专题十六转化与化归思想

专题十六转化与化归思想河南顾东方一、考情分析最新考纲解读高频考点掌握转化与化归的基本类型：正与反、一般与特殊的转化，常量与变量的转化，数与形的转化，数学各知识的转化，相等与不等的转化，实际问题与数学模型的转化.掌握常见的转化方法：直接转化法，换元法，数形结合法，参数法，构造法，坐标法，类比法，特殊化法，一般化方法，等价问题法，加强命题法，补集法.考点高考真题列举202220222022转化为熟悉的形式湖北卷，21新课标全国卷,20天津卷,9正难则反的转化与化归法北京卷,12山东卷22辽宁卷,11抽象向具体转化安徽卷,4天津卷,16福建卷,10空间图形转化为平面图形湖南卷,19天津卷,19安徽卷,18二、知识点再现化归思想，就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解的思想方法.在用化归思想解题时要求我们的思维一定要灵活多样，多联想，多尝试.当然也有一些模式可以遵循，其总的指导思想是化复杂为简单，化未知为已知，常见的化归方法有：（1）换元法：例如利用“换元”将无理式化为有理式，高次问题化为低次问题.（2）数形结合法：把形（数）转化为数（形），数形互补、互换获得问题的解题思路.（3）复数法（向量法）：把问题转化为复数（向量）问题.（4）参数法：通过引参，转化问题的形式，化难为易.（5）建模法：构造数学模型，把实际问题转化为数学问题或把一类数学问题转化为另一类数学问题.（6）坐标法：以坐标为工具，实现“数”、“形”的对应、转化.（7）类比法：类比是指根据两个对象或两类事物间存在着相同或不同的属性，联想到另一类事物也可能具有某种属性的思想方法，一般有特殊向一般类比，抽象向具体类比，低维向高维类比，平行类比.（8）特殊化法：将一般问题特殊化，从特殊问题的解决方法中寻找原问题的解题策略.（9）一般化方法：有时问题的本质特征可能被具体问题所掩盖，需要透过具体问题看到本质，寻找解题思路，这就是一般化方法的解题思想.（10）加强命题法：即把命题结论加强为原命题的充分条件.（11）正与反的转化.（12）函数与方程、不等式之间的转化.（13）空间与平面之间的转化.（14）整体与局部的转化，等等.化归应遵循以下五个原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.三、典例分析考点一、利用换元法转化“换元法”是一种重要的数学方法，通过换元将陌生的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题转化为简单的问题.代数问题三角化，往往可充分利用三角函数的特有性质，使较复杂的问题得以简化，从而获得解答.例1设f(x)=lg，其中a∈R，如果x∈(–∞，1]时f(x)有意义，求a的取值范围.分析：欲使函数f(x)在(–∞，1]上有意义，只需1+2x+4x·a＞0在(–∞，1]上恒成立，令2x=t，进而转化为二次函数问题.解：令2x=t∈(0，2]，则问题转化为at2+t+1＞0在t∈(0，2]上恒成立.设g(t)=at2+t+1，且g(0)=1，∴当a=0时，g(t)=t+1∈(1，3]，满足g(t)＞0；当a＞0时，g(t)的对称轴t=–＜0，此时，图象恒过（0，1）点，∴t∈(0，2]时满足g(t)＞0.∴a＞0时成立.当a＜0时，g(t)的对称轴t=–＞0，只要g(2)＞0即可，即4a+3＞0，解得0＞a＞–.综上所述，a的取值范围是a＞–.反思：本题需要转化为不等式恒成立问题，进而恰当换元转化为二次函数问题，换元后新变元的取值应作相应转化.指数、对数函数常通过换元法转化为二次函数问题，这也是近几年高考的一大热点.变式练习1函数f(x)=（2—sinx）（2—cosx）的最小值为.考点二、利用等价转化有的命题若考虑直接理解，则显得复杂，若把命题化归为它的等价命题再来理解，往往柳暗花明.解题时要注意命题与等价命题的转化，尤其是原命题与逆否命题的转化.例2设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围.分析：设k＝x＋y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题.其中要注意隐含条件，即x的取值范围.解法一：由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2.设k＝x＋y，则y＝k－x，代入已知等式，得x－6x＋2k＝0.即k＝－x＋3x，其对称轴为x＝3.由0≤x≤2得k∈[0,4].所以x＋y的范围是0≤x＋y≤4.解法二：数形结合法（转化为解析几何问题）由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如下图所示椭圆，它的一个顶点在坐标原点.x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0.由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4.变式练习2若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围.考点三、利用立体问题平面化转化立体几何中的有些问题可以转化为平面几何问题来解决.A1C1B1MACBP（图3-1）A1C1B1MACP1BP（图3-2）例3如图3-1，在正三棱柱ABC－ABC中，AB＝A1C1B1MACBP（图3-1）A1C1B1MACP1BP（图3-2）求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）求蚂蚁走过的最短路线的长度.分析：题中蚂蚁直过的路径和点N的位置是“动”的，PN，NM为线段时路径PM最短；点P、M和各侧面及侧棱CC1是“静”的，M与P在不同的侧面内，若能将其化归到同一个面内，就可知两点间的距离最短.解析：（1）沿AA1将正三棱柱ABC－ABC的侧面展开得一个长为９，宽为４的矩形，其对角线长为.（2）如上图3-2，将侧面BBCC绕棱CC旋转120°使其与AACC侧面在同一平面上，点Ｐ运动到点Ｐ的位置，连接MＰ，则MＰ就是由点Ｐ沿棱柱侧面经过棱CC到点Ｍ的最短路线.在Ｒt△MAP１中，由勾股定理得MP１2=（３＋3×）2+22=29，∴MP１=.反思：对于几何中的翻折、对称问题，一般通过抓住题中的动态关系，将动态问题静态化，采用曲直互化，实现将立体问题平面化，解决问题时简捷、直观.变式练习3正四棱锥S–ABCD中，如右图，侧棱长3cm，每个侧面等腰三角形的顶角为30°，一只蚂蚁从A点出发，沿侧面按最短路线绕行一周到达SA的中点M，求蚂蚁在离顶点最近时，它到顶点S的距离.考点四、利用正难则反法转化有些问题从正面入手解答较困难时，如：排列组合、概率问题，通常从其对立面入手，进行正与反的转化，实现问题求解，简化求解过程.例4一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.（Ⅰ）若袋中共有10个球，（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望.（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于.并指出袋中哪种颜色的球个数最少.分析：题中已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率，可先考查其对立事件：没有一个白球的概率，可解出第一问；问题（Ⅱ）看上去很不好做，若抓住“至少得到1个黑球的概率不大于”的对立事件“没有一个黑球的概率为”就可实现转化，再根据单调性进行证明和求解.解：（Ⅰ）（1）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，得到．故白球有5个．（2）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是0123的数学期望．（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，y=，事件B：从袋中任意摸出两个球，至少有一个黑球，则P（）===.上述式随n的增大而增大，且n≥5，∴P（）=，∴P（B）=1-P（）≤.由于P（A）>P(B),则白球比黑球多,黑球个数为，则白球个数多于，红球个数少于，袋中红球个数最少.反思：对于“至多至少”问题，或正面解决较困难的问题，都可以通过正与反的转化，考虑其对立事件，实现问题求解，简化求解过程.变式练习4７封不同的信发往７处不同地址，由于装信封时未经仔细检查，信收到后发现有３封的内容和地址错位，发生这种错误的可能情形种数为（）Ａ.35Ｂ.70Ｃ.105Ｄ.175变式练习答案变式练习1解：（9—2）变式练习2解：题中p的范围是不变的，是已知的；的范围为所求，其值是变化的；随p的变化，的范围也发生了相应的变化，故可整理构建关于p的函数g(p)，以为参数，转化为[0，4]上g(p)与0的大小关系进行求解.令，则要使它对均有，只要有或.反思：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元.在一些题中变更主元，转移变元在问题中的地位，往往能使问题迎刃而解.本题利用主元与次元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.变式练习3分析将侧面沿SA剪开，展开铺平，则蚂蚁行进路线应为右图中直线段AM时最短，由于蚂蚁在行进途中离顶点S最近，则作SH⊥AM，H为垂足，则SH的长即为所求.解：