理论力学课件一一

第十九章碰撞1

动力学

在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象——碰撞，物体发生碰撞时，会在非常短促的时间内，运动速度突然发生有限的改变。本章研究的主要内容有碰撞现象的特征，用于碰撞过程的基本定理，碰撞过程中的动能损失，撞击中心。2§19–1碰撞现象及其基本特征碰撞力§19-2用于碰撞过程的基本定理§19–3质点对固定面的碰撞恢复系数§19–4两物体的对心正碰撞动能损失§19–5碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用撞击中心小结第十九章碰撞3

动力学

§19-1碰撞现象及其基本特征碰撞力碰撞现象的基本特征：物体的运动速度或动量在极短的时间内发生有限的改变。碰撞时间之短往往以千分之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大，作用力的数值也非常大。

碰撞：运动着的物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象称为碰撞。碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值很大的力称为碰撞力；由于其作用时间非常短促，所以也称为瞬时力。4

动力学设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间=1/1000s,碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁块的力的平均值。的投影形式得碰撞力的变化大致情况如图所示。平均打击力，是榔头重的765倍。以榔头打铁为例说明碰撞力的特征：以榔头为研究对象，根据动量定理5

动力学可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重17.8N的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，（对现代飞机来说，这只是中等速度），碰撞力可高达3.56105N，即为鸟重的2万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。

害的一面：“鸟祸”、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。

利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利的一面，而避免其危害。6

动力学§19-2用于碰撞过程的基本定理

(1)在碰撞过程中，重力、弹性力等普通力与碰撞力相比小得多，其冲量可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和碰撞后，普通力对物体运动状态的改变作用不可忽略。

(2)由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞开始时和碰撞结束时的位置相同。两个基本假设：7

动力学两个基本定理：在理论力学中，我们关心的主要是由于碰撞冲量的作用而使物体运动速度发生的变化。因此，动量定理和动量矩定理就成了研究碰撞问题的主要工具。1、用于碰撞过程的动量定理——冲量定理。设质点的质量为m，碰撞开始时的速度，结束瞬时的速度，碰撞冲量，不计普通力的冲量，则质点动量定理的积分形式为：8

动力学对于有n个质点组成的质点系，将作用于第i个质点上的碰撞冲量分为外碰撞冲量和内碰撞冲量，则有：将这n个方程相加,且(内碰撞冲量总是成对出现的),故冲量定理（19-2）设质点系总质量M，分别为碰撞结束和碰撞开始时质心的速度，则利用质心运动定理，上式可写成：（19-3）9

动力学碰撞时质点系动量的改变等于作用在质点系上所有外碰撞冲量的矢量和。由假设(2)知，碰撞过程中，质点的矢径保持不变，则由(19-1)式，有：式（19-1)、(19-2)和(19-3)都写成投影形式，形式上与普通的动量定理相同，所不同的是在这里都不计普通力的冲量。2、用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理而 ；为碰撞始末时质点对O点的动量矩。是碰撞冲量对O点的矩，所以：（19-4）10动力学碰撞时，质点点对任一固定定点动量矩的的改变，等于于作用于该质质点的碰撞冲冲量对同一点点之矩。对于质点系,由于内碰撞冲冲量对任一点点的矩之和等等于零,于是有冲量矩定理（19-5）式(19-4)、(19-5)也可写成投影影形式，且式式中均不计普普通力的冲量量矩。在碰撞过程中中，质点系对对任一固定点点的动量矩的的改变，等于于作用于质点点系的外碰撞撞冲量，对同同一点之矩的的矢量和。11动力学§19-3质点对固定面面的碰撞恢复系数设一小球（可可视为质点））沿铅直方向向落到水平的的固定平面上上，如图所示示。请看动画12动力学

第一阶段：开始接触至变形达到最大。该阶段中，小球动能减小,变形增大。设碰撞冲量为，则应用冲量定理在y轴投影式碰撞过程分为为两个阶段：：

第二阶段：由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，小球动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为，则：13动力学对于给定材料料，|u|与|v|的比值是不变变的，该比值值称为恢复系数。——由实验测定一般0<k<1，各种材料的恢恢复系数，可可查阅书中表表。k=1理想情况———完全弹性碰碰撞。k=0极限情况——非弹性碰撞或或塑性碰撞。。14对心碰撞：碰撞时两物物体质心的连连线与接触点点公法线重合合。动力学§19-4两物体的对心心正碰撞动能损失对心正碰撞与与对心斜碰撞撞：碰撞时两质质心的速度也也都沿两质心心连线方向，，则称为对心心正碰撞（正正碰撞），否否则称为对心心斜碰撞（斜斜碰撞）。15动力学请看动画16动力学1、正碰撞结束束时两质心的的速度例如：两物体碰撞碰撞前：碰撞结束：（沿质心连线）分析碰撞结束时两质心的速度。17动力学研究对象：两两物体组成的的质点系。由冲量定理，，得：分析：列出补充方程程：（分别以两物体体为研究对象象，应用动量量定理可得出出。具体地对于第一阶段段：对于第二阶段段：18动力学对于两物体体正碰撞的的情况，恢恢复系数等等于两物体体在碰撞结结束与碰撞撞开始时，，质心的相相对速度大大小的比值值。)联立(1),(2)式，解得：：对于完全弹弹性碰撞（（k=1）：(碰撞后两物体交换速度)19动力学对于塑性碰碰撞（k=0）：对于一般情情况（0<k<1）：2、正碰撞过程中中的动能损失碰撞开始：碰撞结束：则动能损失：20动力学由正碰撞结束时时两质心的速度度公式知：代入上式中，得得：21动力学系统动能没有损损失,可以利用机械能能守恒定律求碰碰撞后的速度。。或塑性碰撞时损失失的动能等于速速度损耗的动能能。(1)对于完全弹性碰碰撞（k=1）：(2)对于塑性碰撞（（k=0）：若v2=0，则(3)对于弹性碰撞（（0<k<1）：(恒为正值）22[例1]打桩机。锤：m1，下落高度h；桩：m2，下沉。两者塑性碰撞撞。求碰撞后桩桩的速度和泥土土对桩的平均阻阻力。动力学解：碰撞开始时，，锤速，，桩速塑性碰撞后，根据动能定理,计算下沉过程中,泥土对桩的平均均阻力R。23动力学由于右端前两项项远比第三项小小,往往可以略去,于是上式可写为为：24动力学[例2]汽锤锻压金属。。汽锤m1=1000kg，锤件与砧块总质质量m2=15000kg，恢复系数k=0.6，求汽锤的效率。。若将锻件加热，，可使k减小。当达到一一定温度时，可可使锤不回跳，，此时可近似认认为k=0，于是汽锤效率解：汽锤效率定义为为25动力学§19-5碰撞冲量对绕定定轴转动刚体的的作用撞击中心设刚体绕固定轴z转动，转动惯量为IZ，受到外碰撞冲量的作用。碰撞开始时碰撞结束时由冲量矩定理在z轴上的投影式，有：26动力学下面研究碰撞时轴承反力的碰撞冲量的计算及消除条件：设刚体有对称面，绕垂直此平面的固定轴Oz转动，质量M，质心C点且OC=a，作用在对称平面内K点，OK=l，则有碰撞时刚体角速速度的改变，等等于作用于刚体体的外碰撞冲量量对转轴之矩的的代数和除以以刚体对该轴的的转动惯量。27动力学应用冲量定理，，有于是若使刚体在轴承处不受碰撞冲量作用,即使28动力学满足的点k称为撞击中心。欲使转动刚体（（具有与转轴轴垂直的对称面面）的轴承处不不产生碰撞冲量量，必须使碰撞撞冲量（作用在在刚体对称面内内）垂直于转轴轴O与质心C的连线，并作用用于撞击中心。。则须撞击中心的概念念在实践中有许许多应用。29动力学[例3]均质杆质量M，长2a，可绕通过O点且垂直于图面面的轴转动，如如图所示，杆由由水平无初速落落下，撞到一质质量为m的固定物块。设设恢复系数为k，求碰撞后杆的角角速度，碰撞时时轴承的碰撞冲冲量及撞击中心心的位置。解：碰撞开始时，，由动能定理：：碰撞结束时：求得：30动力学根据冲量定理，，得：撞击中心的位置置：31动力学2、研究碰撞问题题的两个基本假假设：(1)在碰撞过程中，，普通力远远小小于碰撞力，可可以忽略不计；；(2)物体在碰撞过程程中不发生位移移。小结1、碰撞现象的主主要特征：碰撞过程时间极极短，碰撞力非非常大，它使物物体的速度在极极短的时间内发发生有限的变化化。3、研究碰撞问题题的两个基本定定理是冲量定理理和冲量矩定理理。4、两物体碰撞的的恢复系数k等于碰撞结束和和开始时，两物物体接触点沿公公法线方向相对对速度大小的比比值。