函数与极限知识点

关于函数与极限知识点第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期日第一节函数一．函数概念：１．常量与变量：常量：某一变化过程中保持数值不变的量.变量：在某一变化过程中取不同数值的量．一个量是常量还是变量只是相对而言的．例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2(初等数学研究的主要对象)例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量.第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期日２．函数的概念：函数关系——变量之间的依赖关系函数定义：设ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ,都有一个

(或多个)确定的y值与之对应,则称f是Ｘ上的函数.记作：y=f(x)，xX．

ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义域．而所有对应的ｙ值组成的数集Ｙ则称为函数的值域．

第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期日３．函数的表示方法：解析法(如y=f(x))列表法图象法其他函数的表示法解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:cosx-π≤x≤010＜x＜11/xx≥1f(x)=(分段函数)注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数．√第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期日幂函数：ｙ=

xa

指数函数：ｙ=ax对数函数：ｙ=logax三角函数：ｙ=sinx，y=cosx,y=tgx,y=ctgx.反三角函数：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.

二．初等函数：1．基本初等函数：(中学学过的）第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期日2．复合函数：形如：ｙ=f[(φ(x)](u=φ(x))定义:设变量y是变量u的函数,变量u又是变量x的函数即

y=f(u),u=φ(x),如果变量x的某些值通过中间变量u可以确定变量y的值时,则称y是x的复合函数,记作

y=f[φ(x)]

(y—因变量,u—中间变量(既是自变量又是因变量),x—自变量)注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域.②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如:y=f｛φ[ω(x)]｝第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期日例：y=cos(2t+π/3)那么拆成什么形式好呢?▲.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等

函数或是它们的和,差,积,商.√将复合函数拆成简单函数：（重点）例：例：可分解为:y=cosx,x=2t+π/3.或:y=cos2x,x=t+π/6第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期日3．初等函数定义：由基本初等函数经过有限次加，减，乘，除四则运算和

有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数．（注：不用一个式子表示的函数就不是初等函数）问：分段函数是否是初等函数？不是初等函数，但它是一个函数.例：都是初等函数。第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期日第二节函数的极限极限概念的引入:例1.有一变量其变化趋势为:1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...

则该变量的极限是0.(数列极限)第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期日例2.已知圆的半径为R,求圆面积S.解题思路:1.求圆的内接正多边形(正n边形)的面积2.取极限(n→∞时正n边形的面积即为圆的面积)第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期日一.函数的极限:对于函数y=f(x),我们将分别考察以下两种情况的极限:1.自变量x→x0时函数的极限.2.自变量x→∞时函数的极限.x→x0-0时,函数的极限x→x0+0时,函数的极限x→-∞时,函数的极限x→+∞时,函数的极限第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期日1.x→x0时函数的极限:记作: ⑴定义:设函数f(x)在点x0附近有定义(但在x0处可以没有定义),当自变量x以任何方式无限趋近于定值x0时,若函数f(x)无限趋近于一个常数A,就说当x趋近于x0时,函数f(x)以A为极限.注:①仅要求函数在点x0附近有定义,但在x0处可以没有定义.②“自变量x

以任何方式无限趋近于定值x0”是指左趋近和

右趋近

(对于一元函数)

.Axfxx=®)(lim0第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期日⑵.函数的单侧极限:左极限：右极限：x从左侧趋近于x0时产生的极限.记作:x从右侧趋近于x0时产生的极限.记作:第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期日即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在例:右图中的函数f(x)(分段函数)AxfxfAxfxxxxxx===+®-®®)(lim)(lim)(:)(lim00000当且仅当存在的充要条件极限▲.BAxyx0o∵A≠B,即左极限≠右极限∴此函数f(x)在x0处的极限不存在.第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期日2.x→∞时函数的极限:⑴函数在正无限处极限:⑵函数在负无限处极限:⑶函数在正负无限处极限:oxyA第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期日例:对于函数f(x)=arctgx,x→∞时极限是否存在?解:当x→+∞时,f(x)=arctgx→π/2,∴函数极限不存在(当x→∞时).OYxπ/2π-π/2π当x→-∞时,f(x)=arctgx→-π/2.AxfxfAxfxxx===-¥®+¥®¥®)(lim)(lim)(:)(lim当且仅当存在的充要条件极限▲.第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期日极限不存在的几种情形式:1.当x→x0(x→∞)时,f(x)→∞,极限不存在.这时虽然f(x)的极限不存在,但也可记作:2.左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等时,极限不存在.3.当x→x0(x→∞)时,f(x)的变化趋势振荡不定,此时函数极限不存在.第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期日二.无穷小和无穷大.1.无穷小定义:以零为极限的变量就是无穷小量.例:当x→+∞时,1/x的极限为零;注:①称一个函数是无穷小量时,必须指出其自变量的变化趋势.②无穷小量是变量而不是常数0,也不是很小的数(如10-10000)但0可以看成是无穷小量。当x→1时,x-1的极限也是零.第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期日2.无穷大定义:在变化过程中其绝对值无限变大,(无穷大量的变化趋势和无穷小的变化趋势相反)例:当x→0时,1/x的值无限增大;注:①称一个函数是无穷大量时,必须指出其自变量的变化趋势.②无穷大量是变量,而不是一个很大的量.▲.无穷大量,无穷小量是变量,而不是一个确定的量.当x→π/2时,y=tgx的绝对值│y│无限增大.第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期日3.无穷小与无穷大的关系:互为倒数关系例:当x→0时,1/x为无穷大量,而x

为无穷小量.(在同一变化过程中).第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期日4.无穷小定理:定理1.函数f(x)以A为极限的充分必要条件是函数f(x)与常数A之差是一个无穷小量.即limf(x)=A成立的充要条件是:lim[f(x)-A]=0亦即,若函数f(x)以A为极限,若设f(x)-A=α,则α为该极限过程中的无穷小量.第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期日定理2.有限个无穷小的代数和仍为无穷小量.定理3.有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小量.(有界函数:若函数f(x)在某个区间X内满足:A≤f(x)≤B,其中A,B是两个定数,则称f(x)在区间X内有界,A—下界,B—上界).推论1.常数与无穷小量之积仍为无穷小量.推论2.有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量.第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期日5.无穷小的比较

:设α,β为两个无穷小.①若limα/β=0(或limβ/α=∞),则称α是比β高阶的无穷小或称β是比α低阶的无穷小.②若limα/β=k≠0,则称α与β是同阶无穷小.特别地若limα/β=1,则称α与β是等价无穷小.记作:α∽β第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期日即limα/β=0α是比β高阶的无穷小.∞α是比β低阶的无穷小.k≠0α与β是同阶无穷小.1α与β是等价无穷小.

第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期日在求等价无穷小的比值的极限时,可将其中每一个(或仅仅一个)换为与其等价的无穷小.即若α∽α1,β∽β1,则limα/β=limα1/β=limα/β1=limα1/β1注:等价无穷小有一个很有用的性质:例:求解:利用x→0时,ln(1+2x)∽2x得:∽原式==1/2第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期日三.极限的四则运算法则:定理:设在某变化过程中有limf(x)=A,limg(x)=B,则有:①lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B.②lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB③limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B(B≠0)性质:①limC=C(C为常量).②limCf(x)=Climf(x)③lim[f(x)]n=[limf(x)]n(n为正整数).第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期日第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期日第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期日31)1)(1(lim,0,1(:21=-++-=®®xxxxxx原式故不能用极限的商定理)分母的极限为时当解第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期日第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期日对于有理分式函数F(x)=P(x)Q(x)求极限小结如下：⑴当x→∞时①若多项式P(x)的次数低于分母Q(x)的次数,则函数F(x)的极限为0.②若P(x)与Q(x)为同次多项式,则F(x)的极限为p(x)与Q(x)中x最高次幂的系数之比.③若P(x)的次数高于Q(x)的次数,则F(x)的极限为无穷大.第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期日⑵当x→x0时①若分母极限不为0,则可直接应用商定理求出其极限.②若分母的极限为0时,想法消去使分母极限为零的因子,而后用

商定理出其极限.⑶求分式函数的极限时,可能会遇到0/0型,∞/∞型,∞0型等极限,①这时需对分式函数作恒等变换,而后约去公因式,化为可求解的形式.②利用罗必塔法则求解.第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期日四.两个重要极限:第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期日第三节函数的连续性函数的连续性反映在图形上就是：函数曲线是连续而不间断的xyxyoo（连续的）（在x0处间断）x0y=f(x)y=f(x)第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期日一.函数的增量:函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数y就从f(x0)变到f(x1),这时称△x=x1-x0为自变量x的增量,称△y=f(x1)-f(x0)或△y=f(x0+△x)-f(x0)为函数在x=x0处的增量.第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期日函数增量的几何意义:△yf(x0)f(x1)x0x1=x0+△xy=f(x)△xABxyo记作:△y=f(x1)-f(x0)或△y=f(x0+△x)-f(x0)第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期日二.函数的连续点与间断点:1.连续性定义:设函数y=f(x)在点x0及其附近有定义,当x0有一增量△x时,相应地函数也有一增量:△y=f(x0+△x)-f(x0),若则称函数y=f(x)在点x0处连续(并称x0为函数的连续点)若以x=x0+△x代入上式,则有△x→0.则有第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期日于是函数的连续性定义可用以下三种不同的形式给出:)()(lim000xfxxfx=D+®D②)()(lim00xfxfxx=®③①0lim0=D®Dyx(其中△x=x-x0,△y=f(x)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期日连续函数的几何意义:xyoy=f(x)x0(x0,y0)第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期日由定义知:函数y=f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件:①f(x)在点x0及其附近有定义.(要求比极限存在的条件高)2.间断点:不满足以上三个条件之一的点就叫做f(x)的间断点.极限必须存在（即）)(lim0xfxx®②)(lim)(lim00xfxfxxxx+-®®=)()(lim00xfxfxx=®（即该极限等于点x0处的函数值）③第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期日例:举一例说明间断点的第③种情形:ïîïíì==11sin)(xxxfy当x≠0时当x=001sinlim)(lim00==®®xxxfxx解:∵而f(0)=1∴y=f(x)在x=0处不连续.(若定义中x=0时,f(x)=0,则f(x)在x=0处连续)第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期日3.函数的左连续与右连续:4.函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是:①左连续:若函数f(x)在x0点及某一邻域内有定义,且只有则称f(x)在点x0处左连续.)()(lim000xfxfxx=-®(即充要条件为:f(x)在x0点既是左连续又是右连续))(lim)(lim00000xfxfxxxx==+®-®即:②右连续:若函数f(x)在x0点及某一邻域内有定义,且只有则称f(x)在点x0处右连续.)()(lim000xfxfxx=+®第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期日5.连续点与极限的关系:函数在x0点处连续函数在x0处极限存在(回忆极限定义与连续点定义)第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期日解:∵f(x)在点x=3处没有定义.∴点x=3是一个间断点.例:考察函数的间断点.0xyA(3,6)3(虽然极限存在)第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期日2)2(lim)(lim20000-=-=-®-®xxfxx)(lim)(lim0000xfxfxx+®-®¹例:讨论函数ïîïíì-+=212)(22xxxf当x＞0当x=0的连续性.当x＜02)2(lim)(lim20000=+=+®+®xxfxx解:∵∴x→0时,函数的极限不存在.∴x=0点是间断点,而其余点是连续的.0xy+2-2第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期日三.在区间上连续的函数:1.f(x)在开区间(a,b)上连续:如果函数f(x)在开区间(a,b)上每一点都连续,则称函数f(x)在开区间(a,b)上连续.2.f(x)在闭区间[a,b]上连续:如果函数f(x)在开区间(a,b)上连续,且有(即f(x)在左端点处右连续),,(即f(x)在右端点处左连续),则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.

第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期日∴它们在区间(-∞,+∞)上是连续的.例:在区间(-∞,+∞)是否都连续?例:y=2x,y=sinx.在区间(-∞,+∞)是否都连续?∵它们在区间(-∞,+∞)上任一点都是连续的.解:解:∵x=0处函数无定义.∴函数在x=0点处是间断点,即在(-∞,+∞)不是都连续的.第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期日在闭区间上连续函数的两个性质:定理1.(最大值最小值定理)在闭区间上的连续函数在该区间上至少取得它的最大值和最小值各一次.即一段连续曲线必有最高点和最低点.ymaxyminoxyy=f(x)第四十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期日定理2.(介值定理):如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),则对介于f(a)和f(b)之间的任何值C,在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使f(ξ)=C,(a＜ξ＜b).aξ1ξ2ξ3boxycf(a)f(b)其几何意义:连续曲线y=f(x)与水平直线y=c至少相交于一点.第四十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期日特殊地,若f(a)与f(b)异号则连续曲线y=f(x)与x轴