2014秋弹性力学第二章

1平衡方程几何方程相容方程2§2.4

物理方程平面问题的平衡方程:几何方程：物理方程:或:3§2.4

物理方程平面问题有两个平衡方程，三个几何方程，三个物理方程。共8个方程，求8个未知量：求解时，要考虑边界条件。4§2.5

边界条件物体表面边界单元厚度为1。单元各面面积：在应力边界Sσ处：应力边界条件。即为边界上的平衡条件。5§2.5

边界条件物体表面边界在垂直于x轴的边界上：在垂直于y轴的边界上：在这两种情况下，应力分量就等于对应的面力分量。除应力边界条件外，还有位移边界条件：6§2.5

边界条件有三种边界条件：应力边界条件，位移边界条件，混合边界条件。例2-2试列出图示梯形水坝的边界条件。解:为水的密度。应力边界条件：1）迎水面，x=0，2）顶面，y=0，即梯形水坝可视为平面应变问题。7§2.5

边界条件有三种边界条件：应力边界条件，位移边界条件，混合边界条件。例2-2试列出图示梯形水坝的边界条件。解:应力边界条件：3）斜面，x=b+y，梯形水坝可视为平面应变问题。8§2.5

边界条件有三种边界条件：应力边界条件，位移边界条件，混合边界条件。例2-2试列出图示梯形水坝的边界条件。解:位移边界条件：4）当y=h时：或:梯形水坝可视为平面应变问题。9§2.6

圣维南原理圣维南原理：作用在物体表面某一小部分上的一平衡力系，只在靠近受力表面处引起局部应力，在离受力表面稍远处的应力，便小得可以忽略不计。例如一根长梁，受一对集中力作用。根据精确解，在y=0的平面上σy的应力分布如图。在离开o点0.5h处，应力就很小了。10§2.6

圣维南原理问题的解应保证弹性体内部各点及边界上的各点均是平衡的。在这种情况下，当面力分量的合力与边界处应力分量的合力相等时，根据圣维南原理，可以认为满足了边界条件。尽管边界上各点的平衡条件不一定成立，仍认为解答是正确解答。所以，当面力改变时，解答也要随之改变。在有些问题中，只知道局部（端部）面力的合力，对面力的分布规律不了解。11§2.6

圣维南原理利用圣维南原理，可以证明：如果作用在物体表面某一小部分上的外力，被作用在同一部分的静力等效的另一组外力所代替，则只引起局部的应力改变，而对较远处的影响可以略去不计。（圣维南原理的另一种形式）12§2.6

圣维南原理利用圣维南原理，可以证明：如果作用在物体表面某一小部分上的外力，被作用在同一部分的静力等效的另一组外力所代替，则只引起局部的应力改变，而对较远处的影响可以略去不计。（圣维南原理的另一种形式）（a）应力，应变都不是局部的。（b）是局部的。对薄壁结构要特别注意：13§2.6

圣维南原理作业：2-5=2-3（第四版），

2-8,2-9（边界条件）=2-9,2-10（第四版）14平面问题基本方程归纳：一、静力方程1）平衡条件：2）应力边界条件：15平面问题基本方程归纳：一、静力方程1）平衡条件：2）应力边界条件：1）几何方程：二、几何方程2）相容方程：3）位移边界条件：16平面问题基本方程归纳：三、物理方程1）平面应力问题：2)平面应变问题:17平面问题的解答是寻求八个方程加上定解条件（边界条件）的定解问题（边值问题）。两组基本未知量1）位移分量：u、v。（应变可由位移确定）2）应力分量：按位移求解：基本未知量：满足平衡方程、应力边界条件。

为连续函数，不存在单元之间位移（变形）的不协调问题，所以相容方程自然满足。按应力求解：基本未知量：内部：满足平衡条件边界：满足边界条件由求出时，应变分量必须满足相容方程。18将平面应力问题的物理方程改写为：§2.7

按位移求解平面问题位移分量u、v是坐标的单值连续函数，变形自然协调。用u、v表示平衡条件，边界条件，然后求解。对于平面应变问题需作变换：1）将平衡微分方程中的应力分量用位移表示19§2.7

按位移求解平面问题将几何方程代入式（2-4’）;将式（a）代入平衡微分方程：20§2.7

按位移求解平面问题将式（a）代入平衡微分方程，化简后，有：按位移求解平面问题的基本微分方程。两个未知量，两个方程。21§2.7

按位移求解平面问题2)将边界条件中的应力分量用位移表示：用位移分量表示的应力边界条件。将式（a）代入应力边界条件：位移边界条件仍为：22§2.7

按位移求解平面问题按位移求解平面问题：应力边界条件。位移边界条件基本方程。对于平面应变问题需作变换：23将平面应力问题的物理方程代入相容方程§2.8

按应力求解平面问题1）平衡微分方程保留2）将变形协调方程用应力表达24将平面应力问题的物理方程代入相容方程,消去E：§2.8

按应力求解平面问题2）将变形协调方程用应力表达化简，使上式只含正应力：由式（2-1）有：25§2.8

按应力求解平面问题2）将变形协调方程用应力表达由式（2-1）有：令有：将式（d）代入式（b）：26§2.8

按应力求解平面问题2）将变形协调方程用应力表达令有：将式（d）代入式（b）：即：27§2.8

按应力求解平面问题将式（d）代入式（b）：即：引入拉普拉斯算子（算符）：平面应力问题中用应力分量表示的相容方程。对于平面应变问题需作变换：28§2.8

按应力求解平面问题引入拉普拉斯算子（算符）：平面应力问题中用应力分量表示的相容方程。对于平面应变问题需作变换：29§2.8

按应力求解平面问题按应力求解平面问题的基本方程为：加上应力边界条件：或：位移边界条件问题一般不能按应力求解。30§2.8

按应力求解平面问题按应力求解平面问题,求出的位移对于多连体，还需要满足“位移单值条件”，用于确定位移函数中的待定项。单连体：只有一个连续边界，在边界上按顺时针或逆时针方向行走时，物体始终在同一侧，右侧或左侧。多连体：有两个及以上的连续（闭合）边界。31§2.8

按应力求解平面问题按应力求解平面问题,求出的位移对于多连体，还需要满足“位移单值条件”，用于确定位移函数中的待定项。单连体：应力分量满足平衡条件连续条件边界条件应力分量就完全确定了。32§2.8

按应力求解平面问题按应力求解平面问题,求出的位移对于多连体，还需要满足“位移单值条件”，用于确定位移函数中的待定项。多连体：多连体的应力分量中可能留有待定常数。而由应力求位移时需通过积分运算。位移中可能会出现“多值项”，即在同一点可以有不同位移。这与实际情况不符合。因为位移是单值连续函数。“位移单值条件”，即要求位移必须单值。因此，多值项必须为零，由此确定应力分量的待定常数。33§2.8

按应力求解平面问题按应力求解平面问题,求出的位移对于多连体，还需要满足“位移单值条件”，用于确定位移函数中的待定项。多连体：应力分量满足平衡条件连续条件边界条件及：位移单值条件单连体多连体34或§2.9

常体力情况下的简化应力函数很多工程问题中，体力分量与坐标无关，为常量。相容方程式(2-10)变为于是，有这是对两种平面问题都适用的相容方程。式（2-11）是拉普拉斯方程，是调和方程，表明是调和函数。35因为所列式中均不包含材料的特性常数，§2.9

常体力情况下的简化应力函数常体力问题，按应力求解平面问题的求解方程：加上边界条件，位移单值条件（多连体）所以，对于单连体的应力边界问题，若弹性体边界形状相同，外力分布相同，则：1）材料不同时，应力分量的分布规律仍相同（应变和位移不一定相同）；2）平面应力和平面应变两种平面问题的应力分量分布规律也相同。36因为所列式中均不包含材料的特性常数，§2.9

常体力情况下的简化应力函数常体力问题，按应力求解平面问题的求解方程：加上边界条件，位移单值条件（多连体）所以，对于单连体的应力边界问题，若弹性体边界形状相同，外力分布相同，则：1）材料不同时，应力分量的分布规律仍相同（应变和位移不一定相同）；2）平面应力和平面应变两种平面问题的应力分量分布规律也相同。这两个结论为实验应力分析提供了极大方便：结论1）表明：可以用易于测量的材料代替实际物体进行实验。（光弹性实验）结论2）表明：可以用平面应力问题的薄板试件代替平面应变问题的长柱形结构进行实验。37关于方程组（a）的解：§2.9

常体力情况下的简化应力函数常体力问题，按应力求解平面问题的求解方程：加上边界条件，位移单值条件（多连体）微分方程式（2-1）是一个非齐次微分方程组（包含有自由项），非齐次全解=(非齐次)特解+(齐次)通解非齐次微分方程的特解可取很多种：从中任取一种，都能满足式(2-1)。或38求齐次微分方程的通解：§2.9

常体力情况下的简化应力函数常体力问题，按应力求解平面问题的求解方程：加上边界条件，位移单值条件（多连体）全解=(非齐次)特解+(齐次)通解非齐次微分方程的特解：从中任取一种，都能满足式(2-1)。或由式(b)中的第一式，有：σx为某一个函数对y求导。必有A(x

y)，使下两式成立：由导数的相容性可知：39§2.9

常体力情况下的简化应力函数求齐次微分方程的通解：由式(b)中的第一式，有：必有A(x

y)，使下两式成立：于是：由式(b)第二式可知：所以，式(b)中的第一式得到满足。必有B(xy)：于是：显然，式(b)中的第二式也得到满足。观察式(d)和(f)！40§2.9

常体力情况下的简化应力函数求齐次微分方程的通解：由式(b)中的第一式，有：必有A(x

y)，使下两式成立：由于：使下两式成立：于是：显然，式(g)得到满足。观察式(d)和(f)！所以，必有存在：应有：将或41求齐次微分方程的通解：§2.9

常体力情况下的简化应力函数常体力问题，按应力求解平面问题的求解方程：加上边界条件，位移单值条件（多连体）全解=(非齐次)特解+(齐次)通解非齐次微分方程的特解：从中任取一种，都能满足式(2-1)。或齐次通解为：42非齐次微分方程的全解：§2.9

常体力情况下的简化应力函数常体力问题，按应力求解平面问题的求解方程：加上边界条件，位移单值条件（多连体）全解=(非齐次)特解+(齐次)通解非齐次微分方程的特解：从中任取一种，都能满足式(2-1)。或齐次通解为：称为应力函数。43非齐次微分方程的全解：§2.9

常体力情况下的简化应力函数常体力问题，按应力求解平面问题的求解方程：式(2-12)相当于平衡微分方程(2-1):不论取什么样的函数，按式(2-12)计算总能使平衡微分方程式(2-1)成立。44非齐次微分方程的全解：§2.9

常体力情况下的简化应力函数常体力问题，按应力求解平面问题的求解方程：式(2-12)的应力分量应满足相容方程(2-11):因fx和fy为常量，求导时不起作用，所以：应力函数应满足的条件：45非齐次微分方程的全解：§2.9

常体力情况下的简化应力函数常体力问题，按应力求解平面问题的求解方程：有：将展开：简记为：式(2-13)为由应力函数表示的相容方程，也就是变形协调方程。是重调和方程。所以，应力函数是重调和函数。46非齐次微分方程的全解：§2.9

常体力情况下的简化应力函数常体力问题，按应力求解平面