2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.2两条直线平行和垂直的判定【教学内容】能根据斜率判定两条直线平行或垂直。【教学目标】借助图形探究两条平行和垂直直线的斜率关系；能利用斜率判定两条直线平行和垂直；能分析图形特征并进行有效的代数运算，用代数运算结果解释几何问题，从而提升数形转化能力，培养数形结合的数学思想。【教学重难点】教学重点：根据斜率判定两条直线平行和垂直。教学难点：探究发现两条平行或垂直直线的斜率关系。【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）（一）情境探究：两条平行或垂直直线的斜率关系情境：已知四边形的四个顶点分别为，试判断四边形的形状，并给出证明。【答案】①先作图，如右图1所示，直观判断应该是个矩形；②根据已学知识，可用向量进行证明：所以，，故四边形是平行四边形又图1图1所以，，故四边形是矩形。上节课我们学习了用倾斜角和斜率刻画直线的倾斜程度，若我们把四边形看成四条直线围成的封闭图形，那能否从直线的倾斜角和斜率的角度来理解、刻画两条直线（不重合）的平行和垂直关系呢？根据上述分析，我们将从以下三个角度进行探究：①探究斜率存在时，平行直线的斜率关系；②探究斜率存在时，垂直直线的斜率关系；③探究斜率不存在时，直线的平行和垂直情况。探究（1）：请计算图中线段所在直线的斜率，观察并猜想：平行直线的斜率关系。【答案】，，猜想：若斜率分别为的两条直线相互平行，则其斜率满足，证明如下：（法一）（法二）直线的方向向量分别是，图2则，即图2探究（2）：根据已计算的直线斜率，观察并猜想：两条垂直直线的斜率关系。【答案】，猜想：若斜率分别为的两条直线相互垂直，则其斜率满足，证明如下：（法一）若，则，下面只讨论的情况，其他亦然由于所以，即图3（法二）直线的方向向量分别是，则，即探究（3）：若直线中有斜率不存在的，则应如何讨论或？图4【答案】不妨设直线的斜率不存在，则的倾斜角，则图4①当时，，均斜率不存在（如图4）；②当时，，所以直线的斜率为0。图5（二）形成新知：两条直线平行和垂直的判定斜率存在，分别为斜率不存在（不妨设的斜率不存在）两条直线的斜率均不存在，倾斜角均为另一条直线的倾斜角为0，斜率为0（三）典型例题：例1、已知，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论。解：如右图6，由已知可得直线的斜率，图6直线的斜率，图6因为，所以直线。变式训练1、已知三点，请判断A、B、C三点的位置关系并证明。【答案】三点在同一条直线上【解析】，所以，又因为有公共点B，所以三点在同一条直线上。思考：斜率相等得到两直线平行还是两直线重合？注意：区分重合还是平行，需要借助图形进行判断，其中是否有公共点是关键。例2、已知三点，试判断△的形状。解：如右图7，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，图7由，得，即，图7所以△是直角三角形。变式训练：在直角梯形ABCD中，已知A(-5,-10),B(15,0),C(5,10)，AD是腰且垂直于两底，求点D的坐标。解：依题意得CD∥AB,AD⊥AB设点D(x,y)，因为，，解得x=-11,y=2,所以D(-11,2)课堂检测：判断下列各对直线是否平行或垂直：(1)经过A(2,3),B(-1,0)两点的直线l1,与经过P(1,0)且斜率为1的直线l2;(2)l1的倾斜角为45°，l2经过P(-2,-1),Q(3,-6)两点。答案：(1)平行；(2)垂直（四）归纳提升判断位置关系或几何图形的形状均是一个几何问题，不应盲目计算，应先作图，从图形中分析几何特征，再选择合适的代数方法进行计算，最后对代数运算的结果进行几何解释。这种数形转化的思想方法，也称为数形结合，它是贯穿整个解析几何的思想方法。（五）课堂总结1.本节课我们借助具体图形经历计算、