函数的奇偶性单调性周期性综合

1第二讲函数的奇偶性单调性周期性综合．(年全国卷Ⅱ理科)已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1x)f(1x)．若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()f(1x)f(1x),f(x)f(2x),f(x)f(2x)f(2x)f(x),f(4x)f(2x)f(x)f(x)是周期函数，且一个周期为4f(4)f(0)0,f(2)f(11)f(11)f(0)0f(3)f(12)f(12)f(1)2，f(1)2f(1)f(2)f(3)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2，故选C．则满足1f(x2)1的x的取值范围是()【解析】由已知，使1f(x)1成立的x满足1x1，所以由1x21得1x3，即使1f(x2)1成立的x满足1x3，选D.3．已知函数fx的定义域为R,当x0时,fxx31,当1x1时,fxfx,当x1时,fxfx,则f6()2222【解析】fx1fx1T1f(6)f(1)f(1)2，故选A.224．定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)．当x3,1时，f(x)(x2)2，当x1,3时，f(x)x，则f(1)f(2)f(3)f(2017)的值为()【解析】函数的周期T6,所以f11,f，f5f11f6f0，201763361f1f2f3......f20175．已知fx是定义在R上周期为，22f3，0，即f1f2，1336f12的奇函数，当1f4f1f4f3f4f5所f，f6，以B.4xf(log42BD ()2【解析】f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以log21511f(log41)f(32)f(5)f()f()(421)1，故选B.log2226．已知函数yf(x)的周期为2，当x[1,1]时f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lgx|的图象的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个【解析】3作图如下，由图可得函数yf(x)的图象与函数y|lgx|的图象的交点共有10，故选A.f(x)=log(x)86421055101524687．已知函数fx的定义域为R.当xf(x)f(x)fx10时，f(x)x51；当fxf2016=，则()【解析】所以f(201f6)x0时，函数f(x)是周期为1的周期函数，1x1f(x)f(x)f(1)f(1)[(1)51]2，故选D．8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(3x)f(x)，则f(2019) 【解析】f(x)f(x),f(3x)f(x3)f(0)0f(3x)f(xfxfx)，由此可得f(x3)f(x6)，f(x)f(x6)，f(x)是周fffffB.9．已知fx在R上是奇函数，且满足fx5fx，当x0,5时，fxx2x，4【解析】因为fx5fx，所以fx10fx5fx，fx的周期为10，因此f2016f4f416412，故选A．10．定义在R上的函数fx满足fx2fx0,x0,2时，fx3x1，则f2015的值为()A.-2B.0C.2D.8【解析】由已知可得f(x4)f(x2)f(x)fx的周期T4f2015f(3)f(1)2，故选A.11．已知函数fx的定义域为R,当x0时,fxx31,当1x1时,fxfx,当x1时,fx1fx1,则f6()222【解析】xfx1fx1T1f6当时,22,所以f(1)f(1)(11)2.12．已知fx在R上是奇函数，且满足fx5fx，当x0,5时，fxx2x，【解析】fxfx5fxfx10，f2016f6，又f6f104f4，所以f4f412fx满足fx+3=-fx，且f-2=1，则13．已知定义在R上的奇函数()()()()f2016+f()() ()5fx3fx，所以fx3fx，所以函数的周f2016f2017f0f1期为T4f(2)f(232)f42，解得xf(x2)[1【解析】0f1f2数为奇函数且f(-2)=10f1f2，14．已知f(x)的定义域为R，且f(xy)f(x)f(y)对一切正实数x，y都成立，若f(8)4，则f(2)_______。【解析】在条件f(xy)f(x)f(y)中，令xy4，得f(8)f(4)f(4)2f(4)4，3f(x)43f(x)4f(4f(f(4f(x)，对于x且满足15．定义在R上的奇函数【解析】3m3f(x)，因此函数f(f(x)，因此函数f(x)图象关于直线xf(2f(4)f(4)，2fxf【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现f(x)是周期函数，显然f(x)1，6f(x)1f(x)1f(x2)1f(x)f(x)1f(x2)于是f(x所以f(x从而f20171f(x)1f(x)1f(x)1f(x)1f(x4)fxf(x)是以8为周期的周期函数，f2018；yf1x与yfx1的图象关于直线x0对称；②若f1xfx1,则函数yfx的图象关于直线x1对称；③若f1xfx1,则函数yfx是周期函数；④若f1xfx1,则函数yfx的图象关于0,0对称.其中所有正确命题的序号是．答案】③④【解析】很明显①不满足题意；②不满足题意；③由f1xfx1可得fxfx4知周期为4的周期函数；④由f1xfx1得fxfx可知函数是奇函数，则①若函数f(x)定义域为R,则g(x)f(x)f(x)是奇函数;②若函数f(x)是定义在R上的奇函数,xR,f(x)f(2x)0,则f(x)图像关于x1对称;④若f(x)是定义在R上的奇函数,f(x【答案】①④ 7得得即①gxfxfx关于x1对称则应有f0fxfxf2，由f(x)xf(2x)0可得f0f20所以不一定成立，③x1,x2值的取法应该是任意的，④因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(x2)也所以fx2fxfx2fx3代x2x入fx22可得fx由2fx2fx2fx2，所以f(x)是以4为周期的周期函数；故填①④．三、解答题19．已知函数fxlgx1．0f12xfx1 (1)若，求实数x的取值范围； 求函数ygx的解析式．【解析】22x0 (1)由x10得1x1，2xlgx1lg11由0lg222xlgx1lg11x1x1因为x10，所以x122x10x10，2122121解得x，由21，得x．33x21所以实数x的取值范围是(,)． 2)依题意得，当x1,2时，2xygx2gx2g2xfl.gx3x81恒有f(x3)f(x)，当x0,2)[时，f(x)ex1，则f2016)((2015()22【解析】f(xf(x)f(x)即函数fx的周期为2.所以22f(20f16)f(2f0.15e)011x?0,1时，fx=3x-1，则的flog110值为()[]()10209327【解析】满足f(+x2)=(f)-x(=，)f所x以该函数的周期是2，logxfxx则3log11021flog110flog1102flog1102=3=3log103310,故选D．3333333．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意xR，都有f(4x)f(x)，且fxxA.函数f(x)的最小正周期为4B.f(1)f(3)C.f(2016)09f3f1f1，B错；故选B.f(4x)f(x)5044f0f02x，可得函数f(x)的4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，则f(f(5))()f(x)115得,f(x)f(x4)，则f(5)f(1)5，f(f(5))f(5)f(1)1155．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1,f(2)2,f(23)f(14)(5那么)由题意，得f(23)f(2)数集f(2)2,f(14)(1)1，则f(23)f(14)1；故选A．上的函数f(x)满足：①f(2x)f(x)；②f(x2)f(x2)；x1x1f(x2)0满足()A．f(2014)C．f(2016)f(2016)B．f(2015)D．【解析】由fx2fx2可得f(x4)f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数且函数f(x)在区间[1,3]上是单调递增,由题设可得f(x1)与函数yf(1x)的图象关于直线x3(,0)成中心对称，对于任意x，又有f(x3)f(x1)与函数yf(1x)的图象关于直线x3(,0)成中心对称，对于任意x，又有f(x3)7．函数f(x)的定义域为R，以下命题正确的是()①同一坐标系中，函数y②函数f(x)的图象既关于点2则则f(x)的图象关于直线x对称；2③函数f(x)对于任意x，满足关系式f(x2)f(x)是奇函4)，则函数f(x)是奇函数.数A．①②B．①③C．②③D【解析】是yfx与yf是yfx与yf3成中心对称，所以f3x成中心对称，所以f3x2fx，而f(xx为函数关于点-23)2xf3x，即3)2xf3x，即fxfx，又根据f(x2xfxf期T3,又有fxfxxfxf2xx2xx222而函数yfx3是函数而函数yfx3是函数yfx向左平移38．已知定义在R上的函数满足条件f(x3)2)为奇函数，则下f(x)，且函数yf)为奇函数，则下4面给出的命题中错误的是()A．函数y3C．函数yf(x)的图像关于点4【解析】对于A：∵fx3f(x3)2fx∴函数fx是周期函数且其周期为3，A对；对于B：由D得：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴fx在R上不是单调函数，3于C：∵yf(x)是奇函数∴其图象关于原点对称，又∵函数fx4yf(x33个单位长度得到，∴函数fx的图象关于点(304434对；对于D：由C知，对于任意的xR，都有f(x)f(3x)，用33可得：f(x)fx0，∴f(3x)fxf(x)对于任意的222t32x，则ftft，∴函数fx是偶函数，D对．故选：B．B不对．对4xR都成9．定义在实数集R上的函数fx满足fx三种叙述：①8是函数fx的一个周期；②f偶函数.其中正确的是()A．②③B.①②C．①③D.【解析】fxfx20fx2由可得fx4fx2，联立可得fx4fx2f2x，所以其图象关于直线x10．已知函数f(x)对任意xR都有f(x6)f4)4，则f(2012)(20fx20fxfx，所以fxx)f(x)中)f(4x)f(x).现有以下x2对称；③fx是x2代替x可得用x2代替x可得yf(x1)的图象关于【解析】1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数yfx的图像关于点0,0对称，即函数yfx是奇函数，令x3，得f36f32f3，即f3f32f3f3f32f3，解得f30，即fx6fx0fx6fx，等价于fx12fx，所以函数的周期T12,那么f2012f121684f4f44，故选D.xx且|x1||x2|，则f(x1)，f(x2)的大小关系是_______。xf(x1)f(x1)，故f(x1)f(x2)已知yf(x),xR，有下列4个命题：①若f(12x)f(12x)，则f(x)的图象关于直线x1对称；②yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x2对称；③若f(x)为偶函数，且f(2x)f(x)，则f(x)的图象关于直线x2对称；④若f(x)为奇函数，且f(x)f(x2)，则f(x)的图象关于直线x1对称.其中正确的命题为.(填序号)【答案】①②③④【解析】称的条件f2axfx可以探讨各命题是否正确．因为f12xf12x，令t2x,f1tf1t，所以函数fx的图象自身关于直线x1对称,①对.因为fx的图象向右平移2个单位，可得fx2的图象，将fx的图象关于y轴对称得fx的图象，然后将其图象向右平移2个单位得f2x的图象，所以fx1,f1x的图象关于直线x2对称,②对．因为f2xfx，所以fx4fx，因为fx为偶函数，fxf，x所以f4xfx，所f以xfx的图象自身关于直线x2对称,③对．因为fx为奇函数，且f(x)f(x2)，所以fx2fxfx113．设偶函数f(x)对任意xR，都有f(x3)，且当x[3,2]时，f(x)2x，f(x)1【答案】5解析】1因为f(x6)f[(x3)3]1f(x)f1f(x)1f114．设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数 (1)求证：fx是周期函数； (2)当x2,4时，求fx的解析式； (3)计算f0f1f2f2014．【解析】 (1)fx2fx，fx4fx2 (2)当x2,0时，x0,2，由已知得fx又fx是奇函数，fxfx2xx2，又fx是周期为4的周期函数，f(x),所以f(x)的周期f(2.5)5x，恒有fx2fx．当fx，fx是周期为4的周22xx，fxx22x，242x4，2fxfx4x42x2x26x8，从而求得x2,4时，fxx26x8． f00,f20,f11,f31，又fx是周期为 f0f1f2f3f4f5f6f7f2008f2009f2010f201又f2012f2013f2014f0f1f2，f0f1f2f20141．1．定义在R上的偶函数yf(x)满足f(x2)f(x)，且在x[2,0]上为增函数，af()，bf()，cf(log18)，则下列不等式成立的是()22【解析】因为定义在R上的偶函数yf(x)在x[2,0]上为增函数，所以在x[0,2]上单调递7f(log18)2ff(log18)2f2222①f(x3)2．定义在R①f(x3)f(x)y轴对称．则下列结论3x1x26，都有f(x1)f(x2)；③yy轴对称．则下列结论中正确的是()【解析】先由f(x3)因为f(x3)所以fx61，得函数周期为6，得到f(7)f(1)；再利用yf(x3)的图象关f(x)yfxxff；最后利用条件(2)1，f(x)1f1fx3fx；1fx即函数周期为6，故f(7)f(1)；又因为yy所以f(1)f(x3)的图象关于y轴对称，(fx)又对任意3x1＜x26，都有f(x1)＜f(x2)；f(3)＜f(4.5)＜f(5)f(1)f(7)．3．定义在R上的函数yfx的图象关于点(,0成中心对称，对任意的实数x都有4fxfx3，且f11,0)(f2,则f1f(2)f(3)f(2004)的值为()2【解析】fxfx3，232fxfx，则fx3fx3fx2则f2f13f11，1ff11,2∵函数yfx的图象关于点(5∴f∴f1f234fff)1120，fffff1．4．已知定义在R上的函数fx的图象关于点又f11,f02,则f1f2f3【解析】由fxfx3得fxfx3，又f2f1f(1)f(13)f(1),f(1)222得f1f2f3...f2008669(f5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x3)34Df2008 fx)fx3,2x4f(2)f(3)0，由fxfx3可1f2f3)f(1)f(1)f(1)1，则有(【解析】因为f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)fx，及fx是周期为6的函数，结合f(x)是偶函数可得f(49)f1,f(64)f2f2,f(81)fxx，1f(x2)0得f(x)在[0,3]上f(49)f(64)f(816．定义在R上的函数fx对任意0x2x1都有图像关于原点对称，若f22，则不等式fxfxxfx1fx2x0的解集是()D．【解析】不妨取f(x)2fxx2fxx0的解集为1x1,x01x122,20,2，故选C.f(x)log2(x1)，给出下列命题：①f(2014)f(2015)0；②函数f(x)在定义域yxfx2个交点；④函数f(x)的值域为(1,1)．其中正确的是()A．①，②B．②，③C．①，④D．①，②，③，④【解析】f2014f2015f0f2015f0f10，所以①正确，排除B；若函数f(x)在定义域R上是周期为2的函数，则f1.5f1.52f0.