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领悟直线和圆的位置关系安徽李庆社1．直线和圆有哪几种位置关系？直线和圆有三种位置关系．它们是直线和圆相交；直线和圆相切；直线和圆相离．直线和圆的三种位置关系的定义是：(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2)直线和圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．根据定义，容易看出：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么图1直线和圆的位置关系可以用它们交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小来区分，它们是一致的．直线和圆的位置关系，可用下表表示．2．怎样判定一条直线是圆的切线？由直线和圆的位置关系可以知道，当直线和圆相切时，直线和圆心的距离等于半径，这就是切线判定的一个定理．这个定理就是：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．应该注意，这个定理包含了两个条件．(1)直线经过半径的外端点；(2)直线垂直于这条半径．这两个条件缺一不可．应该说，判定直线和圆相切的方法有三种：(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端和半径垂直的直线是圆的切线．下面举例说明怎样证明一条直线是圆的切线．例1已知：如图2所示，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，C是AB延长线上一点，∠A=30°，AD=DC．求证：CD是⊙O的切线．证明：连结OD．∵AD＝DC，∠A=30°，图2∴∠C=∠A=30°．∠ADC=180°-30°－30°=120°．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°．∴∠CDO=120°-30°=90°．DC经过半径OD的外端，并且垂直于半径OD，因此，CD是⊙O的切线．此例告诉我们，已知点在⊙O上时，则连结这条半径，再证半径和过端点的直线垂直．即“连半径，证垂直”．例2已知：如图3所示，在△AOB中，OC⊥AB于C，AC·BC=OC2，AC=16，BC=4，⊙O半径等于8．求证：AB是⊙O的切线．证明：∵AC=16，BC=4，AC·BC=OC2，∴OC=8=⊙O半径．∵OC⊥AB于C，∴OC=8=⊙O半径，OC⊥AB于C，图3AB经过半径OC的外端，并且垂直于这条半径，所以AB是⊙O的切线．当已知直线和圆的公共点没有确定，则应过圆心作垂线垂直于已知直线，证明圆心到直线的距离等于半径．即“作垂直，证半径”．总之，要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．一定要根据已

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