2022年高考文科数学模拟预热卷（全国Ⅱ卷）

2021届高考文科数学模拟预热卷（全国n卷）

【满分：150分】

-'选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中•只有一

项是符合题目要求的.

1.设A=｛（x,y）|x+y-4=o｝,B=｛（*y）|2x-y-5=。｝,则集合Ac8=（）

A.｛1,3｝B.｛（1,3）｝C.｛（3,1）｝D.0

2.下列角的终边位于第四象限的是（）

A.4200B.860°C.l060°D.l260°

3.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么=4表示的随机试验结果是（）

A.2枚都是4点

B.1枚是1点，另1枚是3点

C.2枚都是2点

D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点

4.等差数列｝中,州+3a8+ai5=120，则2a9-aio的值是（）

A.20B.22C.24D.-8

5.过点A（3,l）和圆（x-2y+y2=1相切的直线方程为（）

A.y=1B.x=3C.x=3或y=lD.不确定

6.已知数列｛q｝的前"项和为S“，且（直-1）号+ah壶（〃€1<）.记a="扁，T”为数列

他｝的前几项和，则使丁>蟹成立的最小正整数为（）

"〃64

A.5B.6C.7D.8

7.执行下面的程序框图，则输出的〃=（）

C.21D.23

8.若直线如+=4和圆0:犬+）P=4没有交点，则过点尸（加,〃）的直线与椭圆

x2y1的交点个数为（）

—+—

94

A.2B.lC.OD.0或1

9.已知对于任意的xeR,都有/（x）="2-x）成立，且/GO在（—/）上单调递增，则不等

式/（唾尸）＞/（-2）的解集为（）

⑶⑶［穿卜

A.I/B.I/CA）D.l）

10.已知A,&C为球O的球面上的三个点，e。为VABC的外接圆，若e。1的面积为

4?t,AB=BC=AC=00,,^0^O的表面积为()

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

11设a=47b=0.3°s,c=log23,则。,仇。的大小关系是（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

12.设函数/(x)=2sin(x+),xcR淇中>0,内兀.若//兀心J(")=0且『⑶的最

1188

小正周期大于2兀，则()

A.=1=兀_D「.=2=—1_1兀_

3123~n

C.=1=-IE__L、).=_1,=_7兀

324324

二'填空题：本题共4小题•每小题5分，共20分.

QJ3

14.记数列也｝的前“项和为S”，若S“=3斯+2〃-3,则数列｛q｝的通项公式为

a„=_□.

x+y-2„0

15.若x,y满足约束条件-x-y+2...0,则z=-lx+y的最大值为.

y...1

16.在下列命题中，真命题有.(填序号)

①若/(x)在(a力)内是增函数，则对任意xe(a,b),都应有f\x)>0;

②若在(“力)内f\x)存在，则/(x)必为单调函数；

③若在3,句内对任意x都有f\x)>0，则/(%)在Q6)内是增函数；

④若可导函数在(a/)内有f\x)<0，则在①力)内有/(%)<0.

三'解答题：共7()分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22•23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(12分)在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为已知

b+c=2a,3csinB=4。sinC。

⑴求cos/?的值；

⑵求si/28+",的值。

I9

18.(12分)某企业销售部门为了解员工的销售能力，设计了关于销售的问卷调查表，从

该部门现有员工中按性别(男生占45%)分层抽取n名进行问卷调查，得分分为123,4,5

五个档次，各档次中参与问卷调查的员工的人数如条形图所示.已知第5档员工的人数占总

人数的」.

5

人数

22.........

jnnilIIr.

12345档次

(1)(i)求〃与"的值；

(ii)若将某员工得分所在的档次作为该员工的销售能力基数网(记销售能力基数与=5为

能力基数高，其他均为能力基数不高).在销售能力基数为5的员工中，女生与男生的比例

为7:3,以抽取的〃名员工为研究对象，完成下面的2x2列联表，并判断是否有90%的把

握认为销售能力基数高不高与性别有关.

男生女生合计

销售能力基数高

销售能力基数不高

合计

(2)为提高员工的销售能力，部门组织员工参加各种形式的培训讲座.经过培训，每位员

工的营销能力指数y与销售能力基数网以及参加培训的次数，满足函数关系式

y=%+(l+x°)fl+』］.如果员工甲的销售能力基数为4,员工乙的销售能力基数为2,则

在甲不参加培训的情况下，乙至少需要参加多少次培训，其营销能力指数才能超过甲？

参考数据及参考公式：In3*1.099,

1=——幽二期-------，其中n=a+h+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

pg*)0.150.100.050.01

k()2.0722.7063.8416.635

->

19.(12分)设双曲线C:，一于=1(a>0)与直线/:x+y=1相交于不同的两点A,B.

a

⑴求双曲线C的离心率e的取值范围；

⑵设直线/与y轴的交点为P，且鼠=)用求实数a的值

12

20.（12分）已知函数/（©ulf+ainx.

2

(1)若〃=-1，求函数“X)的极值，并指出是极大值还是极小值;

(2)若a=1,求函数“X)在［l,e］上的最大值和最小值；

(3)若。=1,求证在区间［1,+8)上函数/(x)的图像在函数g(x)=lx3的图像的下方.

3

21.(12分)如图，在四棱锥P-ABC中，平面P4B_L平面ABCO,四边形ABC。为正方形,

△PAB为等边三角形,E是PB中点，平面AED与棱PC交于点F.

⑴求证：AD//EF；

(2)求证：PB±平面AEFD；

⑶记四棱锥P-AEFD的体积为上四棱锥P-AEF。的体积为匕，直接写出匕的值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做•则按所做的第

一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

{X=cos

xOyCy=2sinC

在直角坐标系中，曲线।的参数方程为I(为参数)，将曲线।经过伸

x1=2x

缩变换后得到曲线G.在以原点为极点，》轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线

/的极坐标方程为cos-sinT0=0.

(1)说明曲线0?是哪一种曲线，并将曲线G的方程化为极坐标方程；

⑵已知点”是曲线G上的任意一点，求点“到直线/的距离的最大值和最小值

23」选修4-5：不等式选讲］(10分)

己知函数/(x)=|2x+l|.

⑴求不等式/(幻41的解集;

⑵若Vx£RJ(x2)Na|H恒成立，求实数a的最大值。

答案以及解析

-'选择题

1.答案：C

\x+y-4=0,fx=3

解析：由《得「，‘故4cB={(3,1)}.

px-y-5=0,|/=1，

2.答案：C

解析：420。=360。+60。，其终边位于第一象限；860。=2x360。+140。，其终边位于第二

象限；1060。=3x360。-20。，其终边位于第四象限；1260。=3x360。+180。，其终边位于

x轴负半轴.故选C.

3.答案：D

解析：B,C中表示的随机试验的结果，随机变量的取值均为4,而D是=4代表的所

有试验结果.故选D.

4.答案：C

解析：因为q+3a8+5。8=120,所以禽=24,所以2%-。|0=4<)+怂-。|0=佝=24.

5.答案：C

解析：由题意知，点A在圆外，故过点A的切线应有两条.

当所求直线斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-3),

即fcr-y+1-3Z=0.由于直线与圆相切，

所以圆心(2,0)到直线的距离2k；3k|=i，解得卜二。,

所以切线方程为y=l.

当所求直线斜率不存在时，直线x=3,也符合条件.

综上，所求切线的方程为x=3或y=l.

6.答案：C

解析：由(盥-1电+4,=血，可知(痣-1~(匿-1)(S,,+LS“)+a,^-a„=0,艮喳“e=

Q〃=l时,(Q-l)a+a=,^,:.a=l,:.a70,二上=三..,.数列｛。｝是以1为首项，以

*II*1n—C”

s-uuaa।iz5-r1

挈为公比的等比数列..•.田=T^T^=|y-1=[•又4=44=孚，，数歹式2｝是

nnZJ+In\/

「“I

以rg期首项，以1为公比的等比数列|.Qr>—,

22"=1-=Q⑵Jj64

/1Y1/1

631

一

叫J

<=I

-J-[”>6.又〃eN*,;."的最小值为7.故选C.

642\2

64

7.答案：C

k=，llL,&eN

解析：由程序框图知$等于正奇数数列L,35的前4项和，其中2，当前

L

,S=l+3+5+L+(2k-l)=[1+(2fc-1)]A：=k2

4项和大于100时退出循环，则2,当上=10时,

S=1(X)；当&=11时，S=121,退出循环.则输出的"的值为2x11—1=21,故选C.

g答案：A

解析：由题意得，圆心到直线的距离为/4,>2,所以〃/+〃2<4.又圆,/+〃2=4内

\Jtrr+rr

22

切于椭圆，所以点P(〃z,")在椭圆5r+广=1内部，则过点P(m,〃)的直线与椭圆

92

♦・L1有2个交点.故选A.

94

9.答案：D

解析：由/(x)=〃2-x),可知>=/(x)的图像关于直线x=l对称.

Q/0)在(7,1)上单调递增，••J(x)在(1,+8)上单调递减，

lo

■1'f(§2x)>/(-2)等价于|log2x-l|<1-2-1^gp-3<log,x-l<3

_<x<16

2<log2x<4tgp4.故选D.

10.答案：A

解析：如图所示，设球。的半径为R,eO1的半径为/■,因为eO|的面积为4冗，所以

4兀=兀/,解得r=2,又AB=BC=AC=OO.,所以一-=1r,解得AB=2忑,故

c；nAH。

。。尸2阴，所以R2=oo；+/=（2y+22=16,所以球。的表面积5=4兀斤=64兀.故

选A.

V\。：二二歹A

11.答案：B

解析：因为。=4°7=214>2,6=0.3心<1/<c=k>g23<2,所以bccca,故选B.

12.答案：A

解析：由题意，,其中kbeZ,所以二3（七一2鬲）二3,又

11&兀+

7r

T=2兀>2兀,所以0<<1,所以=^_,=2kTT+,|i]।/兀得=A.

31121112

二、填空题

13.答案：1

，兀、1+sin2

解析：因为sin：所以•—,得sin2=—

33

(3丫

14.答案：2-⑸

解析：当〃=1时,S=。=3〃一1,解得。=);当2时,S=30+2〃-3,S=3a+2/?-5,

i।।।2nnI

33

两式相减可得,4=3“-3a+2,故“=_4-1,设a+=_(a+),故=-2,即

。-2=3(。-2),故氏-2=3.故数列｛〃一2｝是以-3为首项,3为公比的等比数列故

"2-2222

3(3丫-,”丫

”"一2=»|回，故#=2一目.

15.答案：3

解析：作出满足约束条件的可行域，如图阴影部分所示，作直线/:y=2x,平移直线I,

\x+y-2=Q\x=-1

当直线/过点A时，Z取得最大值，由jy=]，解得jy=]，所以Z取得最大值为

16.答案：③

解析：对于①，可以存在改),使尸(%)=0而不影响区间内函数的单调性，如y=%,①错误;对

于②，导数厂(x)符号不确定，函数不一定是单调函数，②错误;对于③，若在(。力)内对任意x都

有/,(%)>0测f(x)在(a,b)内是增函数，③正确;对于④,f'(x)<0只能得到f(x)单调递减，④

错误.

三、解答题

17.答案：⑴在VABC中，由正弦定理±得

sinBsinC

bsinC=csinB，又因为3csinB=4asin。，月『以3/?=4a。

47

又因为b+c=2a,所以〃=_£/,c=」。

33

由余弦定理可得，

242162

222Q+Q-a

=Q

cosB=a+c-b.夕，~L

24c--不

3

(2)由(1)得sin8=Jl-=^,

4

J\5

从而sin2B=2sinBcosB=---,

8

cos2B=cos2B-sin2B=-

8

(jrAjrjr

故sin|2B+£=sin2Bcos+cos2Bsin=-^5*6-般1•-—34苫7

18.答案：解：(1)(i)由题意，可得7f0=1」，所以n=100,

n5

a=100-(22+20+16+8)=34.

(ii)2x2列联表如表所示.

男生女生合计

销售能力基数高61420

销售能力基数不高394180

合计4555100

100x(6x41-39x14)-

K-=-------------------x2.273<2.706,

45x55x80x20

所以没有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关.

(2)员工甲不参加培训的营销能力指数y„,=4+(1+4(|1+^'-1=14.

i\1+；)|=2+4|i+')|,

员工乙参加，次培训后的营销能力指数以=2+(1+2

<JIJ

由已知得2引1+*5|>’14,即力>3,

-Uln3,f>151n3,t>16.485,

15

所以乙至少需要参加17次培训，其营销能力指数才能超过甲.

19.答案：(1)由C与/相交于不同的两点,

知方程组।有两组不同的实数解,

［尤+y=l

消去y并整理得(1-/)r+24，-2/=0,

卜-〃2

所以4，/,、，解得0<"/且”1.

双曲线的离心率6=』亘=、耳7,

aNa~

因为0<“<血且aw1,所以e>烫且eHJ5,

2

即离心率e的取值范围为屋，川(2,产).

(2)设A(%,y),3(々,%)，由题意知P(0，l)-

uuruur

因为PA=9sP3,

12

所以(x,y—l)=：(x,y-1),所以x=\.

1112221122

因为再,々都是⑴中方程(1-/"+2小—2/=0的根，且1-/。o,

2

172a522"

=

所以X+X=_x=--2»MX2=/X--2»

］21221一。~1221-a

消去X，得-2/?2=他289,因为a>0,所以a="1.7

2l-a26013

20.答案：⑴函数/(x)的定义域为(0,+8),当a=-l时.尸(x)=x」=a+D(x-D令

XX

f\x)=0,得x=1或x=-1(舍去)，

当彳«0,1)时,八»<0,函数〃»单调递减,

当Xw(l,+8)时J'(x)>0，函数/(X)单调递增,

所以/(X)在x=I处取得极小值，极小值为LI无极大值.

2

⑵当a=1时，易知函数/(x)在［1,e］上为增函数，

所以/(x).=fW=-f(x)=/(e)=Le2+1.

r/1

,、Jv/min2max

12

(3)设F(x)=f(x)-^(x)=_JT+Inx--%3(x>1),

23

贝ijF'(X)=X+1-2A2=(1-X)(1+X+2X2)

XX

当x>1时，尸(x)<0,故F(x)在区间(l,+oo)上是减函数.

又因为尸⑴=」＜0,所以尸（x）＜0在区间［1,+8）上恒成立，即f（x）＜g（x）恒成立.因此当

6

。=1时,在区间［1,+00）上函数/（X）的图像在函数g（x）图像的下方.

21.答案：（1）证明因为A8CO为正方形，所以AO//8c.

因为AOU平面PBC,BCu平面PBC,

所以A。//平面PBC

因为AOu平面AEFC,平面AEF£＞n平面PBC=EF、

所以AD//EF

②证明因为四边形ABCD是正方形，所以AD1AB.

因为平面PAB1平面ABCD，平面PABf）平面ABC。=AB,ADa平面ABCD,

所以AO_L平面PAB

因为PBu平面PAB,所以AD1PB

因为△PA8为等边三角形,E是P8中点，所以PBLAE.

因为AEu平面AEFD,A£>u平面AEFD,AEC\AD=A

所以PBJ.平面AEFC

22

V=V=_V