多自由度自由振动课件

工程中的结构有些可简化为单自由度体系分析单层工业厂房有些不能作为单自由度体系分析，需简化为多自由度体系进行分析多层房屋、高层建筑不等高厂房排架和块式基础§10-5多自由度体系的自由振动

按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各有其适用范围。多自由度体系自由振动的问题，主要是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。1、刚度法：（建立力的平衡方程）两个自由度的体系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2质点动平衡方程:即:设:............结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型.振型计算公式频率计算公式频率方程....振型方程与ω2相应的第二振型：因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求与ω1相应的第一振型：

ω2的两个根均为实根；矩阵[k]为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。故矩阵[k]为正定矩阵。k11k22-k12k21>0ω2的两个根均为正根；与ω2相应的第二振型：求与ω1相应的第一振型：多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。几点注意：①ρ1ρ2必具有相反的符号。②多自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自振频率由特征方程求出。③每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。④自振频率和主振型是体系本身的固有特性。一般解：

在这种特定的初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。例m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k21k111解：求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22k121k22=k2,k12=－k21)当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w()()kmkmk02222=---ww

代入频率方程：+1)当m1=m2=m,k11=2k，k12=－ｋmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w求振型：12k12111mkw--2111YY=ω1→第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型12k12211mkw--2212YY=ω2→第二主振型：Y22=－0.618Y12=1第二主振型

2)当m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=－k2求频率：求振型：如n=90时当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。（鞭梢效应）第一振型：第二振型：特征方程：+++(2)求频率解得将ω=ω1代入振型方程,得第一振型将ω=ω2代入振型方程,得第二振型(3)求振型3.36513.36510.19810.1981例求图所示两层刚架的自振频率和振型。已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1=m2=5000kg，每层的高度5m。解：两个自由度体系，设m1的位移为y1，m2的位移为y22、柔度法y1(t)y2(t)建立振动微分方程：（建立位移协调方程）

m1、m2的位移y1(t)、

y2(t)应等于体系在当时惯性力作用下所产生的静力位移。................柔度法建立的振动微分方程δ11δ21P1=1δ12δ22P2=1频率方程振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。求得频率：频率方程和自振频率：设各质点按相同频率和初相角作简谐振动Y1，Y2是质点位移幅值........振动微分方程体系频率的数目总等于其自由度数目主振型(normalmodeshape)频率方程振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。不能有振型方程求出Y1，Y2的解，只能求出它们的比值。第一主振型

第二主振型

频率的数目总等于其自由度数目主振型是体系由此主振型惯性力幅值所引起的静力位移。Y11Y21Y12Y22例求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算：1对称情况：l/91反对称情况：例求图a所示体系的自振频率及主振型。梁EI=常数。解：将原结构化成正对称和反对称半结构分别计算（图b、c）。，

当ω=ω1时，振型为正对称，则当ω=ω2时，振型为反对称，则

2111Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。0.5a例试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）计算频率1a1（2）振型10.277第一振型13.61第二振型例求图示体系的频率、振型解:令例求图示体系的频率、振型解:令例求图示体系的频率、振型解:令y1yiynri动平衡方程：riy1yiynri应满足刚度方程kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零）时在点i所需施加的力。....多自由度体系......或：设解为：{y}={Y}sin(ωt+α)得振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝得频率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝0可求出ｎ个频率与ωｉ相应的主振型向量由([K]－ω2ｉ

[M]){Y（ｉ）}=｛0｝不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。............例：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。求自振频率k11=4k/3解：1）求刚度系数：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5

刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]：11展开得：2η3－42η2＋225η－225＝0解得：η1=1.293，η2=6.680，η3=13.0272）求频率：代入频率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝03）求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0的后两式：（令Y3i=1）（a）10.5690.16311.2270.92413.3422.76

Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：由刚度法振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝前乘[K]－1=[δ]后得：([I]－ω2[δ]

[M]){Y}=｛0｝令λ=1/ω2([δ]

[M]－λ[I]){Y}=｛0｝得频率方程：┃[δ]

[M]－λ[I]┃=0其展开式:是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求出频率ωi将λi代入([δ]

[M]－λi[I]){Y(i)}=｛0｝可求出n个主振型.可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。例：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。δ=1/kδ11=δ解：1）求柔度系数：m2mmk

柔度矩阵[δ]和质量矩阵[M]：P=1δ21δ31P=1δ32=4δδ22=4δP=1δ13=δδ23=4δδ33=9δδ12=δ展开得:解之:ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151三个频率为：3）求主振型：（令Y3i=1）将λ1代入振型方程：（[δ][M]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：

2）求频率：解得：同理可得第二、第三振型例试求结构的自振频率和振型.EI=常数mml/4l/4l/4l/4m13l/161l/4图图13l/16图解(1)求柔度系数(2)求频率(3)求振型令每个振型的第一个元素为1，得11.4141第三振型(正对称)第二振型(反对称)11第一振型(正对称)11.4141几点说明：1)按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同。2)发生