代数系的一般性质

代数系的一般性质第一页，共十七页，2022年，8月28日代数系统的基本概念1.二元运算:设A是非空集合，从笛卡尔积A×A×…×A到A的映射f称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。当n=2时，f称为集合A上的二元运算。

在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、“∘”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c。【例】设N为自然数集合，*和∘是N×N到N映射，规定为：m,nN，

m∗n=min{m,n}m∘n=max{m,n}则∗和∘是N上的二元运算。第二页，共十七页，2022年，8月28日2.代数系统:一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算∗1,∗2,…,∗k所组成的系统称为一个代数系统，记作<A,∗1,∗2,…,∗k>。根据定义，一个代数系统需要满足下面两个条件：①有一个非空集合A。②有一些定义在集合A上的运算。集合和定义在集合A上的运算是一个代数系统的两个要素，缺一不可。

第三页，共十七页，2022年，8月28日【例】设B是一个集合，A=P(B)是A幂集合。集合的求补运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二元运算。于是<A,∪,∩,~>构成一个代数系统，该代数系常称为集合代数。【例】设R-{0}是全体非零实数集合，*是R-{0}上二元运算，定义为：a,bR-{0}，a*b=b。则<R-{0},*>是代数系统。第四页，共十七页，2022年，8月28日二元运算的性质1.交换律:设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意的a,bA，有a∗b=b∗a，则称二元运算∗在A上是可交换的，也称二元运算*在A上满足交换律。2.结合律:设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意的a,b,cA，有(a*b)*c=a*(b*c)，则称二元运算*在A上是可结合的，也称二元运算∗在A上满足结合律。第五页，共十七页，2022年，8月28日3.分配律:设*和∘是非空集合A上的两个二元运算，如果对于任意a,b,cA，有a*(b∘c)=(a*b)∘(a*c)(左分配律)(b∘c)*a=(b*a)∘(c*a)(右分配律)则称运算*对运算∘是可分配的。也称运算*对运算∘满足分配律。4.吸收律:设*和∘是非空集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于任意a,bA，有a*(a∘b)=aa∘(a*b)=a则称运算∗和运算∘满足吸收律。第六页，共十七页，2022年，8月28日

5.幂等律:设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意的aA，有a∗a=a，则称运算*是幂等的或运算∗满足幂等律。如果A的某个元素a满足a∗a=a，则称a为运算*的幂等元。第七页，共十七页，2022年，8月28日特殊元素1.幺元:设∗是定义在集合A上的二元运算，如果有一个elA，对于任意的aA，有el

∗a=a，则称el为A中关于运算∗的左单位元或左幺元；如果有一个erA，对于任意的aA，有a∗er=a，则称er为A中关于运算∗的右单位元或右幺元；如果在A中有一个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为A中关于运算∗的单位元或幺元。

第八页，共十七页，2022年，8月28日2.零元:设∗是集合A上的二元运算，如果有一个θlA，对于任意的aA都有θl

∗a=θl，则称θl为A中关于运算∗的左零元；如果有一个θrA，对于任意的aA，都有a∗θr=θr，则称θr为A中关于运算∗的右零元；如果A中有一个元素θA，它既是左零元又是右零元，则称θ为A中关于运算∗的零元。第九页，共十七页，2022年，8月28日3.逆元:设∗是集合A上的二元运算，e为A中关于运算∗的幺元。如果对于A中的元素a存在着A中的某个元素b，使得b∗a=e，那么称b为a的左逆元；如果存在A中的某个元素b，使得a∗b=e，那么称b为a的右逆元；如果存在着A中的某个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b为a的逆元。a的逆元记为a–1。如果aA存在逆元a–1A，那么称a为可逆元。

第十页，共十七页，2022年，8月28日4.消去律:设∗是集合A上的二元运算，θ为A中关于运算∗的零元，a,b,cA，a≠θ。如果⑴若a∗b=a∗c，便有b=c，则称运算∗满足左消去律，称a为运算∗的左可消元。⑵若b∗a=c∗a，便有b=c，则称运算∗满足右消去律，称a为运算∗的右可消元。若运算∗既满足左消去律又满足右消去律，则称运算∗满足消去律，称a为运算∗的可消元。第十一页，共十七页，2022年，8月28日子代数和积代数1.子代数：设V=<A,∗1,∗2,…,∗k>是代数系统，BA。如果∗1,∗2,…,∗k都在B上封闭，B和A含有相同的代数常数，则称代数系统<A,∗1,∗2,…,∗k>是V的子代数系统，简称子代数。第十二页，共十七页，2022年，8月28日2.积代数：设V1=A,*和V2=B,∘是两个代数系统，其中*和∘是二元运算。a1,b1A×B和a2,b2A×B，A×B上的二元运算△定义为：a1,b1△a2,b2=a1*

a2,b1∘b2代数系统A×B,△称为V1到V2的积代数或直积，记为V1×V2.第十三页，共十七页，2022年，8月28日【例】设V1=A,*和V2=B,∘是两个代数系统，其中A={a,b}，A上的二元运算*如表1所示，B={x,y,z}，B上的二元运算∘如表2所示。试求V1×V2

表1*abaabbba表2◦xyzxxyzyyyzzzzz第十四页，共十七页，2022年，8月28日解：V1×V2=A×B,△，其中

A×B={a,x,a,y,a,z,b,x,b,y,b,z}，二元运算△如表3所示。表3△<a,x><a,y><a,z><b,x><b,y><b,z><a,x><a,x><a,y><a,z><b,x><b,y><b,z><a,y><a,y><a,y><a,z><b,y><b,y><b,z><a,z><a,z><a,z><a,z><b,z><b,z><b,z><b,x><b,x><b,y><b,z><a,x><a,y><a,z><b,y><b,y><b,y><b,z><a,y><a,y><a,z><b,z><b,z><b,z><b,z><a,z><a,z><a,z>第十五页，共十七页，2022年，8月28日代数系统的同态和同构1.同态:设V1=<S1,∘>和V2=<S2,*>是两个代数系统，∘和*分别是S1和S2上的二元运算，

f是从S1到S2的一个映射，a1,a2S1有

f(a1∘a2)＝f(a1)*f(a2)则称f为由代数系统V1到V2的一个同态映射，简称同态；把<f(S1),*>称为V1在f下的同态像。其中

f(S1)＝{f(a)|aS1}.

第十六页，共十七页，2022年，8月28日2.同构：若f：A→B是单射，则称f为由<A,*>到<B,∘>的一个单同态映射，并称<A,*>与<B,∘>单同态。