流体力学-第六章-流体波动

第六章流体波动§1波动的概念振动：质点在恢复力的作用下，在平衡位置来回振荡。振动只是时间t的周期函数。波动：振动在介质中的传播，波动是(x,t)的周期函数。根据作用于流体上的恢复力为弹性力、重力、表面张力或科氏力，将流体中的波分为声波、重力波、毛细波（表面张力波）、惯性波及罗斯贝波。在数学上刻画波动的最简单的也是最基本的函数，就是三角调和函数或简谐函数：位相：等位相面：位相相等的各点所构成的平面（波面或波阵面）

=常数等位相面是平面，称为平面波(如重力表面波)；等位相面是球面的，称为球面波（如电磁波）。等位相面

固定时间t，使位相变化2π后的的值将相同，此相应一个波的距离称为波长：

固定x，使位相变化2π后的的值将相同，其相应的时间间隔称为周期T，即：

若视某h值不变，则此h将沿x轴移动，其移动速度由x-ct=常数得到，有：C为波相速，即等位相（波阵面）的传播速度。例1.已知波源位于原点（x=0）的谐波方程为Y=Acos(bt-dx),试求（1）在传播方向上距波源l处的振动方程式。（2）此点与波源的位相差。例2.已知波动方程为y=10cosπ(2.5t-0.01x)求波长、周期和相速。二维、三维波动上面讨论的波动局限于一维情况，实际上，大多数波动并非是一维的，这涉及到二维、三维波动的问题。同样，可以把二维、三维波动表示为如下的形式：三维波动的波参数位相的普遍形式：其中：圆频率x方向的波数y方向的波数z方向的波数全波数的概念定义波数矢量为：波数矢量垂直于等位相面（波阵面）（波数矢量即为波动传播的方向）定义其模称为全波数三维波动的相速度问题定义：等位相面：相速度：注意：共线，均为波动移动的方向§2重力表面波和界面波假设：流体无粘不可压，ρ=常数质量力只有重力，不计科氏力作用波动是一维的；运动限制在xz平面内（v=0)静力平衡（使得水平气压梯度力不随高度改变）（6.2.1）描述重力表面波的方程组为：（6.2.2）（6.2.3）（6.2.4）（6.2.5）（6.2.6）（6.2.7）这里由于压力梯度里与z无关，由压力梯度力引起的水平速度u若在初始时刻与z无关，则以后也与z无关，（6.2.8）（6.2.9）对（6.2.9）式垂直积分所以积分连续方程有：（6.2.10）（6.2.11）（6.2.12）令：略去二阶小量，则有：（6.2.13）（6.2.14）（6.2.15）（6.2.16）当水面受外力扰动发生起伏不平，于是通过重力作用产生水平压力梯度力，引起流体运动，流动结果出现水平辐合辐散，最终反过来改变了原先的水面起伏，这样，重力浮力恢复作用通过水平辐散辐合形成水面波。并按成波原因定名为水面重力波。（6.2.15）（6.2.16）中消去，，有：这是标准的一为波动方程，设其形式解为：代入上式，则：上式为重力表面波波速，其中正负号表示波动以相速c可向两个方向传播。（6.2.17）（6.2.18）（6.2.19）同理（6.2.15）（6.2.16）中消去，则有：设其形式解为：（6.2.20）（6.2.21）代入原方程，有：说明（6.2.22）（6.2.23）§3群速度单波（单色波，单纯波）：具有一定振幅、一定频率和一定波长在时间和空间都是无限的波动。群波（groupwave）：由各种单色波叠加而成的波动。叠加结果，有些振幅是相抵消的，有些是加强的。所以群波的振幅随时间和空间改变。群波混合波群波的主要性质：设有两个单波，振幅相同，频率和波数略有差异，考虑它们仅在x方向传播，设：由上式可见，波群中包含两个波动的乘积。其中：称为高频载波，其波数k和圆频率ω都分别接近各个单波的波数和圆频率。即载波的波速也接近于各个单波的波速，即

称为低频包络，它是载波的包络线，或称波包，因而波包的波长和周期远大于单波的波长和周期，即波包相对于载波随时空变化