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文档简介

幂函数一、幂函数的图象与概念1、定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.2、幂函数的特征:(1)xα的系数是1;(2)xα的底数x是自变量;(3)xα的指数α为常数.只有满足这三个条件,才是幂函数.对于形如y=(2x)α,y=2x5,y=xα+6等的函数都不是幂函数.3、五个常见幂函数的图象排列特点:第一象限内,在直线x=1右侧,其指数越大,图象越高,即“指大图高”.图象规律:幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.图象若与坐标轴有交点,一定交于坐标原点.三点注意:(1)当α<0时,函数图象与坐标轴没有交点,类似于y=x-1的图象,且在第一象限内,逆时针方向指数在增大;(2)当0<α<1时,函数图象倾向x轴,类似于的图象;(3)当α>1时,函数图象倾向y轴,类似于y=x3的图象,且在第一象限内,逆时针方向指数在增大.二、幂函数的性质1、所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1);2、如果α>0,那么幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上单调递增;3、如果α<0,那么幂函数的图象在区间(0,+∞)上单调递减,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限接近y轴,当x从原点趋向于+∞时,图象在x轴上方无限接近x轴;4、在(1,+∞)上,随幂指数的逐渐增大,图象越来越靠近y轴.三、对于形如(其中m∈N*,n∈Z,m与n互质)的幂函数1、当n为偶数时,f(x)为偶函数,图象关于y轴对称;2、当m,n都为奇数时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称;3、当m为偶数时,(或),是非奇非偶函数,图象只在第一象限(或第一象限及原点处)四、作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象;(2)若幂函数的定义域为(0,+∞)或[0,+∞),作图已完成;若在(-∞,0)或(-∞,0]上也有意义,则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数,则根据y轴对称作出第二象限的图象;如果为奇函数,则根据原点对称作出第三象限的图象.题型一判断是否为幂函数【例1】现有下列函数:①;②;③;④;⑤;⑥;⑦,其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4【变式1-1】下列函数是幂函数的是()A.B.C.D.【变式1-2】下列函数中,不是幂函数的是()A.y=2xB.y=x-1C.y=D.y=x2【变式1-3】下列幂函数中,定义域为R的幂函数是()A.B.C.D.题型二求幂函数的解析式【例2】(多选)如果幂函数的图象不过原点,则实数的取值为()A.B.C.D.无解【变式2-1】已知幂函数的图象过点,则=.【变式2-2】已知幂函数在上单调递增,则的解析式是_____.【变式2-3】已知幂函数在为减函数,则___________.【变式2-4】已知幂函数(k∈N*)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上是减函数,求函数f(x)的解析式.题型三幂函数定义域问题【例3】函数的定义域是.【变式3-1】函数的定义域为______.【变式3-2】已知幂函数的图象过点,则的定义域为()A.RB.C.D.【变式3-3】若有意义,则实数的取值范围是________题型四幂函数的值域问题【例4】幂函数中a的取值集合C是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为()A.B.C.D.【变式4-1】若幂函数的图象过点,则的值域为____________.【变式4-2】已知幂函数的图象过点,则函数在区间上的最小值是()A.1B.C.D.【变式4-3】幂函数的图象过点,则函数的值域是()A.B.C.D.【变式4-4】已知函数,若函数的值域为,则实数的取值范围为_____.题型五幂函数图象的判断及应用【例5】幂函数在第一象限的图像如图所示,则的大小关系是()A.B.C.D.【变式5-1】函数和的图象如图所示,有下列四个说法:①如果,那么;②如果,那么;③如果,那么;④如果时,那么.其中正确的是().A.①④B.①C.①②D.①③④【变式5-2】已知幂函数的图象经过点,则的大致图象是()A.B.C.D.【变式5-3】图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象,则解析式中指数的值依次可以是()A.、、B.、、C.、、D.、、【变式5-4】若幂函数与在第一象限内的图像如图所示,则()A.;B.,;C.,;D.,.【变式5-5】函数的图像可能是()A.B.C.D.题型六幂函数图象过定点问题【例6】三个幂函数(1),(2),(3)都经过的点的坐标是()A.B.C.D.【变式6-1】若函数与图象关于对称,且,则必过定点()A.B.C.D.【变式6-2】函数的图象必经过定点()A.B.C.D.【变式6-3】若,函数的图象恒过定点,则点的坐标为______.【变式6-4】函数的图象过定点________.【变式6-5】幂函数的图象过点,则函数的图象经过定点____.题型七利用幂函数单调性解不等式【例7】若幂函数的图象过点(16,8),则的解集为()A.(–∞,0)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(–∞,0)D.(1,+∞)【变式7-1】已知函数,那么不等式的解集为__________.【变式7-2】若,求a的取值范围.【变式7-3】已知幂函数的图象关于y轴对称,且在上单调递减,则满足的a的取值范围为()A.B.C.D.【变式7-4】已知幂函数的图象关于y轴对称,且在上单调递减,求满足的实数a的取值范围.题型八幂函数性质的综合应用【例8】已知幂函数在上单调递增.(1)求的值;(2)当时,记的值域为集合,若集合,且,求实数的取值范围.【变式8-1】已知幂函数的图像关于y轴对称.(1)求的解析式;(2)求函数在上的值域.【变式8-2】已知函数为偶函数,且f

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