用傅里叶变换解偏微分方程

用傅里叶变换解偏微分方程一、傅里叶变换二、偏微分方程三、方程的求解当前1页，总共38页。一、傅里叶变换1.傅里叶级数2.积分变换3.傅里叶变换4.离散傅里叶变换5.快速傅里叶变换（FFT）当前2页，总共38页。傅里叶级数傅里叶级数形式an和bn称为f(x)的傅里叶系数当前3页，总共38页。傅里叶级数一般意义下：假设f(x)是定义在(-∞,+∞)内的实函数，它在任一有限区间[−l,+l]内是分段光滑的,则f(x)可以展开为傅里叶级数：

当前4页，总共38页。积分变换对于一般的积分变换，我们有如下定义：令I为一实数集，K(s,w)是定义在I×[a,b]上的函数，如果函数f(w)满足：

(1)在[a,b]上有定义；(2)对每个s∈I,K(s,w)f(w)作为w∈[a,b]的函数是可积的。则带有参变量的积分就定义了一个“从f(w)到F(s)”的变换。这种通过积分运算把一个函数变为另一个函数的方法称为积分变换。

当前5页，总共38页。积分变换每给定一个函数K(s,w)就确定了一个积分变换，因此积分变换是由函数K(s,w)生成的。通常称K(s,w)为（积分变换的）核函数，称参与变换的f(w)为初始函数或者原象函数，把变换成的F(s)称为变换函数或者象函数。积分变换是作用是把初始函数变成另一类比较容易求解的象函数，因此用积分变换求解偏微分方程的方法与我们

采用对数来计算数的乘、除、乘方和开方的技巧是完全类似的。当前6页，总共38页。傅里叶变换傅里叶变换傅里叶逆变换由傅里叶级数推导出傅里叶积分，再推导出傅里叶变换，过程如下当前7页，总共38页。傅里叶变换将上两式代入前式，并利用三角恒等式：可以得到当前8页，总共38页。傅里叶变换现在假定f(x)在(−∞,+∞)内绝对可积，那么当l→+∞时，就有：上述积分的极限为：令以及当时，我们把上述积分表达式称之为傅里叶积分。

当前9页，总共38页。傅里叶变换傅里叶积分的两种形式：一种是另一种是当前10页，总共38页。傅里叶变换引进新函数：便可以得出：当前11页，总共38页。傅里叶变换(1)线性性质。假定a、b为任意两个实数,函数f1(x)、f2(x)满足傅里叶变换条件，则有：

(2)卷积性质。假定函数f1(x)、f2(x)满足傅里叶变换条件，则称函数称为f1(x)和f2(x)卷积如果f1(x)、f2(x)和f1*f2均满足傅里叶变换条件，那么就有：当前12页，总共38页。傅里叶变换(3)微商性质。如果和均满足傅里叶变换条件，而且当|x|→+∞时f(x)→0，那么：进一步，如果满足傅里叶变换条件，就有：

当前13页，总共38页。二、偏微分方程1.什么是偏微分方程2.定解条件与定解问题3.二阶线性偏微分当前14页，总共38页。偏微分方程的概念偏微分方程是指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式。偏微分方程的一般形式：当前15页，总共38页。偏微分方程的分类如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且它们的系数都是仅依赖于自变量的已知函数，则这样的偏微分方程称为线性偏微分方程。对于一个非线性偏微分方程，如果它关于未知函数的最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。当前16页，总共38页。偏微分方程的例子当前17页，总共38页。定解条件常见的定解条件，可分为初始条件与边界条件。当前18页，总共38页。定解条件当前19页，总共38页。定解条件当前20页，总共38页。定解条件当前21页，总共38页。定解问题一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具体问题的完整描述，称为定解问题。当前22页，总共38页。二阶线性偏微分表达式为：其中A,B,C为参数并且取决于x,y。如果在xy平面上有，该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。可变形为：该二阶偏微分方程可分类为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程，起分类方式为：

:椭圆方程；

:抛物线方程；:双曲线方程。当前23页，总共38页。三、傅里叶变换解偏微分1.热传导问题2.波动问题3.基本步骤当前24页，总共38页。热传导问题一维的齐次热传导方程柯西问题当前25页，总共38页。热传导问题（一）将t视为参数，对（1）（2）两式两端进行对于x的傅里叶变换：记,则有

当前26页，总共38页。热传导问题·······················（微分性质）当前27页，总共38页。热传导问题（二）解（3）（4）式合并后带有参数w的的常微分方程的初值问题，得

当前28页，总共38页。热传导问题（三）利用对w的傅里叶逆变换，来求原函数（5）式的左端：

右端：当前29页，总共38页。热传导问题考虑（5）的右端：由于故只考虑，而

当前30页，总共38页。热传导问题················卷积性质所以解为当前31页，总共38页。波动问题由于时间问题，此问题是从网上照抄下来的，没有自己打。当前32页，总共38页。当前33页，总共38页。当前34页，总共38页。当前35页，总共38页。当前36页，总共38页。当前37页，总共38页。基本步骤一般化用傅里叶变换求解偏微分方程的4个基本步骤：（1）选用偏微分方程中某个适当的自变量作积分