地下水动力学第二章

地下水动力学第二章第一页，共六十一页，2022年，8月28日第二章地下水流基本微分方程及定解条件教学目标：准确理解渗流连续性概念掌握达西定律和质量守恒原理的应用掌握建立地下水基本微分方程的思想方法几种典型的地下水流方程的推导

●潜水剖面二维流、平面二维流

●承压水二维流●三维流边界条件概化，初始条件确定方法与原则能够用数学模型描述实际问题第二页，共六十一页，2022年，8月28日第二章地下水流基本微分方程及定解条件主要内容：建立连续性方程分析含水层与岩石、流体压缩性关系建立不同含水层地下水流微分方程讨论边界条件及初始条件用数学模型描述实际问题

第三页，共六十一页，2022年，8月28日2.1渗流的连续性方程引言

>>因为流体是连续介质，所以流体在运动过程中是连续充满着它所据的空间。流体运动时的这种连续性，若用数学方程式来表示，那就是连续性方程。连续性方程是质量守恒定律应用于流体运动的具体表现形式。

>>在渗流场中，各点的渗流速度的大小、方向都可能不相同。为了反映流体运动中的质量守恒，就需要建立以微分方程表达的连续性方程。

第四页，共六十一页，2022年，8月28日建立方程的假定条件

>>水是可压缩的；>>忽略多孔介质固体颗粒的压缩性；>>多孔介质骨架在垂直方向上是可压缩的，但水平方向不可变形；>>为了方便，取直角坐标系的x、y，z轴分别平行于各向异性岩层渗透系数的主方向。

第五页，共六十一页，2022年，8月28日2.1.3渗流连续性方程水均衡的基本思想：对某一研究对象，流入－流出＝V研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。第六页，共六十一页，2022年，8月28日X方向流入X方向流出X方向流入流出差图2-1-1多孔介质单元水均衡要素图假设：水是可压缩的，多孔介质骨架在垂直方向可压缩，但在水平方向不可变形。均衡的含义：在t时段内从x,y,z三个方向共6个单元界面上流入流出水的净总质量等于单元体内储存量的变化。渗流连续性方程推导第七页，共六十一页，2022年，8月28日X方向流入流出差y方向流入流出差z方向流入流出差单元体内地下水质量变化量渗流连续性方程推导第八页，共六十一页，2022年，8月28日X方向流入流出差y方向流入流出差z方向流入流出差单元体内地下水质量变化量地下水连续性方程第九页，共六十一页，2022年，8月28日小结>>连续性方程是研究地下水运动的基本方程。

>>各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续性方程为基础建立起来的。

>>即使有时不直接采用式2-1-1，但建立有关关系式时，也必须应用能反映质量守恒原理的另一种形式的连续性方程来代替。第十页，共六十一页，2022年，8月28日2.2水和多孔介质的压缩性地下水弹性储存概念取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密，忽略侧面上粒间力(包括内聚力和摩擦力)的作用。含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的总压应力由粒间应力的垂向分量s和孔隙水应力p两者来平衡.

m为单位水平面积中颗粒间接触面积的水平投影.由于m<<1，令（K.Terzaghi)第十一页，共六十一页，2022年，8月28日Terzaghi有效应力公式多孔介质总应力有效应力孔隙水应力第十二页，共六十一页，2022年，8月28日有效应力公式分析p减少地下水体积膨胀，从而释放出部分地下水；p减少地下水对上覆岩土体浮力降低，为维持平衡，这部分力将转嫁到多孔介质固体骨架上，增大有效应力，压缩多孔介质，结果使含水层介质厚度变薄和空隙率n变小，同时从孔隙中释放地下水；p减少多孔介质固体颗粒也会膨胀,而有效应力增大又会影响固体颗粒的变形。综合起来，这种现象比较复杂。考虑到固体颗粒的压缩性比多孔介质要小得多，因此通常忽略多孔介质固体颗粒的压缩性。水压p减少，将引起以下作用:第十三页，共六十一页，2022年，8月28日地下水弹性储存物理意义：弹性储存与重力储存不同；给水机制不同弹性储存更宜理解为“变形储存”；弹性储存这种性质不仅承压含水层具备，层间弱透水层也有弹性储存弹性储存：当地下水水头（水压）降低(或升高）时，含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质第十四页，共六十一页，2022年，8月28日水的压缩方程假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有

p

为水压；

V

为水的体积；β为水的体积弹性压缩(或膨胀)系数E为体积弹性模量。V随p增大而减小，即dV/dp<0

积分第十五页，共六十一页，2022年，8月28日水的压缩方程按麦克劳林级数展开由于很小，且p变化不大，故第十六页，共六十一页，2022年，8月28日水的压缩方程由于V~V0变化不大，故由于第十七页，共六十一页，2022年，8月28日多孔介质的压缩方程假定多孔介质近似地符合弹性变形，依虎克定律，有

α为岩土的体积弹性压缩系数。如果上部荷载不变，则由于骨架部分体积不变第十八页，共六十一页，2022年，8月28日如果取出水平面积为1个单位，高度为m的岩土柱体(其体积Vb=m×１)来分析，而且近似认为该柱体不发生侧向变形,体积的变形直接反映在该柱体的高度m的变化.对此式积分多孔介质的压缩方程第十九页，共六十一页，2022年，8月28日推导过程第二十页，共六十一页，2022年，8月28日说明本节假设：假定多孔介质变形符合弹性规律，对研究含水层释水时可用；但对研究地面沉降问题时，应用有所差异。水的压缩方程多孔介质的压缩方程第二十一页，共六十一页，2022年，8月28日渗流连续性方程水和多孔介质的压缩方程总水头和孔隙水压力关系本节：利用达西定律，并综合上述各式，将渗流连续性方程转化为以水头H为因变量的渗流基本微分方程。2.3渗流基本微分方程第二十二页，共六十一页，2022年，8月28日（一）化简可视为多孔介质均衡体中固体部分的厚度，且由于固体颗粒部分视为不可压缩，因此此比值不随时间t变化。渗流连续性方程化简第二十三页，共六十一页，2022年，8月28日（一）化简渗流连续性方程化简第二十四页，共六十一页，2022年，8月28日（二）化简方程左端项当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有由于在一般情况下，水的密度变化很小，可视近似不变，故渗流连续性方程化简第二十五页，共六十一页，2022年，8月28日（二）化简方程左端项同理两边代入水均衡方程，有渗流连续性方程化简第二十六页，共六十一页，2022年，8月28日两边同除以物理意义：表示在达西流动条件下，单位体积、单位时间的水均衡关系。且令得到各向异性含水层地下水三维流的基本微分方程第二十七页，共六十一页，2022年，8月28日>>它表示在达西流条件下，单位体积、单位时间的水均衡关系——单位时间内流入和流出单位体积含水层的水量差值等于同一时间内单位体积含水层弹性释放(或弹性储存)的水量。>>通过应用达西定律反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。由此可见，基本微分方程式用数学的形式表达了渗流区中任何一个“局部”都必须满足质量守恒和能量守恒这两条基本定律。第二十八页，共六十一页，2022年，8月28日单位弹性给水度或单位储水系数的物理意义

因此，n表示单位空隙介质体积中，当水头下降一个单位时(H=1)，由于水的膨胀而释放出来的水量（体积）。由(2-2-5)有当取V为1个单位孔隙介质中水的体积时，V=1n第二十九页，共六十一页，2022年，8月28日单位弹性给水度或单位储水系数的物理意义以边长为1个单位的立方体来研究（底面积＝1）设该立方体的初始高度和孔隙率分别为m0和n0

当水头H发生变化时，空隙介质受压缩使高度和空隙率分别变小为m和n(忽略侧向变形)，

由于空隙介质的压缩所释放的水量为

第三十页，共六十一页，2022年，8月28日单位弹性给水度或单位储水系数的物理意义当水头下降一个单位时，由于空隙介质受压缩（厚度变薄，空隙率变小），从单位体积空隙介质中所释放的水量。表示：当水头下降一个单位时，从单位体积空隙介质中释放的水量（体积）又由于第三十一页，共六十一页，2022年，8月28日均质含水层，忽略含水介质在压缩过程所引起介质渗透性的变化：

各种形式第三十二页，共六十一页，2022年，8月28日对于等厚承压含水层，且属于平面二维流

Txx和Tyy为主方向的含水层导水系数(L2/T)；M为承压含水层厚度(L)；e为承压含水层的储水系数或弹性给水度。其物理意义是：单位水平面积承压含水层柱体，当水头下降一个单位时所释放的水量(无量纲)。

第三十三页，共六十一页，2022年，8月28日极坐标下均质、等厚、各向同性承压含水层轴对称流(径向流)稳定流条件第三十四页，共六十一页，2022年，8月28日当存在源汇项时和W分别为三维流和平面二维流的源汇。分别定义为单位体积含水层和单位水平面积含水层柱体中，单位时间内产生（为正值）或消耗（为负值）的水量。第三十五页，共六十一页，2022年，8月28日总结各种形式，当存在源汇项时左端加上原形均质二度各向异性轴对称问题各向同性介质稳定流条件第三十六页，共六十一页，2022年，8月28日第三十七页，共六十一页，2022年，8月28日2.4潜水流动的布西涅斯克微分方程渗流的垂直分流速度vz远远小于水平分流速度vx和vy,可忽略vz,既假定等水头面是铅垂面。一、裘布依假定(DupuitAssumption):第三十八页，共六十一页，2022年，8月28日裘布依微分方程对于剖面二维流，其中H仅仅随x而变，与z无关，即H=H(x,t)。对于单宽流量qx,有第三十九页，共六十一页，2022年，8月28日裘布依微分方程应用裘布依假定的应用:使剖面二维流问题(x,z)降阶为水平一维问题近似处理使三维问题(x,y,z)降阶为水平二维(x,z)问题处理使潜水面边界处理的简单化,直接近似地在微分方程中处理裘布依假定的局限性:

当潜水面存在垂向补给、排泄或潜水呈不稳定流时，即使潜水面坡度很小，能否引出裘布依假定而将等水头面视为铅垂面则要视条件具体分析第四十页，共六十一页，2022年，8月28日二、布西涅斯克(Boussinesq)微分方程假定:研究的潜水流满足裘布依假定水和骨架不可压缩（含义：无弹性储存）=const,s=0潜水层隔水底板水平潜水面上存在水量的交换WW>0，入渗W<0，蒸发W定义为潜水面处单位水平面积、单位时间的入渗量第四十一页，共六十一页，2022年，8月28日布西涅斯克方程推导研究剖面二维流（x-z)均衡单元体：长度为x，宽度为1个单位的含水层柱体均衡V=流入－流出均衡时段tx方向流入流出差z方向流入上边界－－潜水面边界下边界－－隔水边界V=0x,z方向流入流出差单元体内水体积的增量表现为水位在该时段内的上升或下降第四十二页，共六十一页，2022年，8月28日水均衡方程:布西涅斯克方程推导第四十三页，共六十一页，2022年，8月28日注意:d为重力给水度，是在重力作用下单位水平面积的潜水含水层柱体在其潜水面下降或上升单位水头时释放或储存的水量。上述推导运用了裘布依假定，忽略垂向分流速，因此可近似用x代替s.布西涅斯克方程将刻画潜水面边界问题简单化为用W直接表示。布西涅斯克微分方程第四十四页，共六十一页，2022年，8月28日线性化布西涅斯克方程第四十五页，共六十一页，2022年，8月28日线性化布西涅斯克方程第四十六页，共六十一页，2022年，8月28日线性化布西涅斯克方程第四十七页，共六十一页，2022年，8月28日2.5地下水流动定解条件及数学模型地下水流动控制微分方程潜水二维不稳定流动控制方程承压水二维不稳定流动控制方程定解条件边界条件初始条件第四十八页，共六十一页，2022年，8月28日一、定解条件第一类边界第二类边界初始条件边界条件第四十九页，共六十一页，2022年，8月28日一、定解条件潜水面边界三维条件下第五十页，共六十一页，2022年，8月28日解析方法数值方法物理模拟方法渗流槽试验水电比拟法电网络模拟法二、数学模型及其解法第五十一页，共六十一页，2022年，8月28日小结2.6.1学习要求(1)理解渗流方程的建立过程；(2)了解水及多孔介质的压缩性；(3)理解承压水运动的基本微分方程的建立过程及其物理意义；(4)理解潜水运动的基本微分方程的建立过程及其物理意义。2.6.2思考题-第二章课后思考题(1)§2.1(＊)式后述：“当地下水为不稳定流时，△m≠0”。为何？(2)深刻理解重力给水度ud和弹性给水度ue的物理意义；ue和单位弹性给水度us的区别和应用。(3)从理论上说，是否可从平面二维(x，y)承压流微分方程(式2-3-16)推广获得三维流微分方程第五十二页，共六十一页，2022年，8月28日(4)“已知平面二维(x，y)承压流微分方程(式2-3-16)此承压含水层中剖面流微分方程为

试对此作出评论。(5)何谓裘布依假定？为何引出此假定？当潜水面存在垂向补给、排泄或潜水面呈不稳定流时，“潜水面坡度很小”的条件下能否引出裘布依假定？第五十三页，共六十一页，2022年，8月28日(6)试着比较平面二维(x，y)承压流微分方程与降维后的平面二维(x，y)潜水流微分方程左右端各项，深刻认识ue和ud的区别与相似性。(7)请说明方程2-1-1和2-3-7建立的条件及它们的物理意义。第五十四页，共六十一页，2022年，8月28日习题6-1图h1h1h2h22.6.3思考题