2022年高考数学考前知识点汇总复习(精华版)

先考核考考甫和信点

【集合部分】

1、集合相关观念

(1)集合性质：确定性、互异性、无序性

(2)〃个元素集合有2〃个子集，有2“-1个真子集，有2,「2个非空真子集

(3)空集是任何一个集合的子集，是一切非空集合的真子集

(4)交集“n”；并集“U”；补集“c广”

交：AB<^>{x\xeA,SxGB}并：AB<^>{x\x^A^xGB}补：Ao{xwU,且x任A}

Cu

n,,【函数、导数】

1、函数的单调性

①设七、％€【。,句,"1<”2那么

/⑷-/(4)<。0/(》)在［a，以上是增函数；/(X，-/(%2)>0=/(x)在［。力］上是减函数•

②设函数y=/(x)在某个区间内可导，

若((x)>0，贝!)/(©为增函数；若((x)<0，则/(x)为减函数.

2、'函数的奇偶性(1)定义：对于定义域内任意的x，若/(—x)=/(x),则一⑴是偶

函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数。

(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

奇函数/⑴在原点有定义，则/(0)=0

3、函数的周期性：若/(x+T)=/(x),则T叫做这个函数的一个周期。(差为定值想

周期)

(1)三角函数的最小正周期：兀

y=Asin(cox+(p),y=Acos(o)x+<p):T=271;y=tancox:T=__

MI

4、两个函数图象的对称性(和为定值想对称)

①如果函数y=/Q)对于一■切xeR,都有f(a+x)=/G-x),那么函数y=/Q)的图

象关于直线x=a对称Oy=/(x+a)是偶函数；

②若都有/Q_x)=/G+x)，那么函数y=/Q)的图象关于直线”父±对称；

5、极值、最值(极值点处的导数值为零，最值只在极值点处或端5处)

求函数y=/(x)的极值的方法是：解方程/()=0.当/，(x)=0时：

(7)如果在x附近的左侧(6)〉0，右侧/G)<0,那么/(J)是极大值；

0o

⑵如果在X。附近的左侧尸(x)<0,右侧尸(x)>0,那么/［)是极小值.

6、图象变暖问题°

(1)平移变换：i)y=/(x)fy=/(x±a)，(a>0)------左"+”右“一”；

注)y=/(x)~^y=f(x)±k,(k>0)上"+"下"一"；

(2)对称变换：

i)=f(x)>y=-f(-x)；ii)y=/(x)涮>y=-/(x)；道)

y=/(x)制>y=f(-x)；iv)y=〃x)>X=/(>)；

(3)翻折变换：

1

i)y=f(X)^y=f(\X\]------(去左翻右)丫轴右不动，右向左翻(/㈤在V左侧图

象去掉)；

ii)y=/(X)fy="(X)【------(留上翻下)X轴上不动，下向上翻(|/(幻|在,下面

无图象)；

(4)伸缩变换

i)y=f(X)-y=/(⑼，(3>0)------纵坐标不变，横坐标变为原来的)倍；

co

ii)y=/(x)->y=Af(x)，(A>0)------横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍；

7、函数零点的求法：

⑴直接法(求/(x)=0的根)；⑵图象法；⑶二分法.

⑷零点定理：若y=/(x)在句上满足/⑷./。八。，贝！l.y=/(x)在(凡为内至少有一个

零点。

8、基本运算

(D指数运算：.dn=d>n+n；Cltn+=Clm-n；(。利)”=；3加巾—(4。"

°对数运算：logM+logN=log(MN)；logM-logN=log—;logM〃=〃logM;

aaaaaaNaa

log1=0；loga-\\a\ogah=h?logN_1。，N；loghn=_logb5

aaalogamma

tna

(3)导数运算：①c=0(c为常数)②(物)=心-】；特别地，(囱=J_，(3=，

2jxxX2

③0)=⑥④；(Injc)=_⑤(sinx),=cosx；(cosx),=-sinx

X

@导数的四则运算法则：他土寸=a，土M：㈣，=•+

6导数定义：f(x)在点x处的导数记作।fix+Ax)-/(.<)

6函数在点°)‘LO5X4灯。上点K一

y=f(x)%处的导数的几何意义:函数y=f(X)%处的导数是曲线

=x

y=/(M在P(X,/(X))处的切线的斜率k=/a)，相应的切覆疗程是y~yf()(x-x)•

原函数图象只看升降判增减；导函数图象只看上下定正负

9、二次函数：(1)解析式：①一般式：f(x)=ax2+尿+c；

②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k9(/z,Z)为顶点；③零点式：/⑴=a(x-x)(x-x)(aWO).

⑵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴方程是“_上，顶点坐标是〃b4ac-b2}0

2卜一,\

⑶二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②引称轴；③判别磁坐标

轴交点；⑤端点值

10、指数函数图象

2

（2）值域：（0,+oo）

（3）过点Q1），即X=O时），=1

（4）在R上是增函数（4）在/?上是减函数

(5)x<0时,0〈y〈l;x)0(5)x<0时，y>l;x>0

时,y>l时,0〈y〈l

1)

0

13、正弦、余弦、正切函数的性质:

y=sinxy=cosxy=tanx

卜

卜V.

yyp;J\,

图象u

-0~0¥71

4

定义

{x|x^^+kJt,keZ\

域RR

值域i-iaji-iajR

nx=2&兀,kGZ时,y=1

x=2kn+—keZJff,y=i

fmax

最值23

x=2/at+n9keZ^t,y=-1无

71,mln

x=2E__,AwZ时，y=-l

周期T=2兀T=2兀T=71

性

奇偶奇偶奇

3

性

在上单在［2kn-n,2kn｝上单调

［21兀一］,24兀+：）

单调在上单

调递增递增（E-2■，内c+工）

性22

在上单在［2人再2kit4-71］上单调调递增

kEZ［2A-JI+1,2依+?）

调递减递减

对称轴方程：

对称对称轴方程：*_以无对称轴

71

性x=lot—对称中心把

2对称中心（依+］,0）

\2，U）

keZ对称中心(-0)

【三角函数、三角恒等变换与解三角形】

1、角度制与弧度制的互化：角度+180Ox兀弧度+兀x1800角度

(1)it=180。，1。三，1弧度=(吧)。=57.3O=5718

18071,♦y

（2）圆心角弧度：|a|，;扇形面积公式：S=h-Rsina（+）

11R-------------------12

2、三角函数定义:角a终边上任一点（非原点）P（x,y）,淡他

则：sina=2,cosa=£,tana=2三角函数符号由才字（如疝鞭）cosa(+)

X，

3、诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

4、特殊角的三角函数值

ftitJTft3K

.0ft2jr

67

1

3.0正i9>10

C«W1正20-101

2

tana01730f、〃白0

5、同角三角函数的基本关系：sin2x+cos2x=1；sin'=tanx

COSx

6、两角和与差的正余弦，正切公式：

(cos(a+^)=cosacosB-sinasinI；枷a+B)=sirucof+c(ms呻.,n(a+0)=禺虢繇

aa

[cos()=coscos+sinsin[sin(t-p)=siraco^3-co$xsin(3

tan(a-p)=tana-tanP

1+tanatanp

2tana

7、倍角公式：sin2a=2sinacosa；tan2a=；

1-tan2a

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

1-cos2a,sinacosa=〔sin2a

=（降寨公式）eg一年⑼3=

22

8、辅助角公式：asinx+Z2cosx=J〃2+Z72sin(x+(p)，其中tan(p=?

，a

()=6=><[>=：；"/71・b1nQ

=<P=_»

3a36-a4

4

9、正弦定理a=b=c=2R(2R是AA8C外接圆直径)

sinAsinBsinC

边化角：a=2RsinA,h=2RsinB,c=2RsinC

角化边：sinA=_^_，sinB=_^_»sinC=c

2R2R2R

11、余弦定理：在AABC中，―次+s也“OSA，

拉=e+e-2aoeosB'C2=。2+。2-2a6cosc•

推论：cosA=以型2一*.,B=F———'cosC="2+"-

2bcCOS2ac2ab

12、三角形面积公式：S=-absinC=-/?<?sinA=-acsinB

isABC222

【平面向量】

1>平面向量的坐标运算:设£=(4);)，ci=(x^y)，

①7+方=(尤+尤+y)•②£一万二(x-x-y)•(§)九1（菽,Xy）・

1212Z、12，Z1'/

,,，)，则AB=OB-OA=X-x,y一

A(x,y),B(x(y”产卜代一M）2+3J?

11222121

2、向量的三角形法则与平行四边形法贝灰L…7

^AC+CB=AB（尾首接，首尾连少27/NS'

⑵08-04=AB（同起点，争向期工--J_Ja

aa

3、重要性质：设方=G,y\^=（x,），）-

n±^<=>^-->=O<=>x+y=0②证明平仃:3〃万o"=九-oxy-xy=0

abah

③求向量的模T>2—-④求夹角：为IXX+“221

a=|a|2=x2+y2COS。=_____=।°『？_

1|aI」WJ#+,.我+咚

⑤a.0=xjc+yy;”力=卜|.卜|cos9（9为。与。的夹角）

一"【不等式】

1、均值不等式（一正二定三相等）（积定和最小，和定积最大）

（1》-若a，bGR，<Z2+Z?2*>2ab（当且仅当a=8时等号成立）

若x，>eR+，贝!lx+y?2j^（当且仅当x=y时等号成立）

（2）若a，beR，则必<（a+/?）2<〃2+优（当且仅当4=。时等号成立）

4—2

2、目标函数的类型：（判断出+为+C>0（或<0），观察B的符号与不等式开口的符

号，同上异下，或代点计算）①愉距"型：z=Ar+如②“斜率”型：z/或z=T；

xx-a

③“距离”型：z=X2+y2或Z="尤2+产；z=（x-a）2+（y-与2或Z=J（x_42）2+（y-/?）2.

【数列】

1、数列的通项公式与前n项的和的关系

a=11,（数列｛a｝的前n项的和为s=a+a++〃）

«I5-s,n>2""12n

2、等至薮。的有关性质

(1)定义：a]—a=d(常数)(2)通项公式:a=a.+(n-1)d—a^n-m)d

。前n项布W式：地中(…

3="、1■"i=na+-----------a

212

@若m+n=p+q，那么。+a=a+a6等差中项：2A=a+b；2a=«+at

mnpqn"+1M-1

5

{〃}等差数列，则S,s一s,s-S仍成等差

〃k2kk3k2k

3、等比数列的有关性质

（I）定义:工=g（常数）通项公式：a=aq»-i=aqn-m

an1tn

0前n项和公式：卜q=1

5齐〃。[二伏）=。「。9qx

1

,,I~i-q

辱触赎K+['则⑹等比中项：G2=ab；a2=aa

nn-1〃+1

。3则"—鼻一%仍成等比数列•（qW—l或人为奇数）

【立体几何】

1、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式（利用长方体与正方体模板）

圆柱侧面积=2兀〃，表面积=2献+2”2圆椎侧面积=兀”,表面积=兀〃+口2

v=1s〃（S是底面积、/?是高）v=1s/2（S是锥体的底面积、力是锥体的高）.

柱体3锥归5

球的半径是R,则其体积"雪依，其表面积S=4兀H2.注意：s=2』

v

-3原图形直观图

2、线线位置关系：平行、相交、异面。面面位置关系：平行、相交。

线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。

3、平行的判定与性质

（1）直线与平面平行的判定（2）平面与平面平行的判定

判定定理：平面外一条直线与此平面勺的判定定理：一个平面内的两条相

交直线与

一条直线平行，则该直线与此平面平To另一个平面平行，则这两个平面

彩仃。]a*ca1

»叫一Csb="l

3/

（斗）直线与平面平行的性质（4）平面与平面平行的性质

性质定理：一条直线与一个平面平行则过这性质定理：如果两个平行平面

同时与

条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行第三个平面相交，那么它们的

交线平行_____,

aP]/a-------a/

“斤01b/pbany=a=>ab

anP=IlII[

7、垂直的判定与性质C

BY="II

（5）直线与平面垂直的判定（6）平面与平面垂直的判定

判定定理：一条直线与一个平面内的两条判定定理：一个平面过另一个平

面的一条

相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。垂线，则这两个平面互相垂直。

pm

y-

6

aua

bUOL

m_La

I

mLa'\

mLb

(7)直线与平面垂直的性质定理(8)平面与平面垂直的性质定

理

性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.性质定理：两个平面垂直，则一

直于交线的直线与另一个平面

ac0=耳=

aLb

1、斜率公式：①…(J例甥服点P(x,y)、

P(x,y))

kn&_1=tana|aw—|11i222

x—%[2)

②曲线y=f(x)在点尸(；,J)处的切线的斜率k呼QY

0v00o

2、直线的五种方程(一般两点斜截距)

(1)点斜式丫-7=总-\)(直线/过点平”且斜率为A).

⑵斜截式y=I+8(b为直线/在y轴上而篇距).

⑶一般式Ar+8y+C=0(其中A、B不同时为0).

3、两条直线的平行和垂直

(1)若/：y=kx+b>I：y=kx+h①/||/ak=k,bob②/_L/akk=-1

11122212121251212

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，晕注意斜率的存在与蕊、

(2))若/\Ax+By+C=0\Ax+By+C=0,且A、A、B、B都不为零，

111122221212

(I)////<^AB=A8且(2)/和/相交OA5WA3；

12k2211221121221

(3)/和/重合=A5且3c=BC；Q)/1/oAA+BB=0・

注：①与直线/：4+为+。=0本行的直线可表示为Ax+Bj+C=0；

②与直线/：Ax+8y+C=0垂直的直线可表示为8x-Ay+J=0；

4、距离公式

0平面两点间的距离公式：d=J(x-x)2+(y-y)2(A(x,y)，B[x,J)).

V21211122

0点到直线的距离："JAy44q(点P(x,v),直线/：Ar+3y+C=0

/A2+B20°

<3)平行线Ax+By+C=0和Ax+B)，+C=0的距离公式,l£cSL

11TAZB：

5、圆的方程

(i)标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心S/)；半径厂

(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=Q(D2+E2-4F>^»圆心幺二)；半径「=△-凄”尸

^2^22

7

6、直线与圆的位置关系：直线Ar+By+C-0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2

d>r=相离=△<()；4=7=相切=△=()；

d<r<=>相交oA>0.弦长=2Jr2-d2,其中Q=中+劭+Q.

J-2+B2

7、两圆位置关系：设两圆圆心分别为0,0,半径分别为r»r,po\=d

1212I1

①d>.+qo外离o4条公切线；②d=.+qo外切o3条公切线

③|厂1<d<1+r2Q相交o2条公切线；④d=内切o1条公切线；

⑤0<d<匕-q|o内含。无公切线.

注：①圆山钻线方程：过圆工2+y2=r2上的「广心。)点的切线方程为+y0y=r2；

②圆上的动点到圆外的点或直线的最长距/(［：「)或最短距离(；一J

8、椭圆的几何性质

痴ftAA«Lt在在在ja1

在平科与两个定点4H的距主等于家数入的点“的随迹M中,必1|•幼

■

I3M

眺K$r,

v"X2

标址方程143T(a>b>0)p-4-y-1(4Ab>0)

题用-3<x<iJLa<y^a

A(-aO)、AM0)AJO.-ahA；(Qa)

*2

B"0.孙B.(b.Q]

**¥&=*长率*M=2a

4(Y,0)、K(C,0)।行(0，Y),K(0,c)

在工年上=W港万空中VX的分叁配大；

二■■的住之在J差上=林每方叁4\14为分母较大.

疑|耳£|=左"'=〃_/)

关于加J仙原力对赛

国心平“V1).X-tyWM'iSH.fiLtiAJS

9、双曲线的几何性质

动层P到定点广的侬与毋像6蝠的

取

距离d相藩融3遴.即|"|一〃

总由的as-上自a/j编上

住互传古ySteT对)曲修半轴

在¥■内与两个anF,_玛的龟—Z三的域对色萼2aKAM的*统|"FJ-卜”.|■M

f=2/7i1<p>0>i*=­2/nCp>0)

小；朱

KME此£■^ZI

/苛

标^-y=l(a>Q,fr>0)侬访ao0)

四。3)

苞国x«75«.i>a.yQR工yNa.xsJi住三季小mf)

3点A"-a⑼、AJqO)AJOyj、A、(O,aj

离心率。=1

,长五飞的长=2a1■的长=2。

时建仝关于工时、下无利古•关于良点中£时若对赤性美于i加描

露点元!f0)、八<。0)几("由文F(fiU«E)

后走优月|=2c(a=a-»6K|D2|=2广

»d

导旺岳«川寐口”>I1iY

®^程1e

b,a

线万程》-±三)'-±L您半校阳-%+§问f

3、抛物线的几何性质

动WP到定坐F作鱼!!!”宜力反HT3TM，；

即网;d

JK14ss.，.他负健

「=2户Cp>Q),i:~~2px(j»>0)

汇”

m)u1uL

1n二8

0(0.0)

注：①直线与圆锥曲线相交的弦长公式：|AB|=’⑴.2)［「(”x)24xx］=Z777®

②焦点三角形处理方法：定义+勾股定理+正余定理

③过抛物线焦点的弦长|A8|=x+匕、+£=x+x+P

122212

④若双曲线方程为£1-密=1n渐近线方程：星-接=0=)，=±Lr・

。2。2a

⑤若渐近线方程为八±外。»0=＞双曲线可设为政谣工

【懒阜他计】

1、看图注意纵轴标识

(1)频率分布直方图：(1)频率=空义组距(2)频率是长方形的高(3)频

组距组距

率=频数

一总数

(2;平均数=各长方形底边的中点坐标X各长方形的面积的和：

X=x^py+Xj)2+...+xpn

国微毓鬻辨鬻耦醯辘薮整髓坐标

(5)方差：S2=i_«一矛1+Q-尤\+....+Q_丁)］作用：衡量数据波动程度

n12"

2、回归方程必过定点__=19广松5一，其中—-1X

y=a^bx（京,）»-----------x=-JT,y=-

i2L,r2-nx2〃.1『n；-i

//=1u

a=y-bx2X洌联表

注：①心得知越大，说明残差平方和越小，则模型抵否构越力孑起计

②R2越接近于I,则回归效果越好。VTb•*b

卡方统计量：一此八儿g，其中”〃+〃+，+〃

XJ

(a+b)(c+d)(。+c)(b+d)

随机变量K2越大，说明两个分类变量，关系越强；避,i*b*c-d

古典概型：p(A)=A包含的基本事件的个数；几何概型：P(A)=--事件4的区域长.度一(”面积或体视一

基本事件的总数—全部结果的区域长度(面积或体积)

9

【简易逻辑、复数】

1、逻辑联结词：或（V）,且（A），非（「）

若“A,/为真，当且仅当p、q均为真；若pvq为假，当且仅当p、q均为假;

若「p为真,当且仅当〃为假；

全称命题P*VxGM,p（x）9全称命题P的否定「P*3xGM0

特称命题P：HreM,p（x）；特称命题P的否定「P：VxGM,-ip（x）5

2、原命题：若A，则8;逆否命题：若「B，则Y

命题的否定（非〃）：若A，贝MB（命题的否定条件不否，结论否）

逆命题:

函数—次函数y=Q才2+Z?x+c（〃也c是常数，〃W0）若B，则

图象a>0a<0A；否命

题：若

Y，则

Y（否命

题是条件

和结论全

否）

3、充分与

必要条件

①若

p=q'

qnp，则

p是q的

充分不必

要条件；②若pnq,qnp,则p是4的必要不充分条件

年唐p=>q,q=p，则〃是4的充要条件；④若pnq，q=p,则p是《的既不充分也

不必要条件

4、复数部分：(1)/2=_1,若z=a+bi

①a为实部，b为虚部，|z|=y|a2+b2>其共轲复数z=a-bi

②z=a+Z?i且在复平面内对应的点的坐标为(a,Z?)

(2)若z=a+bi，z=c+di

12

/z+z=(a+c)+(Z?+d)i；z-z=(a-c)+[b-d)i

②；(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad

z•z=(ac-bd)+(ad+bc)i—=____.,、=_________+_________

12z(c+di)(c-di)C2+d2z

2C2+〃2

10

£

\，/0X

0

开抛物线开口I可上，并I可上无抛物线开口I可下，并I可下无限延

口限延伸；伸；

对称

轴

对称轴是x=-上，顶点坐标是（.2,竺士）；

顶2a2a4a

点

性仕河桥相削左侧，即当在对称轴的左侧，即当XV—二

XV_2时，y随X的增大而

时，随的增大而增大；在对

增减2ayx

减小；在对称轴的右侧，即称轴的右侧，即当图时，

性x>—y

质当x>一b时，y随X的增大

随