复变函数第二章导数_第1页
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文档简介

复变函数第二章导数第一页，共二十三页，2022年，8月28日(1)复变函数是实变函数在复数范围内的推广.

对于复变函数的极限,连续,导数的概念可以按照(1)给出.重点分析:(一)与实变函数中对应概念的不同之处.第二页，共二十三页，2022年，8月28日2.1复变函数的极限2.1.1复变函数极限的概念定义:第三页，共二十三页，2022年，8月28日xyOz0dzOuvAef(z)几何意义:第四页，共二十三页，2022年，8月28日证明:2.1.2复变函数极限定理?复变函数的极限第五页，共二十三页，2022年，8月28日定理2.1则运算性质:证明:结合复变函数及实变函数极限的定义.第六页，共二十三页，2022年，8月28日当z0时的极限不存在[证]

令

z=x+iy,则由此得让z沿直线y=kx

趋于零,我们有故极限不存在.例2

证明函数第七页，共二十三页，2022年，8月28日2.2复变函数的连续性性质：

(1)连续函数的四则运算仍然连续(定理2.3)；

(2)连续函数的复合函数仍然连续(定理2.4)；

定义:则证明:结合复变函数极限定理,连续的定义.例3(见例2.7,2.8)第八页，共二十三页，2022年，8月28日x00例4第九页，共二十三页，2022年，8月28日例6解可知例5解第十页，共二十三页，2022年，8月28日2.3导数2.3.1导数的概念（实变函数导数概念的推广）定义存在,从实质上讲，复变函数在一点可导，要比实变函数在一点可导要求要高的多，复杂的多。第十一页，共二十三页，2022年，8月28日主要原因就是第三章，我们将看到，若一个复变函数在一点的邻域内具有一阶导数，就有任意阶的导数。对于实变函数这是不具有的性质。另外，在高等数学中，要举出一个处处连续但处处不可导的函数是十分困难的。在复变函数中，这样的例子很多。例3讨论的可导性。解:都是在整个复平面上处处连续，但在任何一点都不可导。第十二页，共二十三页，2022年，8月28日在复平面上除原点外处处不可导。所以注:第十三页，共二十三页，2022年，8月28日2.3.2导数的运算规则PP38-39定理2.5,2.6,2.7

给出了结论.与实变函数的导数计算规则相同.第十四页，共二十三页，2022年，8月28日2.3.3函数可导的必要与充分条件(可导点的判定)讨论两种特殊情况，第十五页，共二十三页，2022年，8月28日柯西-黎曼方程第十六页，共二十三页，2022年，8月28日定理2.8（1）关于柯西-黎曼方程的记忆注：实部,虚部对应相等得到柯西-黎曼方程第十七页，共二十三页，2022年，8月28日（3）将结论推广至区域D在区域D内处处可导（2）导数公式：(4)实际应用：直接利用定理结论有一定难度。第十八页，共二十三页，2022年，8月28日解：判定函数的可导点,并求导数.第十九页，共二十三页，2022年，8月28日解：第二十页，共二十三页，2022年

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