小学奥数知识点及公式总汇(必背)

--小学奥数知识点及公总汇（必背）1．和差倍问题2．年龄问题的三个基特征：．归一问题的基本特：．植树问题．鸡兔同笼问题．盈亏问题3．牛吃草问题．周期循环与数表规．平均数．抽屉原理4．定义新运算．数列求和．二进制及其应用5．加法乘法原理和几计数．质数与合数6．约数与倍数．数的整除7．余数及其应用．余数、同余与周期．分数与百分数的应8．分数大小的比较9．分数拆分-----．完全平方数．比和比例10．综合行程．工程问题．逻辑推理11．几何面积．立体图形．时钟问题—快慢表题1231时钟问题—钟面追及．浓度与配比．经济问题13．经济问题．简单方程．不定方程．循环小数141．

和差倍问题和差问题

和倍问题

差倍问题已知条件几个数的与差

几个数的和与几个的差与倍数倍数公式适用

已知两个数的和，差倍数关系-----范围公式

(和－)2=较小数较小数＋差较大数和－较小数较大数(和＋)2=较大数较大数－差

和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数大数和－小数=大数

差÷(倍数-1)=小数小数×倍数大数小数＋差=大数较小数和－较大数较小数求出同一条件下的关键问题和与差2．年龄问题的三个基本特征

和与倍数

差与倍数两个人的年龄差是不的；两个人的年龄是同时加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数发生变化的；3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的般是那单一量题目一般“这样的速度”……等语来表示。关键问题：根据题目的条件确定并求出单一量；4．植树问题基本

在直线或者不

在直线或者不封在直或

封闭---类型

--封闭的曲线上闭的曲线植者封曲线植树端都植树，端都不植的曲线上上植树树树，只有树一端植树基本公式

棵数=段数＋棵距×段数总长

棵数=段数－棵距×段数总长

棵数=段数棵距×段数总长关键问题

确定所属类型，从而定棵数与段数的关系5．鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出；基本思路：①假设，假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数把所有兔子假设成鸡兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数-----关键问题：找出总量差与单位量的差。6．盈亏问题基本概念：一定量的象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组又产生一种结果，由于分组的标准不同，造结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基本题型：一次有余数，另一次足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数差当两次都有余数；基公式：总份数较大余数一较小余数）÷两次每份数的当两次都不足；基本式总份数（大不足数一较小不足数）÷两次每份数差基本特点：对象总量总的组数是不变的。关键问题：确定对象量和总的组数。7．牛吃草问题基本思路：假设每头吃草的速度为1”份，根据两次不同的法，求出其中的总草的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和草量。基本特点：原草量和草生长速度是不变的；-----关键问题：确定两个变的量。基本公式：生长量长时间×时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间间）；总草量较长时间×时间牛头-长时间×生长量；8．周期循环与数表规律周期现象：事物在运变化的过程中，某些特征有规律循环出现周期：我们把连续两出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环期。闰年：一年有366天；①年份能被整除；②如果年份能被100整除，年份必须能被400整；平年：一年有365天。①年份不能被4除；②如果年份能被100整但不能被整除；9．平均数基本公式：①平均数总数量÷总份数总份数总数量÷平数

总数量平均数×总数②平均数=准数＋一个数与基准数差的和÷总份数基本算法：①求出总数量以及总数，利用基本公式①进行计.②基准数法：根据给的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接的数或者中间数为基准数；以基准数为标-----准，求所有给出数与准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系基本公式②10抽屉原理抽屉原则一：如果把）个物体放个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例：把4个物体放在个抽屉里，也就是分解成个整数的和，那么就有以下四情况：①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+04=2+1+1观察上面四种放物体方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体也就是说必有一个抽屉中至少放有2物体。抽屉原则二：如果把n个体放在m个抽屉里其中n>m，么必有一个抽屉至少:k=[n/m]+1个物体：当n能被除时。k=n/m个物体：当n能被m整时。理解知识点：表不超过X最大整数。例4.351]=4[0.321]=0；[2.9999]=2关键问题：构造物体抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进运算。11定义新运算基本概念：定义一种的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算-----基本思路：严格按照定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解义的运算符号的意义。注意事项：①新的运不一定符合运算规律，特别注意运算顺序②每个新定义的运算号只能在本题中使用。12数列求和等差数列：在一列数，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做差数列。基本概念：首项：等差数列的第个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所数的个数，一般用n示；公差：数列中任意相两个数的差，一般用d表；通项：表示数列中每个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列部数字的和，一般用Sn表示．基本思路：等差数列涉及五个量a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an=a1+（n－）；通项＝首项＋（项数1)×公差；-----数列和公式：(a1+an)×÷2；数列和＝（首项＋末）×项数2；项数公式：(an+a1)÷＋；项数=（末项-首项）÷公差＋1；公差公式：=（an－））÷（n－）；公差=（末项－首项÷（项数－1；关键问题：确定已知和未知量，确定使用的公式；13二进制及其应用-----十进制：用～个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义上的表示百上的表示200所以234=200+30+4=2××10+4。=An10n-1+An-1×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-7+……×102+A2×100注意：N0=１１=N（中N是意自然数）二进制：用～两个数字表示逢2进同数位上的数字表示不同的含义。（=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-42n-5+An-6×2n-7+…×22+A2××注意：是是1。十进制化成二进制：根据二进制满2的特点，连续去这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按下而上依次写出即可。先找出不大于该数的2次，再求它们的差，再找不大于这个差的2n方，依方法一直找到差为，按照进制展开式特点即可写出。14加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成件任务有n类方，在第一类方法中有m1种不同方法在第二类方法有m2不同方法……在第-----类方法中有不同方法，那么完成这件任务共有m1+m2.......+mn种不同的方法。关键问题：确定工作分类方法。基本特征：每一种方都可完成任务。乘法原理：如果完成件任务需要分成n个步骤进行，第1步有m1种法，不管第1步哪一种方法，第2步有m2种法……不管前面n-1步哪种方法，第n步总有mn方法，那么完成这件任务共有m1m2.......×种不同的方法。关键问题：确定工作完成步骤。基本特征：每一步只完成任务的一部分。直线：一点在直线或间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点没有长度。线段：直线上任意两间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端，有长度。射线：把直线的一端限延长。射线特点：只有一个点；没有长度。数线段规律：总数＝1+2+3+…（数一1）；数角规律1+2+3+…（射线数一）；数长方形规律：个数长的线段数×宽的线段数：数长方形规律：个数1××2+3…行数列数15质数与合数-----质数：一个数除了和它本身之外，没有别的约数，这数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了和它本身之外，还有别的约数，这数叫做合数。质因数：如果某个质是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表形式N=，中a1a2a3……都是合数N质因数，且a1<a2<a3<……<an求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)(r3+1)……×互质数：如果两个数最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16约数与倍数约数和倍数：若整数够被b除，做b的倍数，就做a约数。公约数：几个数公有约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这个数的最大公约数的约数。-----4个数都乘以一个自然数m得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘m例如：约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：、2、、、、；那么的公约数有：1、、3、；那么最大的公约数：，记作1218=6；求最大公约数基本方：1、分解质因数法：先分解质数，然后把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大约数。公倍数：几个数公有倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个的最小公倍数。12的倍数有：、、、…；18的倍数有：、、、；那么的公倍数有：、72108……；那么最小的公倍数36，作12，18]=36；最小公倍数的性质：两个数的任意公倍数是它们最小公倍数的倍数。两个数最大公约数与小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方：、短法求最小公倍数；2、分解质因数的方法17数的整除-----一、基本概念和符号整除：如果一个整数a，除以一个自然b，得一个整数商，而且没有余数，么叫做a能被b整除能整除a记作b|a。常用符号整除符“|能除符“为符∵所以的符号“∴”；二、整除判断方法：能被、整除：末位上的数字被2整除。能被、整除：末两位的数字组成的数能被4、25整。3.被8、125整除末三位的数字所组成的数能被、125除。能被、整除：各个数位上数的和能被3、9整。能被7整除末三位上数字所组成数与末三位以前的数字所组成数之差能被整。逐次去掉最后一位数并减去末位数字的倍后能整除。6.被11整除：末三位上数字所组成数与末三位以前的数字所组成的数之差能被整。奇数位上的数字和与数位数的数字和的差能被11除。③逐次去掉最后一位字并减去末位数字后能被11除。7.被13整除：-----末三位上数字所组成数与末三位以前的数字所组成的数之差能被整。逐次去掉最后一位数并减去末位数字的9倍后能被13除。三、整除的性质：如果a、能被c除，那么（a+b与（也能被c除。如果a被整除c整数，那么以c能被b除。3.果a能被b整除b又能被c除，那么a也能被c整除4.果a能被bc整那么a也能被和最小公倍数整除。余数及其应用基本概念：对任意自数ab、、，如果使得÷b=q……，且0<r<b,那么r叫做a除b的余数做a以b的不完全商。余数的性质：余数小于除数。若a、除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-aa的和除c的数等于a以的余数加上除以余数的和除以的余数。a的积除c的数等于a以的余数与b以c的余数的积除以c的余数。19余数、同余与周期-----一、同余的定义：若两个整数ab除以m余数相同，则称b对于模m同余。已知三个整数am如，就ab对于余，记作a≡b(modm)读作a同余于b模m二、同余的性质：自身性：≡a(modm)；对称性：若ab(modm)，则b≡a(modm)传递性a≡b(modm)c(modm)a≡c(modm)④和差性：若b(modm)cd(modm)则a+cb+d(modm)b-d(modm)相乘性：若a≡b(modm)cd(modm)，则a×≡×d(modm)；乘方性：若ab(modm)，则bn(modm)同倍性若a≡b(modc≡b×c(modm×三、关于乘方的预备识：若A=a×，则MA=Ma×b=（Ma）b若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、、除后余数特征：①一个自然数n示M各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；-----②一个自然数X示M的各个数位上数字的和Y示的各个偶数数位上字的和M≡Y-X或M≡（X-Y）(mod11)；五、费尔马小定理：如果是质数素数），a是自然数，a不被p除，则ap-1≡p)。20分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“平均分成份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的子和分母同时乘以或除以相同的数0除外），分数的大小不。分数单位：把单位“”平均成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从题提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法找出目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法把一应用题转化成另一类应用题进行解答常见的是转换比例和转换成倍数关系把不同的标在分数中一般指的是一量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确不同的标准为一倍量。-----假设思维方法：为了题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最结果。量不变思维方法：在化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A分量发生变化，总量不变B、总量发生变化，但其中有的分量不变C总和分量都发生变化但分量之的差量不变化。替换思维方法：用一量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明化。同倍率法总量和分之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应于总量和分量都发生变化的状况。21分数大小的比较基本方法：通分分子法使所有数的分子相同根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法使所有数的分母相同根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个准，使所有的分数都和它进行比较。④分子和分母大小比法当分子和分母的差一定时分子或分母越大的分数值越。-----倍率比较法：当比较个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见倍率变化规律）转化比较方法：把所分数转化成小求出分数的值）后进行比较。倍数比较法一个除以另一个数结果得数和1进比较。大小比较法：用一个数减去另一个分数，得出的数和0比较。倒数比较法：利用倒比较大小，然后确定原数的大小。⑩基准数比较法：确一个基准数，每一个数与基准数比较。分数拆分将一个分数单位分解两个分数之和的公式：第一题你要拆1/12也就是）1、2、3、、、12

先列出的约（因）数：随便选两个约数分为a1a2

这里我选、公式：1/A=A÷a1×（Aa2×（a1+a2）/1套入公式：÷×（3+4）/1+12÷4×（）/1最后等于：1/12=1/28+1/21第二题就像上面的一套入公式计算，要把第一题的其中一个答-----案再拆分就可以了。答案是：1/21+1/84+1/4223-----完全平方数完全平方数特征：1.位数字只能是：0、14、5、6、；反之不成立。2.以3余余1；反之不成立。除以余0余1；反之不成立。约数个数为奇数；反成立。奇数的平方的十位数为偶数；反之不成立。奇数平方个位数字是数；偶数平方个位数字是偶数。7.个相临整数的平方之间不可能有平方数。平方差公式：2-Y2=（（）完全平方和公式：（）=X2完全平方差公式：（X-Y）=X2-2XY+Y费尔马小定理：如果是质数素数），a是自然数，a不被p除，则ap-1≡p)。-----24比和比例比：两个数相除又叫个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后。比值：比的前项除以项的商，叫做比值。比的性质：比的前项后项同时乘以或除以相同的数（零除外）比值不变。比例：表示两个比相的式子叫做比例a:b=c:d或比例的性质：两个外积等于两个内项(叉相乘，ad=bc-----正比例若扩大或缩小几B也大或缩小几（AB商不变时），则A与正比。反例：若扩大或小几倍B也缩小或扩大几倍AB的积不变时），则A与B成反比。比例尺：图上距离与实际距离比叫做比例尺。按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，按比例分配。25综合行程基本概念：行程问题研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间关系基本公式：路程速×时间；路程÷间速度；路程÷速度=时间关键问题：确定运动程中的位置和方向。相遇问题：速度和×遇时间=相路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间路程差÷速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程（船速+水速）×顺水时间逆水行=船速-水速）×逆水时间顺水速=速速逆水速=速速静水速=顺水速逆水度）÷水=（顺水速度逆速度）÷流水问题：关键是确物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图-----基本题型：已知路程相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间追及时间）、速度（度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。26工程问题基本公式：①工作总=工作效率×工时间工作效率工作量÷工作时间工作时间工作量÷工作效率基本思路：假设工作总量为“1”（和总工作量无）；假设一个方便的数为作总一是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数，利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作间关键问题：确定工作、工作时间、工作效率间的两两对应关系经验简评：合久必分分久必合。27逻辑推理基本方法简介：条件分析—假设法：设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。条件分析—列表法：题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进列表来辅助分析。列表法就是把题设的条-----件全部表示在一个长形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。条件分析——图表法当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有线则表示否定的状态。例如AB两人之间有认识或不认识两状态，有连线表示认识，没有表示不认识逻辑计算在推理的程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。简单归纳与推理：根题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得问题的解决。28几何面积基本思路：在一些面积的计算上不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。常用方法：连辅助线方法利用等底等高的两个角形面积相等。大胆假（有些点的置题目中说的是任意点解题时可把任意点设置在特殊位上）。-----4.用特殊规律等腰直角三角形，已任意一条边都可求出面积（斜边的平方除以等于等腰直角三角形的积）梯形对角线连线后，腰部分面积相等。圆的面积占外接正方面积的29立体图形名称

图形

特征

表面积

体积长方体

8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；S=2(ab+ah+bh)相对的棱相等；

=Sh正方体圆柱体

8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱所有棱相等；上下底是行且等的圆；侧面展开后长方形；

S=6a2S=S侧2S底S=Ch

3V=Sh圆锥体

下底是圆；只有一个点l:母线，顶点到底S=S侧+S底圆周任意点的S侧=rl离；

V=Sh球体

到圆周任意点的距离是球的半径

S=4r2

V=r3-----30时钟问题—快慢表问题基本思路：按照行程问题中的思方法解题；不同的表当成速度不的运动物体；路程的单位是分格（一周为60分格；时间是标准表所经过时间；合理利用行程问题中比例关系；31时钟问题—钟面追及基本思路：封闭曲线的追及问题。关键问题：①确定分与时针的初始位置；②确定分针与时针的程差；基本方法：①分格方法：时钟的钟面圆周被均分成60小格，每小格我们称为分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，分针每分钟走分格，时针每分钟走1／12分。②度数方法：从角度观点看，钟面周一周是°分针每分钟转360/60度°每分钟转360/12*60度1/2度。32浓度与配比经验总结：在配比的程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量他们浓度的变化成反比。溶质：溶解在其它物里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质溶剂：溶解其它物质物质（例如水、汽油等）叫溶剂。溶液：溶质和溶剂混成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。-----基本公式：溶液重=质重量溶重量；溶质重=液重量浓度；浓=（溶质／溶液×100%溶=溶液×（1-浓度）理论部分小练习：试出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。经验总结：在配比的程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量他们浓度的变化成反比。33经济问题利润的百分数（卖价成本）÷成本×100%；卖=成本×（1+利润的分数）；成=卖价÷（1+利润的分数）；商品的定价按照期望利润来确定；定=成本×（1+期望利的百分数）；本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的；利=本金×利率×数；含税价=含税价×（增值税税）；34简单方程代数式：用运算符号加减乘除）连接起来的字母或者数字。方程：含有未知数的式叫方程。列方程：把两个或几相等的代数式用等号连起来。列方程关键问题：用个以上的不同代数式表示同一个数。-----等式性质：等式两边时加上或减去一个数，等式不变；等式两边同时乘以或除以一数（除0），等不变。移项：把数或式子改符号后从方程等号的一边移到另一边；移项规则：先移加减后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。加去括号规则：在只加减运算的算式里，如果括号前面是+”号，则添、去括号，号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“－”号，添、去号，括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“－”的，都有“+”处理。移项关键问题：运用式的性质，移项规则，加、去括号规则。乘法分配率：a(b+c)=ab+ac解方程步骤：①去分；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤求解；方程组：几个二元一方程组成的一组方程。解方程组的步骤：①元；②按一元一次方程步骤。消元的方法：①加减元；②代入消元。35不定方程一次不定方程：含有个未知数的一个方程，叫做二元一次方程由于它的解不唯一，以也叫做二元一次不定方程；常规方法：观察法、验法、枚举法；多元不定方程：含有个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；-----多元不定方程解法：据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方解即可；涉及知识点：列方程数的整除、大小比较；解不定方程的步骤：、列方；、消元；3、写出表达；4、确定范围；确定特征；、确定答；技巧总结A、写出达式的技巧：用特征不明显的未知数表示征明显的未知数，同考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数B、消元技巧：掉范围大的未知数；36循环小数一、把循环小数的小部分化成分数的规则纯循环小数小数部分成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子分母的各都是99的个数与循环节的位数相同最后能约分的再约分。混循环小数小数部分成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是99的个数与一个循环节的位数相末位是0，的个数与不循环部分的位数相。二、分数转化成循环数的判断方法：①一个最简分数，如分母中既含有质因数2和5又含有2和5以外的质因数，那这个分数化成的小数必定是混循环小数。②一个最简分数，如分母中只含有和5以外的质因数，那这个分数化成的小数定是纯循环小数。-----***1至30的平方1*1=12*2=43*3=94*4=165*5=256*6=367*7=498*8=649*9=8110*10=10011*11=12112*12=14413*13=16914*14=19615*15=22516*16=25617*17=28918*18=32419*19=36120*20=40021*21=44122*22=48423*23=52924*24=57625*25=62526*26=67627*27=72928*28=78429*29=84130*30=900***呢？

世界上最神奇的数字1除以的循环节：1/7=0.142857142857142857............奇在哪里1、我们把它从1乘6看看142857X1=142857→→→→→142857X2=2857142→→7→142857X3=4285714→2→8→5→7→1142857X4=57142857→→2→142857X5=7142857→→→→→142857X6=8571428→71→4同样的个字，只是依此调换了位置，反复出现。-----2、我们从1乘到6以看看/7=0.142857.../7=0.285714.../7=0.428571.../7=0.571428.../7=0.714285.../7=0.857142.，，分别除7所得商的规律是循环的最高位后移，后面的前移。，，分别以7所得商的律是循环节的前两位后移，后面的前移。3把它乘以是多少？我们会惊人的发现是9999994、142+=99914+28+57991+4+2+8+5+7=9+9+95用142857乘以142857=20408122449前五位上后六位的得数是多呢？20408+122449=142857“142857”发现于埃及金字内，它确实是一组神奇的数字。***数小故事：神奇美妙的“9”九，是我们中华民族崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将天称为“九天、“九重”、“九霄地划为“九州”、“九域;将宗庙称“九庙道路谓“九陌山有“九崇;-----水曰“九河”;地有“九泉”人分“级”;官为“九品”。在乐古诗中有九辩、九、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位;作为一个数学爱好，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意《易经》上说，九数有吉祥的意思，如果按照“阴阳”来说数为阳偶数阴九是阳数中最大的称“极阳数十是一个完美的数字而九接近十而不到十，具有很强的倾向性一位数字只有十个，九是最大的一个，故为数字之极，寓义崇高。也许，就是这个因，九有其最多的奇妙特点，最多的趣味性质。九有一个非常奇妙的质，是其它数字所没有的。如果要求一个自然数除以九的数，则只要将这个数各位数字相加，其和如果仍是两位以上的，则再将这个和的各位数字相加，最后所得的一位数，就是这自然数除以九的余数。九的这一奇妙特点总使数学爱好者十分迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常“凑九”法验算学生的算式是否有误，而“凑九”法就是采纳这一原理。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知的倍数是一个非常和谐圆满的数系。八位数12345679，果将它同九相乘，奇怪的很，其积竟是全由组的数字111111111;如再乘18(九的2倍)可九个2乘27(的3)可得九个3……，直到乘81，就可以得到九个这种整齐统一的特点给以多么美妙的印象啊!也许有人要问为什么把8去掉，填上会有规吗?若把、8去掉或把6、7、都去掉，仍用九去乘，还规律?答是肯定的。九这个数字就是这么奇，我们来看下列算式：-----纵观上面九个算式，仅算式的结果很有规律，且积的数字之和都为九。第一个式到第九个算式的变化，更能显示出奇妙无比的秩序美。如果你随便找来一个位以上的自然数，比如是，此数打乱，变成173731、713吧我们现在出新数与原数的差，你猜会有什么结?些差144396然全是九的倍数。在这里，无论是数字，还是打乱所找数字的顺序，都是多么的随心所欲啊是这种繁乱中竟能出现规律，这种规律的宰者却是九。假如再意找一个两位以上的数，比方①先将它的各位数字之和出②用原数减去其数字和418-18)其差405也九的倍数。-----下列算式的确是种简的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b，公式的结果然是一个常数，且还是九的倍数，如选的数是位5位是否还有规律呢我们敢于肯定地说，九奇妙一定处处再现，无论是多少位，九的统一美的光芒定会时闪耀。九是一个神奇的反序在式10899=9801中可乘某一个数字，能使顺序正好颠倒过来。从算式123456789×中也可知，九某数也竟能使其顺序颠;九也是一个神圣的自数，因为92=81，1+9=10;992=9801，1+99=102;9992=998001，1+999=103;……又99×47=4658，而53+47=102，×321=320679，而670+321=103九又是一个神秘的自生数93=729，993=9702999993=997002999;九是一个奇妙的再植数，从算式1098909=989010中出，9竟然将这个数的最高位变成最低两位。九是有趣的勾股数中不可缺少的成员：2+402=412、40+41=92、12+15=33=3×9.啊九奇特，操纵着无数数学运算游戏，它不愧为一位伟大的魔术师。在除法中，九的奇异使人迷恋。看下列等式：1/9=0.111……2/9=0.2228/9=0.888……多有规律啊在化循环小数为分时，九又是大显神手是美的数字，对于和11是对称的，这种对下也隐藏着许多秘密：1/11=0.09，，3/11=0.27，…，9/11=0.81，10/11=0.90真巧，分母11的数，化成循环数，其循环节的两个数竟然也是的倍数。九，在代数的世界里有神奇的足迹……-----九的有趣性质简直是多啦!实在是举不胜举。这么独特数字怪人们特别喜它常崇拜它正值冬天时人们不数3，也不数，偏数九：“头九不算;二九冻死狗;九、四九掩门唤狗五九、六九水走头;七九、八九河边看柳九九又一九，牛遍地走”。重阳节双九，人们十分重视这个节日，因为“九月九”家家有，此时是收获的季节。唐代诗人孟浩然写出待到重阳日，还来就菊花”的诗句，至今一直被文人墨客称道。用九来起名的我国古代数学家泰九韶，所著的书名是《术九章》，而书中共分九大类，每类又有九道题，他简直是九又一个崇拜者。过去北京的许多建筑和“九”这个数目有关。例如，北京城内最早是九个城门天安门的城楼是九重楼，故宫四个角楼的结构是九梁十八柱，家建筑物大门上的钉数是纵九横九，北海和故宫的九龙壁，都九只龙，更有趣的是天坛有个历代皇帝祭天的地方，无论是洁的石栏杆，或是圆台上磨平的石块，其数目都和九字有关。在革之年，我相信人们将会以九牛二虎之力去九天州探宝千九百九十九的通天大路奋勇向前九，这个数字王国中明珠，它太神奇，太美妙!得到人们最高的崇尚，最好的扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱。看起来，它是一个很普通数，只不过与完美的数字101，只不是一个完全平方数，不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原因，竟蕴藏着变幻穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发九之规律所在，你会为此兴奋不已，感叹不尽。可你要知道，这也仅仅是在九的奇妙独特性质的海岸上拾到的一块小小的贝而已要真地全面了解九的神奇，九的妙，无论是那个数学好者，都必须进行艰苦的探索和顽强的钻研。-----1x8+=12x8+2=98123x8+3=9871234x8+4=12345x8+5=123456x8+6=9876541234567x8+7=987654312345678x8+8=98765432123456789x8+9=9876543211x9+=1112x9+3=111123x9+4=11111234x9+5=1111112345x9+6=111111123456x9+7=11111111234567x9+8=1111111112345678x9+9=111111111123456789x9+10=1111111111很炫，是不是？1x1=11x11=111x111=-----1111x1111=123432111111x11111=123454321111111x111111123456543211111111x1111111123456765432111111111x11111111123456787654321111111111x111111111=12345678987654321再看看這個對稱式9x9+=8898x9+6=888987x9+5=88889876x9+4=98765x9+3=888888987654x9+2=88888889876543x9+1=8888888898765432x9+0=888888888***缺数12345679际上与循环小数是一藤上的瓜，因为：1/81……，8数和1/81的循环节有关。在以上小数中，为什别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？我们看到，＝1/9×1/9，把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即…1/9×1/9，即无穷个1自乘。不妨先从有限个的平方-----来看：很明显11的平方＝，111平方＝12321，……，直到111111111的平12345678987654321。但现在是无穷个1的方，长长的队伍看不到尽头，怎办呢？缺8数隐在循环小数里利用数学归纳法，不证明，在所有的层次8都被一一跳过。那么，缺8数以的数得到“清一色”就很好理了，因为：1/81×9＝1/9…缺数乘以3倍数得到“三位一”也不难理解，因为：1/81×3＝1/27＝0.037037037……一开始就出现了三位的循环节。缺数乘以差为9等差数列时相当于在原基础上每位数加，自然就出现“走马灯”了。循环小数与循环群、期现象的研究方兴未艾，缺8数已引起人们的浓厚兴趣与切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛的几条性质，而更着眼于探索其精微的结构。缺8数的精细结构引研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：12345679×44938271612345679×561728395前一式的数颠倒过来，正好就是后一式的积数。（虽有微小的差异，即5以4而根据“轮休学说”，这正是题中应有-----之义）这样的“回文结对，手并进”现象，对1314（、23（、32）（、）等对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如：12345679×22＝27160493812345679×23＝283950617前一式的数颠倒过来正好是后一式的积数后一式的移到后面，并5以4走马灯当缺8数以19时其乘数将是234567901像走灯一样，原先居第二位的却了开路先锋。例如：12345679×19＝23456790112345679×28＝34567901212345679×37＝456790123深入的研究显示，当数为一个公差等于的术级数时，出现“走马灯”的现象。例如12345679×809876543212345679×17＝20987654312345679×26＝32098765412345679×35＝432098765一以贯之当乘数超过时积将至少是十位数但上的各种现象依然存在，真是“吾一以贯之”。例如：乘数为的倍数12345679×243＝2999999997只要把乘积中最左边一个数2加到右边的7上，仍呈现“清一色”。-----乘数为的倍数，但不是的倍数12345679×84＝1037037036只要把乘积中最左边一个数1加到右边的6上，又出现“三位一体”。乘数为3K＋或3K＋型12345679×98＝1209876542表面上看来，乘积中现雷同的，只要把乘积中最左边的数1加最右边的2上去后得为209876543“缺1”数，是轮流“休息”。轮流休息当乘数不是9的倍数时此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同，缺少1数字，而且存在着明确规律。另外，在乘积中缺3、缺、缺9的情况肯定不在。例如乘数在区间10，17的情况（其中和因的倍数，予以排）：12345679×10＝123456790（缺8）12345679×11＝135802469（缺7）12345679×13＝160493827（缺5）12345679×14＝172839506（缺4）12345679×16＝197530864（缺2）12345679×17＝209876543（缺1）乘数在［19，］及其他区间（间长度等于7的情况与此完全类似。乘积中什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”人人有份，既不多也少，实在有趣。三位一体缺数乘以3倍数但不是倍数，可以得到“三位一体”，例如：12345679×12＝148148148-----12345679×15＝18518518512345679×33＝40740740712345679×57＝70370370312345679×78＝962962962清一色缺数乘以9倍数可以得到“清色”，例如：12345679×911111111112345679×18＝22222222212345679×27＝33333333312345679×36＝44444444412345679×45＝55555555512345679×54＝66666666612345679×63＝77777777712345679×72＝88888888812345679×81＝999999999-----速算公式【首同末合十的两位相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a个位上的数分别为b和c且b+c=10则这的两个数便是“首同合十”的两个两位数，它们的积为（10a+b）（10a+c）（）+10ab+10ac+bc=102+10a（）+bc-----=100a2+100a+bc＝（a+1）×100+bc。根据这一公式，两个首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比大1的数的积的100倍后所得的结果后面，添上两末位数的积。例如，×（7×8）×100+2×=561645（4×5）×100+55=2025首同末合十的计算公，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算去。例如256×254可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得256×254=[25×25+1）]100+6×=[25100+24=65024又如，155×155=（15×）×100+5×=24025【末同首合十的两位相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a，且a+b=10，个位上的数字都是c，-----则这样的两个数便是末同首合十”的两个两位数，它们的积为（10a+c（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2＝（）+c=100ab+100c+c2=（ab+c100+c。根据这一公式，两个末同首合十”的两位数相乘，可以先把两个首位数字乘积加上一个末位数乘100然后再在所得的结果后面末位数自乘的末位数的平方例如，×（3×）×100+4=25×100+16=2516【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是的两位数，十位上的字分别是ab，则它们的积是（10a+1）（10b+1100ab+10a+10b+1＝10a×（a+b）×由这一公式可知，两末位是1两位数相乘，可以先把两个首位数值相乘然后在所得的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要位）的10倍，后在后面添上1。例如，×71=50×（5+7）×10+1=3500+12091-----=3621。这样的题目，口算的法可以是：【两个首位是的两位数相乘式】设两个首位为的两位数，个位上的数分别是a和，则它的积是：（10+a）10+b）＝100+10a+10b+ab=（10+a+b）×10+ab。由这一公式可知，两首位是1两位数相乘，可以把一个数加上另一个数末位数，所得的结果乘以后，再加上两个末位数的积。例如，×（17+6）×10+7×=230+42=272【接近100的个数相乘公式】接近100的两个数相乘，可以分三种情况寻找它的速算方法。（）两个超过100的相乘。设两个超过100数分别为a和b，它们与100的差分别为和k，则a=100+h，b=100+k。它的积是a·b＝（100+h（100+k-----=（）×100+100k-hk=（）×100+hk=（）×100+hk由这一公式可知两超过数相乘可以先把一个数加上另一个数与100