2021年工程大学高等数学试题及答案

2021年工程大学高等数学试题

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1、z=/（x,y）的偏导数连续是/（x,y）可微的（）.

得分评卷人

（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）无关条件

2、设区域£>={（x,y）|x2+y24],yN0},则“xjf+o如力=（）

11«

(A)1（B）-（C）——（D）0

22

3、下列级数中是条件收敛的为（）.

81(c)w

(A)y(-irin(i+^-)(B)£(-1)"E(-Dcos-(.D).Yei,n——i+”

M«■"=iny[nn=1〃„=in

4、设基级数—在x=—1处收敛，则£〃a,（x-iyi在》=2处（）.

/»=!«=1

（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不能确定

5、通解为y=G，+Ge-2x的微分方程是（）.

(A)y'+y"=O(B)2y'+y"=0

(C)_2y+y'+y”=0(D)y—2V+y“=0

6、二阶微分方程2y"+y'—y=xe”的特解形式为().

(A)y-aex(B)y*-axex(C)y*-(ax+h)ex(D)y*=(ax2+hx+c)e'

二、填空题(每小题3分，共24分)

得分一评卷人1、设/（x+y,x—y）=e'+、’cos（》2—y2）,贝ij/（o,i）=—

2^若^=—j,则d"l(]」』)=.

3^函数〃苍y）=4（尤-y）-%?一），2的极大值点是.

4^更换积分次序/0公/0/'（元,丁）力+/公J。/（x,y）dy=.

5、累级数个二（―1<X<1）的和函数S（x）=.

6、设lim&=」，则基级数之q的收敛半径为___________________

…以/2„=1

7、微分方程盯'+y=xe*的通解为.

8、一阶差分方程-2yx=3/的通解为》=.

三'计算题（每小题7分，共14分）

得分评卷人1、设方程z3-3xyz=l确定隐函数z=z（x,y）,求包，纥

oxdy

【、dzdzd2z

2、设z=八2尤」）eC⑵,求丁，丁,

ydxdydx2

四、计算题（每小题7分，共14分）

28

得分评卷人1、将以下积分化为极坐标形式，并计算积分值：公ax'（x'+V）"%

2、更换积分次序计算二次积分1公，：jiny2dy.

五、计算题（每小题7分，共14分）

、判别级数（）

得分评卷人1£-1"的敛散性，若收敛指出是条件收敛或是绝对收

〃=1

敛.

2、把函数——展开成关于（x+4）的塞级数，并确定展开式成立的范围.

X2+3X+2

六、应用题（每小题8分，共16分）

得分评卷人1、设生产某种产品需要投入两种要素，须和％?分别为两要素的投入量，。为产

出量，且。=2邸4，（其中a、尸为正常数，且1+6=1）,假设两种要素的

价格分别为［和6,试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入

总费用最小？

2、已知某商品的需求量Q对价格P的弹性为Pln3,而该商品的最大需求量为1200（即当P=0时,

2=1200）,求需求函数.

七'证明题（6分）

,,,-----；-----202rd2rd2r2

得分评卷人设i+y+z[证明：*+左+赤=].

答案及评分标准

一、单项选择（共12分，每小题2分）l.A2.D3.B4.B5.C6.C

二、填空（共24分，每小题3分）

1、&；2>dx-dy；3、（2,-2）；4、y）dx；

ri

5^（-A/2,>/2）；6、---；7、y=—［（x-l）"+c］8、"=C2"-3/一61-9

2x-----------------------

三、计算题（共14分，每小题7分）

1>解：令尸（x,y,z）=z?-3到z-l--------（1分）

2

Fx=-3yz9Fv=-3AZ,Fz=3z-3xy---------------------------（3分）

也=F、=yzdz=Fy=xz___________________________

dxF.z2-xy,dyF二z2-xy

2、解：zx=2-f；+-f^------（2分）

y

z,=-比力’-----------（2分）

ZL2（2九〃+工儿”）+乙2以〃+，%"）-----------（2分）=4,+±九"+4%"

yyyyy

-------------（i分）

四、计算题（共14分，每小题7分）

r2afhax-P.f—r2acos0

1.解：J。公］（）（x24-y"）Jy=jr2n-rdr-------------（3分）

71

44

=厂4acosOdO—（2分）

Jo

4431%34

=4a--------=-7ra—（2分）

4224

22

2.解：J；dx^sinydy=J。力［sinydx——（3分）

=J。ysiny1dy-------------（2分）

=^（l-cos4）-------------（2分）

五、计算题（共14分，每小题7分）

1.解:、V(-1/fl-cos-=vfl-cos-

---------------------（2分）

普<nJn)

।111

]]]1-cos—

]_

n—>oo,l-cos----------且lim-------....—lim21（2分）

n2nis“TOO12

n2n2

而之与I攵敛.,•级数列1-COS攵敛

-------（2分）

»=in-„=i<nJ

.••原级数绝对收敛（1分）

2.解：〃x)=—'---------=-1--------------I—

v'x+1x+2-3+X+4-2+X+4

1111

-3.x+4+2\x+4（2分）

1-1---------------

32

1=£x",(-l<x<l)

〃=0

.•/幻=笛（*'+空笥［（-2。+4<2）,一（3分）

②11

=2诃-*•(x+4)”,(-6<%<-2)-------(2分)

"=oLz。一

六、计算题（共16分，每小题8分）

1.解：目标函数/（司,々）=牛|+，（：2在约束条件2_<郊=12下的极值问题

作拉格朗日函数

L（X］，W，4）=耳百+P2x2+4（2玉"xq-12）-----（3分）

4=[+/1.2axK=0

<4=鸟+九2£普叼一|20；.................................(3分)

%=2x*-1220

2.解：依题意，得:—也•二=Pln3--------（3分）

dPQ

分离变量得:a=-ln3dp

Q

两边积分得：Q=二--------（3分）