上海市黄浦区2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(解析版)(常用版)

上海市黄浦区2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（解析版）（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）

2021-2021学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷上海市黄浦区2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（解析版）（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为______．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______．4．行列式﹣3的代数余子式的值为______．5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的线BM所在直线的方程为______．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是______．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是______．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是______．10．若，且存在，则实数a的取值范围是______．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为______．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是______．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A．（1﹣b，1﹣a） B．（1﹣a，1﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（﹣b，﹣a）14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（）A． B． C． D．16．对数列{an}，{bn}，若对任意的正整数n，都有[an+1，bn+1]⊊[an，bn]且，则称[a1，b1]，[a2，b2]，…为区间套．下列选项，可以构成区间套的数列是（）A． B．C． D．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤17．已知两直线l1：x+（m+1）y+m﹣2=0，l2：mx+2y+8=0．（1）当m为何值时，直线l1与l2垂直；（2）当m为何值时，直线l1与l2平行．18．在直角△ABC，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．20．在数列{an}，，且对任意n∈N，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{bn}的各项之和与最大项．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．

2021-2021学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的简单性质求解．【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得：=1，∴a=10，b=5，∴椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20．故答案为：20．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，∴θ=．故答案为：．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为4．行列式﹣3的代数余子式的值为﹣5．【考点】三阶矩阵．【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．【解答】解：由题意，行列式﹣3的代数余子式为﹣=﹣（3+2）=﹣5故答案为：﹣55．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的线BM所在直线的方程为3x﹣2y+2=0．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由AC的点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的线所在的直线方程．【解答】解：∵AC的点M（2，4），∴AC边上的线BM所在的直线方程为：=，整理，得3x﹣2y+2=0，故答案为：3x﹣2y+2=0．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，求出直线的斜率，则由题意可得tanθ=||=1，由此求得θ的值．【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为﹣2，tanθ=||=1，解得θ=，故答案为：．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【考点】数学归纳法．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图及已知p输入6，可得：进入循环的条件为n＜6，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当n=1时，S=0+2﹣1=；当n=2时，S=+2﹣2=；当n=3时，S=+2﹣3=；当n=4时，S=+2﹣4=；当n=5时，S=+2﹣5=；当n=6时，退出循环，则输出的S为：．故答案为：．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据A，B与圆的位置关系讨论列出不等式解出a．【解答】解：（1）若A在圆内部，B在圆外部，则，解得a＜﹣2．（2）若B在圆内部，A在圆外部，则，解得a＞1．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故答案为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．10．若，且存在，则实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．【考点】极限及其运算．【分析】根据得出﹣1＜＜1，再根据存在得出﹣1＜≤1，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：∵，∴=，∴﹣1＜＜1，解得﹣4＜a＜2；又存在，∴﹣1＜≤1，解得﹣1≤a＜3；综上，实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故答案为：﹣1≤a＜2．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．【考点】轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义．【分析】先设M（x，y），可讨论l1是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，﹣1），从而由可以求出x=，即点M（），（2）存在斜率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1，l2的方程，从而可以求出，这样根据便可用k分别表示出x，y，这样消去k便可得出关于x，y的方程，并验证点是否满足该方程，从而便得出点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），（1）若l1不存在斜率，则：l1垂直x轴，l2垂直y轴；∴A（1，0），B（0，﹣1）；∴由得，（x﹣1，y）=2（﹣x，﹣1﹣y）；∴；∴；即；（2）若l1斜率为k，l2斜率为，则：l1：y﹣4=k（x﹣1），令y=0，x=；∴；l2：，令x=0，y=；∴；∴由得，；∴；∴消去k并整理得：9x+6y+1=0；点满足方程9x+6y+1=0；综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．故答案为：9x+6y+1=0．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是[﹣20，4]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cosθ，3sinθ），从而可求出的坐标，进行数量积的坐标运算便得出，这样根据﹣1≤cosθ≤1便可求出的取值范围．【解答】解：如图，以C为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则：；点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点；∴设P（3cosθ，3sinθ）；∴；∴；∵﹣1≤cosθ≤1；∴﹣20≤﹣12cosθ﹣8≤4；∴的取值范围为[﹣20，4]．故答案为：[﹣20，4]．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A．（1﹣b，1﹣a） B．（1﹣a，1﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（﹣b，﹣a）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称点的坐标列出方程组求解即可．【解答】解：点（a，b）关于直线x+y=1对称的点为（x，y），则，解得：，故选：A．14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．即可判断出结论．【解答】解：由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．∴“点P在曲线C上”⇒“”，反之也成立．∴“”是“点P在曲线C上”的充要条件．故选：C．15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（）A． B． C． D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的点，在直角三角形BME，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=25，则圆心坐标为（1，3），半径为5，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=，所以BD=2BE=2=4，所以|AC|•|BD|=10•4=40．故选：C．16．对数列{an}，{bn}，若对任意的正整数n，都有[an+1，bn+1]⊊[an，bn]且，则称[a1，b1]，[a2，b2]，…为区间套．下列选项，可以构成区间套的数列是（）A． B．C． D．【考点】数列的极限．【分析】对于A，运用数列的极限，即可判断；对于B，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；对于C，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；对于D，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论．【解答】解：对于A，（bn﹣an）=﹣=2﹣1=1≠0，故不构成区间套；对于B，当n=1时，[a1，b1]=[，]，[a2，b2]=[，]，显然不满足[a2，b2]⊊[a1，b1]，故不构成区间套；对于C，当n=1时，[a1，b1]=[，]，[a2，b2]=[，]，显然不满足[a2，b2]⊊[a1，b1]，故不构成区间套对于D，由1﹣（）n＜1﹣（）n+1＜1+（）n+1＜1+（）n，满足[an+1，bn+1]⊊[an，bn]；又（bn﹣an）=[1﹣（）n]﹣[1+（）n]=1﹣1=0，故构成区间套．故选：D．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤17．已知两直线l1：x+（m+1）y+m﹣2=0，l2：mx+2y+8=0．（1）当m为何值时，直线l1与l2垂直；（2）当m为何值时，直线l1与l2平行．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是A1A2+B1B2=0，可得1×m+（1+m）•2=0，由此求得解得m的值．（2）由两直线平行的充要条件是=≠，由此求得解得m的值．【解答】解：（1）∵两条直线l1：x+（1+m）y+m﹣2=0，l2：mx+2y+8=0，由两直线垂直的充要条件可得A1A2+B1B2=0，即1×m+（1+m）•2=0，解得m=﹣．（2）由两直线平行的充要条件可得=≠，即=≠，解得：m=1．18．在直角△ABC，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论．（2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）∵在直角△ABC，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），∴AB是直径，则AB的点（﹣1，0），即圆心E（﹣1，0），半径R=|BE|====5，则圆E的方程为（x+1）2+y2=25．（2）∵（4+1）2+102=125＞25，∴点M在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4﹣（﹣1）=5．此时满足直线和圆相切，当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣10=k（x﹣4），即kx﹣y+10﹣4k=0，则圆心到直线的距离d===5，即|2﹣k|=，平方得4﹣4k+k2=1+k2，即4k=3，则k=，此时切线方程为3x﹣4y+28=0，综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x﹣4y+28=0或x=4．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）==k+=k（）+，（2）利用（1）的结论，对取平方，转化为二次函数求最值．【解答】解：（1）==k+=k（）+=（1﹣k）+k．（2）=2×=﹣1．∴||2=[（1﹣k）+k]2=4（1﹣k）2+k2﹣2k（1﹣k）=7k2﹣10k+4=7（k﹣）2+．∴f（k）=．f（k）的最小值为=．20．在数列{an}，，且对任意n∈N，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{bn}的各项之和与最大项．【考点】数学归纳法；数列的函数特性．【分析】（1）由，且对任意n∈N，都有．可得a2==，a3=，a4=．由此推测{an}的通项公式，an=．再利用数学归纳法证明即可得出．（2），可得bn=+9，利用等比数列的前n项和公式可得：无穷数列{bn}的各项之和Tn．【解答】解：（1）∵，且对任意n∈N，都有．∴a2==，a3==，a4==．由此推测{an}的通项公式，an=．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1==成立；②假设当n=k∈N时，ak=．则n=k+1时，ak+1===，因此当n=k+1时也成立，综上：∀n∈N，an=成立．（2），∴bn=（﹣2）n=+9，∴无穷数列{bn}的各项之和Tn=+=﹣=+﹣．当n=2k（k∈N）时，Tn=+﹣，Tn单调递减，因此当n=2时，取得最大值T2=．当n=2k﹣1（k∈N）时，Tn=×﹣﹣，Tn单调递增，且Tn＜0．综上可得：Tn的最大项为T2=．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），P（x′，y′），由=2，可得（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入曲线C1的方程可得曲线C2的方程．（2）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．利用数量积运算性质可得：=﹣6﹣，利用二次函数与三角函数的值域即可得出．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k（x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，可得|MN|=，点Q到直线l的距离d．可得S△QMN=d|MN|，通过三角函数代换，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设Q（x，y），P（x′，y′），∵=2，∴（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入+（y′）2=1，可得+=1，∴曲线C2的方程为+=1．（2）F1（﹣，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．则=（2cosθ+，sinθ）•（﹣4cosθ﹣，﹣2sinθ）=（2cosθ+）（﹣4cosθ﹣）+sinθ（﹣2sinθ）=﹣6﹣，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴∈．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k（x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|==，点Q到直线l的距离d==．∴S△QMN=d|MN|=6|sinθ﹣2kcosθ|．令|sinθ﹣2kcosθ|=|sinα|，则S△QMN=6|sinα|，令|sinα|=t∈[﹣1，1]，∴S△QMN=6t=f（t），令|sinα|=t∈[﹣1，1]，则f2（t）=﹣36t4+144t2=﹣36（t2﹣2）2+144，当且仅当t2=1时，f（t）取得最大值6．

2021年10月1日（Time\@"yyyy年M月"2021年10月最新下载到博学网）上海市长宁区2021年中考数学二模试题一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分）1．将抛物线y=x2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是（）A．y=（x﹣3）2 B．y=（x+3）2 C．y=x2﹣3 D．y=x2+32．下列各式中，与是同类二次根式的是（）A．﹣1 B． C． D．3．一组数据：5，7，4，9，7的中位数和众数分别是（）A．4，7 B．7，7 C．4，4 D．4，54．用换元法解方程+=时，如果设x=，那么原方程可化为（）A．2x2﹣5x+2=0 B．x2﹣5x+1=0 C．2x2+5x+2=0 D．2x2﹣5x+1=05．在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形．其中既是轴对称图形又是中心对称的图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点O，AO=CO，∠AOD=∠ADO，E是DC边的中点，下列结论中，错误的是（）A．OE=AD B．OE=OB C．OE=OC D．OE=BC二、填空题（本题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：=．8．计算：（﹣m3n）2=．9．方程的解为．10．若关于x的二次方程x2+ax+a+3=0有两个相等的实数根，则实数a=．11．从数字1，2，3，4中，任意取两个数字组成一个两位数，这个数是素数的概率是．12．2021年1月份，某区体委组织“迎新春长跑活动”，现将报名的男选手分成：青年组、中年组、老年组，各组人数所占比例如图所示，已知青年组120人，则中年组的人数是．13．已知=k，如果||=2，||=6，那么实数k=．14．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是5和3，若O1O2=2，则两圆的位置关系是．15．已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为米．16．已知线段AB=10，P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），则AP=．17．请阅读下列内容：我们在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2+1和双曲线y=，如图所示，利用两图象的交点个数和位置来确定方程x2+1=有一个正实数根，这种方法称为利用的图象判断方程根的情况请用图象法判断方程﹣（x﹣3）2+4=的根的情况（填写根的个数及正负）．18．如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB=AC=5，BC=6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE=．三、解答题（本题共7题，满分78分）19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．20．先化简，再求代数式的值：，其中．21．在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回甲地，设汽车从甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km），y与x的关系如图所示．根据图象回答下列问题：（1）汽车在乙地卸货停面（h）；（2）求汽车返回甲城时y与x的函数解析式，并写出定义域；（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．22．如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD=4，sinB=，若E是AC边上的点，且满足AE：EC=2：3，连接DE，求cot∠ADE的值．23．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE=AF，AC和EF交于点O，延长AC至点G，使得AO=OG，连接EG、FG．（1）求证：BE=DF；（2）求证：四边形AEGF是菱形．24．如图，已知抛物线y=x2﹣2tx+t2﹣2的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D，并交抛物线与点P．（1）若点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，求点P的坐标；（2）若直线AP交y轴负半轴于点E，且AC=CP，求四边形OEPD的面积S关于t的函数解析式，并写出定义域；（3）在（2）的条件下，当△ADE的面积等于2S时，求t的值．25．如图，已知矩形ABCD，AB=12cm，AD=10cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、xcm/s、1.5cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动，设运动时间为t（单位：s）（1）求证：DE=CF；（2）设x=3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；（3）设△PAQ关于直线PQ对称轴的图形是△PA′Q，当t和x分别为何值时，点A′与圆心O恰好重合，求出符合条件的t，x的值．2021年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分）1．将抛物线y=x2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是（）A．y=（x﹣3）2 B．y=（x+3）2 C．y=x2﹣3 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据函数图象左加右减，可得答案．【解答】解：将抛物线y=x2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是y=（x﹣3）2，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．2．下列各式中，与是同类二次根式的是（）A．﹣1 B． C． D．【考点】同类二次根式．【分析】先化简二次根式，再判定即可．【解答】解：A、不是同类二次根式，错误；B、不是同类二次根式，错误；C、，不是同类二次根式，错误；D、是同类二次根式，正确；故选D【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简．3．一组数据：5，7，4，9，7的中位数和众数分别是（）A．4，7 B．7，7 C．4，4 D．4，5【考点】众数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：把这组数据从小到大排列：4，5，7，7，9，最中间的数是7，则这组数据的中位数是7；7出现了2次，出现的次数最多，则众数是7；故选B．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．4．用换元法解方程+=时，如果设x=，那么原方程可化为（）A．2x2﹣5x+2=0 B．x2﹣5x+1=0 C．2x2+5x+2=0 D．2x2﹣5x+1=0【考点】换元法解分式方程．【分析】根据换元法，可得关于x的分式方程，根据等式的性质，可得整式方程．【解答】解：换元法解方程+=时，如果设x=，那么原方程可化为2x+2×﹣5=0，化简，得2x2﹣5x+2=0，故选：A．【点评】本题考查了换元法解分式方程，换元是解题关键，注意要化简成整式方程．5．在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形．其中既是轴对称图形又是中心对称的图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：②、④两者都既是中心对称图形又是轴对称图形，①③只是轴对称图形．故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点O，AO=CO，∠AOD=∠ADO，E是DC边的中点，下列结论中，错误的是（）A．OE=AD B．OE=OB C．OE=OC D．OE=BC【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE=AD，根据等角对等边可得AO=AD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OB=OC=AO，然后作出判断即可．【解答】解：∵AO=CO，E是DC边的中点，∴OE=AD，∵∠AOD=∠ADO，∴AO=AD，∵∠ABC=90°，AO=CO，∴OB=OC=AO，∴OE=OB，OE=OC，只有∠BAC=30°时，BC=AC=AO，OE=BC．所以，结论错误的是OE=BC．故选D．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质，熟记定理与各性质并准确识图是解题的关键．二、填空题（本题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：=．【考点】负整数指数幂．【分析】根据负指数次幂，以及分数指数次幂的意义即可求解．【解答】解：==，故答案是：．【点评】本题主要考查了负指数次幂以及分数指数次幂的意义，正确理解意义是解题的关键．8．计算：（﹣m3n）2=m6n2．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方，即可解答．【解答】解：（﹣m3n）2=m6n2．故答案为：m6n2．【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方公式．9．方程的解为x=﹣1．【考点】无理方程．【分析】把方程两边平方去根号后求解．【解答】解：两边平方得：2x+3=1解得：x=﹣1经检验x=﹣1是原方程的解．故答案是：x=﹣1【点评】本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．10．若关于x的二次方程x2+ax+a+3=0有两个相等的实数根，则实数a=﹣2或6．【考点】根的判别式．【分析】根据二次方程x2+ax+a+3=0有两个相等的实数根得到△=a2﹣4（a+3）=0，解一元二次方程求出a的值．【解答】解：∵关于x的二次方程x2+ax+a+3=0有两个相等的实数根，∴△=0，即a2﹣4（a+3）=0，∴a2﹣4a﹣12=0，∴a1=﹣2，a2=6，故答案为：﹣2或6．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△=0，方程有两个相等的实数根，解答此题还需要掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大．11．从数字1，2，3，4中，任意取两个数字组成一个两位数，这个数是素数的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据题意画出树状图，找到素数的个数，根据概率公式解答即可．【解答】解：列树状图得，P（两位数为素数）=．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图，熟悉树状图的列法和概率公式是解题的关键．12．2021年1月份，某区体委组织“迎新春长跑活动”，现将报名的男选手分成：青年组、中年组、老年组，各组人数所占比例如图所示，已知青年组120人，则中年组的人数是40．【考点】扇形统计图．【分析】首先根据青年组所占的百分比和青年组人数求得总人数，然后乘以中间组所占的百分比即可求得中年组人数．【解答】解：观察扇形统计图知：青年组有120人，占60%，所以全部人数为：120÷60%=200人，∴中年组有200（1﹣60%﹣20%）=40人，故答案为：40．【点评】本题考查扇形统计图，关键知道扇形统计图表现部分占整体的百分比，根据青年人数和百分比求出总数，然后再根据中年人和老年人的百分比可求出中年组与老年组人数分别是多少．13．已知=k，如果||=2，||=6，那么实数k=±3．【考点】*平面向量．【分析】由=k，如果||=2，||=6，根据相等向量的知识，即可求得k的值．【解答】解：∵=k，||=2，||=6，∴k=±3．故答案为：±3．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握向量模的意义．14．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是5和3，若O1O2=2，则两圆的位置关系是内切．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由⊙O1和⊙O2的半径分别是5和3，若O1O2=2，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是5和3，∴半径差为：2，∵O1O2=2，∴两圆的位置关系是：内切．故答案为：内切．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．15．已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为10米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】利用解直角三角形的知识知一边和角求另一边即可．【解答】解：根据题意得到AB=30米，∠BAC=30°，∵AB⊥BC，∴BC=AB•tan30°=30×=10米，∴标志物C离此栋楼房的地面距离BC为10米，故答案为10．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解．16．已知线段AB=10，P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），则AP=5﹣5．【考点】黄金分割．【专题】计算题．【分析】直接根据黄金分割的定义计算．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP=AB=×10=5﹣5．故答案为5﹣5．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．17．请阅读下列内容：我们在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2+1和双曲线y=，如图所示，利用两图象的交点个数和位置来确定方程x2+1=有一个正实数根，这种方法称为利用的图象判断方程根的情况请用图象法判断方程﹣（x﹣3）2+4=的根的情况两个正根一个负根（填写根的个数及正负）．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．【分析】画出y=﹣（x﹣3）2+4和y=d的图象，根据图象观察﹣（x﹣3）2+4=的根的情况．【解答】解：如图可知，﹣（x﹣3）2+4=有两个正根和一个负根．故答案为：两个正根和一个负根．【点评】本题考查的是运用函数图象法求方程的解的知识，掌握函数图象的交点与方程的解的关系是解题的关键．18．如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB=AC=5，BC=6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE=1或．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】动点型；分类讨论．【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；【解答】解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE==，∴BE=6﹣=；∴BE=1或．故答案为1或．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．三、解答题（本题共7题，满分78分）19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可．【解答】解：，由①得：m≥1，由②得：m＜2，不等式组的解集为：1≤m＜2．在数轴上表示为：．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集．20．先化简，再求代数式的值：，其中．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】先将1﹣a2因式分解，再通分进行化简，代值求结果．【解答】解：原式====，当时，原式=．【点评】本题主要考查分式的化简求值，把分式化到最简然后解题比较简单．21．在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回甲地，设汽车从甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km），y与x的关系如图所示．根据图象回答下列问题：（1）汽车在乙地卸货停面0.5（h）；（2）求汽车返回甲城时y与x的函数解析式，并写出定义域；（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）从图象可以看出汽车在乙地卸货停了2.5﹣2=0.5小时；（2）设返程中y与x的函数关系式为：y=kx+b，运用待定系数法可以直接求出其解就可以了；（3）根据时间的定义域得出t是4h时，应该代入返回时的解析式解答即可．【解答】解：（1）根据图象可得：汽车在乙地卸货停了2.5﹣2=0.5小时；故答案为：0.5；（2）设汽车返回甲城时y与x的函数解析式为y=kx+b，把（2.5，120）和（5，0）代入解析式可得：，解得：，所以解析式为：y=﹣48x+240（2.5≤x≤5）；（3）因为2.5＜4＜5，所以把x=4代入y=﹣48x+240中，可得：y=48，答：这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离为48km．【点评】本题时一道关于一次函数的综合试题，考查了速度=路程÷时间的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，在解答时读懂图意是关键．22．如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD=4，sinB=，若E是AC边上的点，且满足AE：EC=2：3，连接DE，求cot∠ADE的值．【考点】解直角三角形．【专题】计算题．【分析】作AF∥BC交DE的延长线于F，如图，根据等腰三角形的性质得BD=CD，AB=AC，在Rt△ABD中利用∠B的正弦可求出AB=5，再利用勾股定理可计算出BD=3，所以CD=3，AC=5，然后通过△AEF∽△CED，利用相似比可计算出AF=2，然后在Rt△DAF中，根据余切的定义求解．【解答】解：作AF∥BC交DE的延长线于F，如图，∵AD是等腰△ABC底边上的高，∴BD=CD，AB=AC，在Rt△ABD中，∵sinB==，而AD=4，∴AB=5，∴BD==3，∴CD=3，AC=5，∵AF∥CD，∴∠DAF=90°，△AEF∽△CED，∴=，即=，∴AF=2，在Rt△DAF中，cot∠ADF===2，即cot∠ADE的值为2．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了相似三角形的判定与性质．23．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE=AF，AC和EF交于点O，延长AC至点G，使得AO=OG，连接EG、FG．（1）求证：BE=DF；（2）求证：四边形AEGF是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B=∠D=90°，AD=AB，然后再证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），可得EB=DF；（2）首先证明EC=FC，再由AE=AF可得AC垂直平分EF，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形AEGF是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴EB=DF；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∵EB=DF，∴EC=FC，∴AC垂直平分EF，∵AO=GO，∴四边形AEGF是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．24．如图，已知抛物线y=x2﹣2tx+t2﹣2的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D，并交抛物线与点P．（1）若点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，求点P的坐标；（2）若直线AP交y轴负半轴于点E，且AC=CP，求四边形OEPD的面积S关于t的函数解析式，并写出定义域；（3）在（2）的条件下，当△ADE的面积等于2S时，求t的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把解析式转化成顶点式，得出顶点坐标，进而根据已知得出A（2，﹣2），从而得出抛物线的解析式，把x=1代入即可求得P的坐标；（2）根据已知得出三角形ABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=t，即E（0，﹣2+t），根据待定系数法求得AE的解析式，然后和抛物线的解析式联立方程，解方程即可求得P（t﹣1，﹣1），然后根据梯形的面积公式即可求得；（3）根据已知得出PD•t=2（﹣t2﹣2t+），即t=t2+4t﹣3，解方程即可求得．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣2tx+t2﹣2=（x﹣t）2﹣2，∴顶点A（t，﹣2），∵点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，∴=1，∴t=2，∴A（2，﹣2），∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣2=x2﹣4x+2，当x=1时，y=1﹣4+2=﹣1，∴P（1，﹣1）；（2）当AC=CP时，∠EAB=45°，∴BE=AB=t，即E（0，﹣2+t），∴直线AE的解析式为y=﹣x+t﹣2，由得P（t﹣1，﹣1），∴S=OD×（OE+DP）=（t﹣1）×（﹣t+2+1），∴S=﹣t2﹣2t+（1＜t＜2）；（3）∵S△ADE=2S，∴PD•t=2（﹣t2﹣2t+），即t=t2+4t﹣3，解得t=2（舍去）或t=．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点以及抛物线和直线的交点，梯形的面积，三角形的面积等．25．如图，已知矩形ABCD，AB=12cm，AD=10cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、xcm/s、1.5cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动，设运动时间为t（单位：s）（1）求证：DE=CF；（2）设x=3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；（3）设△PAQ关于直线PQ对称轴的图形是△PA′Q，当t和x分别为何值时，点A′与圆心O恰好重合，求出符合条件的t，x的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）作OG⊥EF于G，设⊙O与AD边相切于M，连接MO并延长交BC于N，则MN⊥AD，由矩形的性质和垂径定理证出DG=CG，EG=FG，即可得出结论；（2）分两种情况：①当△PAQ∽△QBR时，得出，求出t的值；②当△PAQ∽△RBQ时，得出，求出t的值即可；（3）根据题意得出AA′被直线PQ垂直平分，得出△APQ为等腰直角三角形，得出PQ=AA′=6，AP=AQ=6，得出，解方程即可．【解答】（1）证明：作OG⊥EF于G，设⊙O与AD边相切于M，连接MO并延长交BC于N，如图1所示：则MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴MN⊥BC，∵BC是⊙O的切线，∴N为切点，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD，∵OG⊥CD，∴DG=CG，EG=FG，∴DE=CF；（2）解：分两种情况：①x=3时，0≤t≤4，∠A=∠B，当△PAQ∽△QBR时，，即==2，解得：t=；②当△PAQ∽△RBQ时，，即，解得：t=2﹣14；综上所述：t的值为或2﹣14；（3）解：如图2所示：根据题意得：AA′被直线PQ垂直平分，∴△APQ为等腰直角三角形，∴PQ=AA′=6，∴AP=AQ=6，∴，解得：t=4，x=．【点评】本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、切线的性质、垂径定理、三角形相似的性质、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，由相似三角形的对应边成比例得出比例式才能得出结果．2021年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题：(每题4分，共24分)1、下列实数中，是有理数的为………………（）A、；B、；C、π；D、0．【答案】D【解析】整数或有限小数是有理数，无限不循环小数为无理数，故选D。2、当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是………………（）A、a0＝1；B、a－1＝－a；C、(－a)2＝－a2；D、．【答案】A.【解析】除了0以外，任何数的0次都等于1，因为a＞0，所以，a0＝13、下列y关于x的函数中，是正比例函数的为…………（）A、y＝x2；B、y＝；C、y＝；D、y＝．【答案】C【解析】，是正比例函数，选C。4、如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是……（）A、4；B、5；C、6；D、7．【答案】B.【解析】边数为＝5。5、下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是……（）A、平均数；B、众数；C、方差；D、频率．【答案】C【解析】方差反应数据波动程度，方差大，波动大，方差小，波动小，稳定。6、如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是………………（）A、AD＝BD；B、OD＝CD；C、∠CAD＝∠CBD；D、∠OCA＝∠OCB．【答案】B【解析】因OC⊥AB，由垂径定理，知AD＝BD，若OD＝CD，则对角线互相垂直且平分，所以，OACB为菱形。二、填空题：(每题4分，共48分)7、计