45垂线(湘教版七年级下册数学)

45垂线(湘教版七年级下册数学)第一页，共31页。垂线本节内容4.5第二页，共31页。画框的边线，观察屋架的横梁与支撑梁等都相交成多少度的角？十字路口两条笔直的街道，第三页，共31页。两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足.如图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线，点O是斜足.第四页，共31页。（1）如图，在同一平面内，如果a⊥l，b⊥l，那么a∥b吗？动脑筋因为a⊥l，b⊥l，所以∠1=∠2=90°，所以a∥b（同位角相等，两直线平行）．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.第五页，共31页。（2）如图，在同一平面内，如果直线a∥b，l⊥a，那么l⊥b吗？如图，因为l⊥a，所以∠1=90°．因为a∥b，所以∠2=∠1=90°(两直线平行，同位角相等)，因此l⊥b．

在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.第六页，共31页。举例例1在如图的简易屋架中，BD，AE，HF都垂直于CG，若∠1=60°，求∠2的度数.

第七页，共31页。解因为BD，AE都垂直于CG，所以BD∥AE(同位角相等，两直线平行).

从而∠2=∠1=60°(两直线平行，同位角相等).所以∠BDC=∠AEC=90°第八页，共31页。举例例2如图，已知CD⊥AB，∠1=∠2，求∠BEF的度数.

解因为CD⊥AB，所以CD∥EF(同位角相等，两直线平行).又因为∠1=∠2，即∠BEF=∠BDC=90°(两直线平行，同位角相等).

所以∠BDC=90°第九页，共31页。练习1.如图，直线AB，CD相交于O，EO⊥CD，∠BOE=60°，求∠AOC的度数.

答：因为EO⊥CD

所以∠EOD=90°，

又∠BOE=60°，

所以∠BOD=90°-∠BOE=30°.

所以∠AOC=∠BOD

=30°(对顶角相等).第十页，共31页。2.如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B=56°，求∠C.

答：因为CD⊥DA，DA⊥AB，所以AB∥CD

(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).

所以∠B+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补).

又因为∠B=56°，所以∠C=180°-56°=124°.第十一页，共31页。做一做用三角尺或量角器过一点P画已知直线l的垂线，如图.（1）经过直线l上一点P画l的垂线a；a第十二页，共31页。（2）经过直线l外一点P画l的垂线b.b第十三页，共31页。这样的直线分别可以画出几条呢？假如过点P还有一条直线c⊥l，则c∥a(或c∥b)，但是c与a(或b)有公共点P，这是不可能的.第十四页，共31页。动脑筋观察下图，PA，PB，PO，PC，PD哪条线段最短？我发现垂线段PO最短.第十五页，共31页。如图，用圆规比较垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD的长度，可知线段PO最短.第十六页，共31页。结论直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．第十七页，共31页。结论垂线段最短．或者简单地说成：第十八页，共31页。从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

例如，在图中，垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离．第十九页，共31页。做一做1.你能量出图中点P到直线AB的距离吗？第二十页，共31页。2．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？答：过C引l的垂线，设D为垂足，水泵房应建在D处，因为垂线段最短.D第二十一页，共31页。举例例3如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.求：（1）点A到直线BC的距离；（2）点B到直线AC的距离.第二十二页，共31页。（1）点A到直线BC的距离；解：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，B为垂足.所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段.因为AB=5，所以点A到直线BC的距离为5.第二十三页，共31页。（2）点B到直线AC的距离.解：因为BD⊥AC，垂足为D，所以线段BD的长度即为点B到直线AC的距离.所以点B到直线AC的距离为第二十四页，共31页。练习1.如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，求点A到

BC的距离，点C到AB的距离.第二十五页，共31页。D解:(1)作AD⊥BC，垂足为D，所以线段AD的长度即为点A到直线BC的距离.因为所以点A到直线BC的距离为(2)因为∠BAC=90°，所以BA⊥AC，A为垂足.所以线段AC即为点C到直线AB的垂线段.因为AC=4，所以点C到直线AB的距离为4.第二十六页，共31页。2.如图（比例尺：1:5000），公园里有4条纵横交错的人行道，点P是一喷泉，量出P点到4条直线的距离，并求出其实际距离.第二十七页，共31页。3.如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？答：量绳的一端放在“落足点”.拉紧与起跳板垂直.第二十八页，共31页。中考试题例1如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，试探讨图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？第二十九页，共31页。解析与∠DOE互余的角有∠EOF、∠BOD、∠BOC.∵∠BOE=90°，即∠BOD+∠DOE=90°.∵OB平分∠DOC，∴∠BOC=∠BOD.∵∠DOF=90°，∴∠EOF+∠DOE=90°.∴∠DOE的余角有3个.∵∠AOE=∠DOF=90°，∴∠AOF+∠FOE=∠DOE+∠EOF=90°，即∠AOF与∠DOE分别是∠EOF的余角，∴∠AOF=∠DOE(同角的余角相等).∵∠AOF+∠FOB