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领悟直线和圆的位置关系安徽李庆社1.直线和圆有哪几种位置关系?直线和圆有三种位置关系.它们是直线和圆相交;直线和圆相切;直线和圆相离.直线和圆的三种位置关系的定义是:(1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.(2)直线和圆有唯一个公共点时,叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.根据定义,容易看出:如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么图1直线和圆的位置关系可以用它们交点的个数来区分,也可以用圆心到直线的距离与半径的大小来区分,它们是一致的.直线和圆的位置关系,可用下表表示.2.怎样判定一条直线是圆的切线?由直线和圆的位置关系可以知道,当直线和圆相切时,直线和圆心的距离等于半径,这就是切线判定的一个定理.这个定理就是:切线的判定定理:经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.应该注意,这个定理包含了两个条件.(1)直线经过半径的外端点;(2)直线垂直于这条半径.这两个条件缺一不可.应该说,判定直线和圆相切的方法有三种:(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)过半径外端和半径垂直的直线是圆的切线.下面举例说明怎样证明一条直线是圆的切线.例1已知:如图2所示,AB是⊙O的直径,AD是⊙O的弦,C是AB延长线上一点,∠A=30°,AD=DC.求证:CD是⊙O的切线.证明:连结OD.∵AD=DC,∠A=30°,图2∴∠C=∠A=30°.∠ADC=180°-30°-30°=120°.∵OA=OD,∴∠ADO=∠A=30°.∴∠CDO=120°-30°=90°.DC经过半径OD的外端,并且垂直于半径OD,因此,CD是⊙O的切线.此例告诉我们,已知点在⊙O上时,则连结这条半径,再证半径和过端点的直线垂直.即“连半径,证垂直”.例2已知:如图3所示,在△AOB中,OC⊥AB于C,AC·BC=OC2,AC=16,BC=4,⊙O半径等于8.求证:AB是⊙O的切线.证明:∵AC=16,BC=4,AC·BC=OC2,∴OC=8=⊙O半径.∵OC⊥AB于C,∴OC=8=⊙O半径,OC⊥AB于C,图3AB经过半径OC的外端,并且垂直于这条半径,所以AB是⊙O的切线.当已知直线和圆的公共点没有确定,则应过圆心作垂线垂直于已知直线,证明圆心到直线的距离等于半径.即“作垂直,证半径”.总之,要证明某直线是圆的切线时,如果已知直线过圆上某一点,则作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径;如果直线与圆的公共点没有确定,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径.一定要根据已
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