>a1>0，且有a2＝f(a1)＝a1－a1lna1<f(1)＝1，即0<a2<1，不等式也成立．第二十五页，共29页。②假设当n＝k(k∈N*)时，有0<ak<ak＋1<1成立，则当n＝k＋1时，由f(x)在x∈(0,1)时为单调递增函数，且0<a1≤ak<ak＋1<1，得f(ak)<f(ak＋1)<f(1)，即ak＋