吉林大学陈殿友线性代数全集

课程的性质

线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。当前1页，总共541页。内容与任务

线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。既有一定的理论推导、又有大量的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动手解决问题的能力。当前2页，总共541页。用途与特点线性代数理论不仅为学习后续课程奠定必要的数学基础，而且在工农业生产如国防技术中有着广泛的应用，是理工科大学生的一门重要的数学基础课。该课程的特点是：公式多，式子大，符号繁，但规律性强，课程内容比较抽象，需要学生具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问题能力和动手解决实际问题的能力。当前3页，总共541页。第一章

行列式

本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法。此外还要介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默（Cramer）法则。当前4页，总共541页。§1阶行列式的定义1、

二元线性方程组一、n阶行列式的引出当前5页，总共541页。用消元法求解，得：

当前6页，总共541页。当时，求得方程组有唯一解：当前7页，总共541页。引入二阶行列式

当前8页，总共541页。方程组的解可以写成：

当前9页，总共541页。

二阶行列式的计算例如当前10页，总共541页。例解二元线性方程组当前11页，总共541页。求解方程当前12页，总共541页。2.三元线性方程组

当前13页，总共541页。用消元法可求得，当时，当前14页，总共541页。三元线性方程组有唯一解：

当前15页，总共541页。其中：

当前16页，总共541页。三阶行列式的定义

当前17页，总共541页。例如三阶行列式的计算-3×5×7-2×4×9-1×6×8当前18页，总共541页。例解三元线性方程组当前19页，总共541页。当前20页，总共541页。3.n元线性方程组

当前21页，总共541页。构造：

当前22页，总共541页。提出三个问题

（1）D=？（怎么算）？（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式是否是当前23页，总共541页。二、全排列及其逆序数1、全排列用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：123，231，312，132，213，321当前24页，总共541页。一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？这是一个全排列问题。从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；在从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法；于是：当前25页，总共541页。2.逆序数对于n个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序）。于是，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了一个逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序数。逆序数是奇数的排列叫做奇排列，逆序数是偶数的排列叫做偶排列。当前26页，总共541页。3.逆序数的计算方法

不妨设元素为1至n个自然数，并规定有小到大为标准次序，设为这个自然数的一个n级排列，考虑元素，如果比大的，且排在前面的元素有个，说这个元素的逆序是个，全体元素逆序之和即是的逆序数，当前27页，总共541页。例如，设排列32514,其逆序数为：

t=1+3+0+1+0=5

当我们把上面排列改为31524，相当于把32514这个排列的第2、4两个数码对换（将一个排列中任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换）。通过计算可知31524的逆序数为t=1+2+0+1+0=4可见排列32514为奇排列，而31524为偶排列，可见一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。当前28页，总共541页。

定义1设有n2个数，排成n行n列的数表三、n阶行列式的定义作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如

的项，其中为自然数1，2，…n，的一个排列，t

为这个排列的逆序数。

当前29页，总共541页。这样的排列共有n!个，所有这些项的代数和称为n阶行列式。记为:也可记为:当前30页，总共541页。行列式的其他定义另一种定义形式为:同理，也可以定义为:当前31页，总共541页。四、几种特殊的行列式（1）

对角行列式当前32页，总共541页。（2）

下（上）三角行列式

当前33页，总共541页。（3）

其中，当前34页，总共541页。

第二讲§2.行列式的性质有了n阶行列式的定义，我们就可以计算n阶行列式，在计算几种特殊行列式的过程中，发现直接用定义计算是非常麻烦。当行列式的阶数较高时，计算是十分困难的，为了简化n阶行列式的计算，我们这一节主要研究行列式的性质。当前35页，总共541页。一.

转置行列式

把行列式的行换成同序数的列而得到的行列式称为原行列式的转置行列式。即

称DT为D的转置行列式．当前36页，总共541页。二．行列式的性质

性质1行列式与它的转置行列式相等.证设当前37页，总共541页。

由此性质可知，行列式的行与列具有相同的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。当前38页，总共541页。

性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。

证设行列式当前39页，总共541页。于是

当前40页，总共541页。推论如果行列式有两行（列）完全相同,则此行列式等于零.

证

把这两行互换，有

D=－D，故

D=0.当前41页，总共541页。证设

D=

性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式。

当前42页，总共541页。故当前43页，总共541页。推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面.例如当前44页，总共541页。性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.例如当前45页，总共541页。性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：即当前46页，总共541页。例如计算当前47页，总共541页。例如性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.当前48页，总共541页。三、用行列式的性质

计算行列式

例1计算当前49页，总共541页。当前50页，总共541页。当前51页，总共541页。例2.

计算当前52页，总共541页。解：当前53页，总共541页。当前54页，总共541页。例3计算当前55页，总共541页。解：从倒数的二行开始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。当前56页，总共541页。同理，可得：当前57页，总共541页。例4计算当前58页，总共541页。解：把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行。当前59页，总共541页。当前60页，总共541页。当前61页，总共541页。§3行列式按行（列）展开

余子式和代数余子式

在n阶行列式中，把元素所在第i行和第j列划去后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式.记作.即的余子式记作.的代数余子式第三讲当前62页，总共541页。中元素的余子式和代数余子式分别为

当前63页，总共541页。

二.行列式按行（列）展开定理

引理设D为n阶行列式，如果D的第i行所有元素除外，其余元素均为零，那么行列式D等于与其代数余子式的乘积，即当前64页，总共541页。

证：设当前65页，总共541页。当前66页，总共541页。当前67页，总共541页。定理1行列式等于它的任一

行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

当前68页，总共541页。证：

当前69页，总共541页。当前70页，总共541页。当前71页，总共541页。类似地.若按列证明，可得当前72页，总共541页。例1.计算

当前73页，总共541页。

当前74页，总共541页。例2计算当前75页，总共541页。解:按第一行展开

当前76页，总共541页。以此作递推公式，即可得当前77页，总共541页。例3证明范蒙得（Vandermonde）行列式

其中记号“Π”表示全体同类因子的乘积.当前78页，总共541页。

所以当n=2时（1）成立.现在假设（1）对于n－1阶Vandermonde行列式，即证:

用数学归纳法.因为当前79页，总共541页。

我们来证明对n阶Vandermonde行列式也成立.当前80页，总共541页。当前81页，总共541页。例4.计算当前82页，总共541页。三、行列式展开定理的推论

推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或

当前83页，总共541页。证:设当前84页，总共541页。把D按第j行展开,有当前85页，总共541页。在上式两端用

代替

得当前86页，总共541页。

同理可证,

显然,等式左端行列式有两行相同,故行列式等于零,即.当前87页，总共541页。综合定理1和推论有

其中

当前88页，总共541页。例5．已知行列式求,其中是D的第4行元素的代数余子式.解：当前89页，总共541页。第一章第四节

§4.克拉默法则一.非齐次线性方程组的克拉默法则(1)设非齐次线性方程组当前90页，总共541页。(3)则线性方程组(1)有唯一解若(1)的系数行列式(2)当前91页，总共541页。即证明：等式成立证明：先证是（1）的解，要证是（1）的解，只须证明（3）满足（1）即可，为此把（1）改写成：当前92页，总共541页。做n+1阶行列式显然.把按第一行展开.需要求出第一行每个元素的代数余子式.第一行元素的代数余子式为:当前93页，总共541页。所以即当前94页，总共541页。再证唯一性.假设也是(1)的解.在(2)两端同时乘以当前95页，总共541页。由于,所以故线性方程组(1)有唯一解(3).当前96页，总共541页。例1.解方程组解:当前97页，总共541页。当前98页，总共541页。

定理2.如果线性方程组（1）的系数行列式D不等于0,则(1)有唯一的解.

定理.如果线性方程组(1)无解或有多个解，则它的系数行列式必为0.于是得原方程组的解为当前99页，总共541页。二.齐次线性方程组的克拉默法则

设齐次线性方程组(4)

若(4)的系数行列式(5)则(4)没有非零解.当前100页，总共541页。.定理.如果齐次线性方程组(4)有非零解,则它的系数行列式必为0。

定理3.如果齐次线性方程组(4)的系数行列式D不等于0,则齐次线性方程组(4)没有非零解.

例2.问在什么条件下,方程组有非零解？当前101页，总共541页。

解：由定理知，若方程组有非零解，则其系数行列式必为零。

所以，当或时，上面方程组有非零解。当前102页，总共541页。例3设非齐次线性方程组问λ

为何值时，该方程组有唯一解，并求其解。解：方程组的系数行列式为（λ+2）显然当λ

≠－2，λ

≠

1时，方程组有唯一解。D=当前103页，总共541页。当前104页，总共541页。当前105页，总共541页。行列式主要知识点网络图概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般项是不同行不同列元素乘积的代数和.●●互换行列式的两行(列)，行列式变号。●某行有公因子可以提到行列式的外面。●若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和，则该行列式可拆成两个行列式.●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。行列式知识点性质当前106页，总共541页。展开计算●行展开●列展开●定义法●递推法●加边法●数学归纳法●公式法●拆项法●乘积法●析因子法●齐次线性方程组有非零解的充要条件●克拉默法则应用当前107页，总共541页。第二章矩阵及其运算§1矩阵一、矩阵概念

定义1.当前108页，总共541页。

为表示它是一个整体,在这数表的两边用大圆括弧把它范围起来，并用大写黑体字母表示:当前109页，总共541页。

例1.某厂向三个商店发送四种产品，其发送的数量和单价及单件的重量都可用矩阵来刻划.

若用表示为工厂向第i店发送第j种产品数量，则矩阵表示了工厂向三个商店发送四种产品的数量.当前110页，总共541页。表示了这四种产品的单价及单件重量.当前111页，总共541页。4213例2.四个城市间的单向航线如下图所示.若令从i市到j市有一条单向航线从i市到j市没有单向航线则图中的航线用矩阵表示为

当前112页，总共541页。

例3.当前113页，总共541页。二、矩阵的表示方法三.几种特殊的矩阵1.方阵当前114页，总共541页。2.上三角矩阵3.下三角矩阵当前115页，总共541页。4.对角矩阵5.单位矩阵当前116页，总共541页。6.行矩阵7.列矩阵8.零矩阵当前117页，总共541页。9.负矩阵10.同型矩阵

两个矩阵的行数和列数分别相同的矩阵称为同型矩阵.11.对称矩阵12.反对称矩阵当前118页，总共541页。§2.矩阵的运算一、矩阵的加法1、定义定义2设有两个m×n矩阵A

B

那末矩阵A与B的和记作A+B,规定为A+B=矩阵的减法：A–B=A+(－B)当前119页，总共541页。2、运算律矩阵的加法满足下列运算规律设A、B、C都是m×n矩阵:1）

A+B=B+A2）（A+B）+C=A+（B+C）3）A+（－A）=A－A=0二、数与矩阵相乘1、定义定义3数λ

与矩阵的乘积,记作λA

或Aλ,规定为λA

=Aλ=当前120页，总共541页。2、运算律

数乘矩阵满足下列运算规律设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数：

2）（λ

＋μ

)

A

=

λ

A+

μA；1）（λμ）A=λ

(

μA)

3）λ

(

A

+

B

)

=λA

+

λB

这样定义矩阵加法和数乘矩阵的运算，统称为矩阵的线性运算.当前121页，总共541页。三、矩阵与矩阵相乘1、定义定义4设A=（aij)m×s

,

B=(bij)s×n矩阵，那末规定矩阵A与矩B的乘积是一个m×n矩阵C=(c

ij)m×n。其中即A×B=C.当前122页，总共541页。注意：当前123页，总共541页。例1.求矩阵A=B=与的乘积AB当前124页，总共541页。

C＝AB解：＝当前125页，总共541页。例2.设矩阵A=B=求AB与B×A。当前126页，总共541页。AB=解：BA=当前127页，总共541页。2.运算律

1)矩阵的乘法一般不满足交换律

2)（AB）C

=A（BC）

3)λ(AB)=(λA)B=A(λ

B),(其中λ为数);4)

A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA当前128页，总共541页。3.设E为单位矩阵EA=AE=A或简写成当前129页，总共541页。4、方阵的幂运算设A为n阶方阵.k,l为正整数当前130页，总共541页。如A×B

其中是向第i店所发产品的总值,是向第i店所发产品的总重量。C表示为向三个商店所发产品的总值及总重量所构成的矩阵。当前131页，总共541页。

则A2表示从i市经一次中转到j市的单向航线的条数构成的矩阵。又如1243当前132页，总共541页。四、矩阵的转置1、定义

定义5把矩阵A的行换成同序数的列得到的矩阵,叫做A

的转置矩阵,记作AT。例如当前133页，总共541页。2.运算律当前134页，总共541页。这里仅证明4）设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n

。AB=C=(cij)m×n，BTAT=D=(dij)n×m。显然，要证明（AB)T=BTAT,只须证明cji=dij

即可。当前135页，总共541页。因为当前136页，总共541页。例3.已知求(AB)T。当前137页，总共541页。解法1：因为AB=当前138页，总共541页。解法2：当前139页，总共541页。

有了转置矩阵的定义后，显然有A为对称矩阵，A为反对称矩阵，当前140页，总共541页。例4试证任意n阶方阵都可分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。证由于A=½(A+A+AT－AT)=½(A+AT+A－AT)故A等于对称矩阵与反对称矩阵之和。当前141页，总共541页。例5：设列矩阵X=满足XTX=1，E为n阶的单位矩阵，H=E－2XXT,证明H是对称矩阵，且HHT=E。当前142页，总共541页。证明:所以H是对称矩阵.当前143页，总共541页。当前144页，总共541页。五、方阵的行列式1、定义

定义6由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或detA。当前145页，总共541页。2、运算律当前146页，总共541页。我们仅证明3），设A=(aij),B=(bij)。记2n阶行列式D=当前147页，总共541页。显然，D=|A||B|,而在D中以

b1j乘第1列，b2j乘第2列，…，

bnj乘第n列,都加到第n+j列上（j=1,2,…

,n),有D=当前148页，总共541页。其中C=(cil),cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj,故C=AB。再对D的行作rj↔

rn+j（j=1,2,…,n），有从而有D=(－1)n|－E||C|=(－1)n(－1)n|C|=|C|=|AB|。于是|AB|=|A||B|当前149页，总共541页。

例6：设A,B均为n阶方阵且证当前150页，总共541页。例7设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，则AB+BA是

n阶反对称矩阵。证(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=－BA－AB=－（AB+BA）所以，AB+BA为n阶反对称矩阵。当前151页，总共541页。例8设令A=αβT,求An

及|An|。解当前152页，总共541页。An

=(αβT)n

=αβTαβTαβT

…αβT=3n-1A|An

|=|3n-1A|

=(3n-1)n|A|

=0当前153页，总共541页。六、共轭矩阵1、定义

定义7设A=为复矩阵，表示的共轭复数，记则称为A的共轭矩阵。当前154页，总共541页。2.运算律

设A、B为复矩阵，λ为复数.当前155页，总共541页。七、可换矩阵及方阵多项式1、可换矩阵设A、B均为n阶方阵，若AB=BA，则称是可换的。例9设若矩阵A与B可交换，求a,b的值。解由于AB=BA，即当前156页，总共541页。故a=8,b=6。当前157页，总共541页。例10设求与A可交换的所有矩阵。解设当前158页，总共541页。于是从而x2=2x2,x3=3x3,2y1=y1,2y3=3y3,3z1=z1,3z2=2z2,当前159页，总共541页。即x2=x3=y1=y3=z1=z2=0,所以，与可交换的任一矩阵是其中a，b，c为任意实数。当前160页，总共541页。2、方阵多项式设有n阶矩阵A和多项式f(λ)=amλm+am-1λm-1+…

+a1λ+a0规定f(A)=amAm+am-1

Am-1+…

+a1A+a0称f(A

)为方阵A的矩阵多项式。例11设有多项式f(λ)=λ2－3λ

+

2和矩阵求矩阵多项式f(A)。当前161页，总共541页。解因为当前162页，总共541页。则f(A)=A2－3A

+

2E当前163页，总共541页。练习：1.计算下列矩阵的乘积.2.当前164页，总共541页。第七讲§3.逆矩阵一.逆矩阵

定义8.设A为n阶方阵，如果有一个n阶方阵B，使AB=BA=E,则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵.A的逆记之为A-1.当前165页，总共541页。二.逆矩阵是唯一的.

证明：设B和C都是A的逆矩阵，则B=BE=B(AC)

=(BA)C=EC=C所以A的逆矩阵是唯一的.当前166页，总共541页。三.逆矩阵的有关定理

定理1.方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0,且其中

称为A的伴随矩阵.A*中元素是A的所有元素的代数余子式.当前167页，总共541页。证明：

必要性:因为A可逆，则有,使

当前168页，总共541页。充分性:由于当前169页，总共541页。同理所以因为所以由定义，知当前170页，总共541页。推论：若AB=E(或BA=E），证明：故因而存在，于是当前171页，总共541页。运算律1）若A可逆，则亦可逆，且2）若A可逆，数

，则λA可逆，且3）若A,B为同阶的可逆矩阵，则AB也可逆，且证明：由推论，即有(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1当前172页，总共541页。4)若A可逆，则也可逆，证明：所以当前173页，总共541页。

注1：当|A|≠0时，k为正整数，λ，μ为整数，有A为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵，A为不可逆矩阵，也称为奇异矩阵.

4)(Aλ)μ=Aλμ当前174页，总共541页。四.逆矩阵的应用例1.解矩阵方程解：设则上式变成:AXB=C当前175页，总共541页。当前176页，总共541页。例2.设求（E+B）－1当前177页，总共541页。解:由即(E+A)(E+B)=2E当前178页，总共541页。

例3.设A，B均为n阶方矩阵，若E－AB可逆，则E－BA也可逆，并求:证明：A－ABA=A－ABA

(E－AB)A=A(E－BA)所以

当前179页，总共541页。又因为E=E－BA+BA所以E－BA可逆,且=[E－B(E－AB)-1A](E－BA)当前180页，总共541页。五、几个常用的公式1)AA*

=A*A

=|A|E2)A*=|A|A-13)|A-1|=|A|-1|λA|=λn|A|5)(λA)-1=λ-1A-1例4若|A|≠0,试证（1）|A*|=|A|n-1;（2）(A*)-1=(A-1)*(3)(A*)T=(AT)*;（4）(A*)*=|A|n-2A;（5）(kA)*=kn-1A*。证（1）|A*|=(2)(A*)-1=(3)(A*)T=||A|A-1|=|A|n|A-1|=|A|n-1;(|A|A-1)-1=|A-1|(A-1)-1=(A-1)*;(|A|A-1)T=|AT|(A-1)T=|AT|(AT)-1=(AT)*当前181页，总共541页。(A*)*=

|A*|(A*)-1=|A|n-1(|A|A-1)-1=|A|n-2A(5)(kA)*=|kA|(kA)-1=kn|A|k-1A-1=kn-1|A|A-1=kn-1A*当前182页，总共541页。例5设矩阵A、B满足A*BA=2BA–8E,其中求B。解由于|A|≠0，所以A可逆，在A*BA=2BA–8E的两边分别左乘A，右乘A-1得|A|B=2AB－8E即2AB+2B＝8E当前183页，总共541页。从而有AB+B＝4E故B=4(A+E)-1

当前184页，总共541页。作业:1.解矩阵方程2.设方阵A满足证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-13.设AB=A+2B,求B.当前185页，总共541页。

§4.分块矩阵第八讲一、分块矩阵的定义

把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖线分成若干小块,每一小块都叫做矩阵的子块,以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.当前186页，总共541页。例如：将3×4矩阵分块形式如下：当前187页，总共541页。当前188页，总共541页。当前189页，总共541页。

二、分块矩阵的运算1、分块矩阵的加法：同型矩阵,分法相同,对应子块相加.设A和B均为m×n矩阵,分法下:当前190页，总共541页。其运算律与矩阵的加法相同.当前191页，总共541页。2.分块矩阵的数乘设分块矩阵λ为数，那末其运算律与数乘矩阵相同.当前192页，总共541页。3.分块矩阵的乘法.

设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成当前193页，总共541页。其中当前194页，总共541页。例1.设求AB.当前195页，总共541页。解：把A,B分块成当前196页，总共541页。所以AB＝当前197页，总共541页。其中于是当前198页，总共541页。4.分块矩阵的转置设分块矩阵则当前199页，总共541页。5.分块对角矩阵（准对角矩阵）.设其中显然当前200页，总共541页。若则,所以当前201页，总共541页。例2.设解：当前202页，总共541页。所以当前203页，总共541页。例3设A的伴随矩阵且ABA-1=BA-1+3E,求矩阵B。解由|A*|=|A|n-1,有|A|3=8,得|A|=2。在ABA-1=BA-1+3E的两边左乘A*，右乘A得2B=A*B+6E

即(2E－A*)B=6E当前204页，总共541页。

B=6(2E－A*)-1由于2E－A*＝(2E－A*)-1=所以故当前205页，总共541页。因此当前206页，总共541页。6.分块矩阵的应用

设A为m×n矩阵，将A按行分块，得

其中是A的第i行.将A按列分块,得A=（β1，

β2，…，

βn）.当前207页，总共541页。其中βj

(j=1,2,…,n).是A的第j列.对于线性方程组当前208页，总共541页。A=X=b=B=记当前209页，总共541页。

其中A称为系数矩阵,x称为未知向量,b称为常数项向量,B称为增广矩阵,记为:

利用矩阵的乘法,此方程可记为:Ax=b或B=(A,b)=(β1,β2,…

,βn,b)当前210页，总共541页。

按行分块矩阵,Ax=b又可写成:即αiTx=bi(i=1,2,…,m).当前211页，总共541页。

按列分块矩阵,Ax=b又可写成即x1β1+x2β2+…+xnβn=b当前212页，总共541页。概念特殊矩阵

m×n个数aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

构成的数表单位距阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零的n阶方阵对角矩阵:主对角元素是其余元素都是零的n阶方阵对称矩阵:距阵主要知识网络图AT=A反对称矩阵:AT=－A矩阵当前213页，总共541页。运算A+B=

(aij+bij)kA=(kaij)AB=C其中A与B同型的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必须是方阵.伴随矩阵

n阶行列式的|A|所有元素的代数余子式构成的矩阵AT:AT当前214页，总共541页。逆矩阵概念求法证法如果AB=BA=E,则A可逆，B是A的逆矩阵.用定义用伴随矩阵分块对角矩阵|A|

≠0,A可逆.|A|=0,A不可逆.AB=E,A与B互逆反证法当前215页，总共541页。作业1.利用逆矩阵解线性方程组:2.设当前216页，总共541页。

3.设n阶矩阵A和s阶矩阵B都可逆,求当前217页，总共541页。第三章矩阵的初等变换与线性方程组§1矩阵的初等变换一.引例求解线性方程组(1)①②③④当前218页，总共541页。(1)÷123(2)(2)(3)321314－+－2++－3①②③④①②③④2当前219页，总共541页。(3)2×1/23+524－32(4)(4)34－23+4（5）①②③④①②③④当前220页，总共541页。于是得

其中x3可任意取值，或令x3=c这里c为任意常数.则方程组可记为：x

=x=即当前221页，总共541页。把上面方法加以数学抽象B=（A

b)=称为方程组（1）的增广矩阵.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换.当前222页，总共541页。二.矩阵的初等变换

定义1下面三种变换称为矩阵的初等变换:(1)对调矩阵的两行(列);(2)以数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素;(3)把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到另一行(列）对应的元素上去;

※矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换.当前223页，总共541页。

显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:(1)对换变换的逆变换就是其本身;(2)倍乘变换的逆变换为;(3)倍加变换的逆变换为;※如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作A∽B.※矩阵之间的等价关系具有下列性质：（1）反身性A∽A（2）对称性若A∽B，则B∽A；（3）传递性若A∽B，B∽C，则A∽C.

※两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价。当前224页，总共541页。三.矩阵初等变换的应用例1.解线性方程组

解对方程组的增广矩阵B施以行初等变换当前225页，总共541页。～～～～～当前226页，总共541页。从而得等价的方程组取为自由未知量,并令,即得x其中c为任意常数。当前227页，总共541页。1)行阶梯形矩阵：2)行最简形矩阵：

※一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.要解线性方程组,只须把增广矩阵化为行最简形矩阵.当前228页，总共541页。3)矩阵的标准形～对于任何m×n

矩阵A,总可经过初等变换把它化为标准形.当前229页，总共541页。

此标准形由m、n、r

三个数完全确定,其中r

就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成的集合,称为一个等价类,标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵.例2设求A的标准形。当前230页，总共541页。解:～～～当前231页，总共541页。～～～～当前232页，总共541页。～～

※任何的可逆矩阵都等价于同阶数的单位阵.当前233页，总共541页。练习把下列矩阵化为行最简形矩阵:当前234页，总共541页。§2矩阵的秩

定义2在m×n矩阵A中,任取k行与k列（k≤m，

k≤n），位于这些行和列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。m×n矩阵A的k行与k列子式共有个。一、矩阵秩的定义当前235页，总共541页。例如注意：在A中存在1阶和2阶的非零子式，但3阶和4阶子式全部为零。当前236页，总共541页。定义3设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称为矩阵A的最高阶非零子式.数r称为矩阵A的秩，记作。注意显然有特别的规定当前237页，总共541页。例1求下列矩阵的秩．解在A中，容易看出：一个2阶子式，A的3阶子式只有一个|A|，经计算可知｜Ａ｜＝０,因此Ｒ（Ａ）＝２.当前238页，总共541页。解Ｂ是一个阶梯形矩阵，其非零行有３行，故可知Ｂ的所有４阶子式全为零。而以三个非零行的第一个非零元素为对角元的３阶行列式因此Ｒ（B）＝３当前239页，总共541页。二、矩阵秩的相关定理定理１若Ａ～Ｂ，则Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．证明先证明：若Ａ经过一次初等行变换变为Ｂ，则Ｒ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ）．设Ｒ（Ａ）＝ｒ，且Ａ的某个ｒ阶子式Ｄｒ≠０,当或，在Ｂ中总能找到与Ｄｒ相对应的由于或或当前240页，总共541页。因此，从而Ｒ（Ｂ）≥ｒ当，分三种情况讨论：①Ｄｒ中不含有第i行;②Ｄｒ中同时含有第i行和第j行;③Ｄｒ中含有第i行，但不含有第j行.对①和②两种情况，显然Ｂ中与Ｄｒ对应的子式，故Ｒ（Ｂ）≥ｒ；当前241页，总共541页。对于③，由若,则因中不含有第i行，可知Ａ中有不含第i行的ｒ阶非零子式，从而Ｒ（Ｂ）≥ｒ；若,则，故也有Ｒ（B）≥ｒ.当前242页，总共541页。以上证明了若Ａ经过一次初等行变换为Ｂ，则Ｒ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ），由于Ｂ亦可经过一次初等行变换变为Ａ．故也有Ｒ（Ｂ）≤Ｒ（Ａ）．因此Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）。经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次初等行变换时，矩阵的秩依然不变。同理可证：Ａ经过有限次初等列变换，变成矩阵Ｂ，则有Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．总之，若Ａ经过有限次初等变换变为矩阵Ｂ，则有Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．当前243页，总共541页。如在例1中，我们已经计算的秩为2，将A施行初等变换得显然，R(B)=2,故R(A)=R(B)。通过上面定理的证明和上面秩的计算，以后求矩阵的秩，只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可。当前244页，总共541页。三、求秩．例２设求矩阵Ａ的秩．并求Ａ的一个最高阶的非零子式.当前245页，总共541页。

解先求Ａ的秩。故对Ａ作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：当前246页，总共541页。因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以R(B)=3。从而R(A)=3。当前247页，总共541页。A的一个最高阶非零子式为：设A为n阶可逆矩阵，则|A|≠0,从而R(A)=n，称A为满秩矩阵。若A为n阶不可逆矩阵，则|A|＝0,从而R(A)<

n，称A为降秩矩阵。当前248页，总共541页。例3设求矩阵A及矩阵B=（A|b）的秩。当前249页，总共541页。解因此，R(A)=2,R(B)=3.当前250页，总共541页。例4设若秩R(AB+B)=2，求a。解因为

AB+B=(A+E)B当前251页，总共541页。将所得的矩阵施以初等变换得当前252页，总共541页。由于R(AB+B)=2，所以12－a＝0。故a

=12。当前253页，总共541页。复习1、初等变换2、用初等变换求矩阵的秩设求R(A)和R(A┆b)。当前254页，总共541页。§3线性方程组的解一、线性方程组解的存在性-定理2

n元齐次线性方程组Am×nx=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)＜n.证明：先证必要条件．设方程组Ａx＝０有非零解。（用反证法）假设Ｒ（Ａ）＝n，则在Ａ中应有一个n阶非零子式Ｄn，从而Ｄn所对应的n个方程只有零解（根据Ｃramer法则）。这与方程组有非零解相矛盾。因此Ｒ（Ａ）＝n不能成立。故有Ｒ（Ａ）＜n．当前255页，总共541页。再证充分性。设Ｒ（Ａ）＝r＜n，则Ａ的行阶梯形矩阵只含有r个非零行，从而知：其有n－r个自由未知量。任取一个自由未知量为1，其余的未知量都为零，即可得到方程组的一个非零解。当前256页，总共541页。定理３

n元非齐次方程组Ａx＝ｂ有解的充分必要条件是系数矩阵Ａ的秩等于增广矩阵Ｂ＝(Ａ,ｂ)的秩。

证明必要性。设方程组Ａx＝ｂ有解，要证R(A)=R(B)。（反证法）设R(A)＜R(B),则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1，这与方程组有解矛盾。因此R(A)=R(B)。当前257页，总共541页。充分性。证明方程组有解。设R(A)=R(B)=r(r≤n),把B化为行阶梯形矩阵，则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行。把这r个非零行的第一个非零元素所对应的未知量作为非自由的未知量，其余n－r个作为自由未知量，并令n－r个自由未知量全取零。即可得方程组的一个解。注意：1）当R(A)=R(B)=n时，方程组没有自由未知量，故只有唯一解。2）当R(A)=R(B)=r<

n时，方程组有n－r个自由未知量，故有无穷多解。当前258页，总共541页。线性方程组的解题步骤：1)Ax=0只要把它的系数矩阵化为行的最简形矩阵，把以行最简形矩阵中非零行的第一个非零元1为系数的未知数留在等号左端，其余的移到等号的右端，再表示成通解.2）Ax=b

只要把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵，由定理3，判断它是否有解。若有解，则对增广矩阵进一步化成行最简形矩阵。把行最简形矩阵中非零行第一个非零元素1为系数的未知数留在等号左端，其余均移到等号右端。再表示成通解。二、线性方程组的解法当前259页，总共541页。例1求解齐次线性方程组解对系数矩阵A施以初等行变换为行最简形矩阵:当前260页，总共541页。即得到与原方程组的同解方程组即x3,x4可以任意取值.当前261页，总共541页。令x3=k1,x4=k2,把它写成参数形式其中k1,k2,为任意实数。当前262页，总共541页。其解亦可表为向量形式当前263页，总共541页。例2求解非齐次线性方组解对增广矩阵B实施行的初等变换当前264页，总共541页。可见，R(A)=2,R(B)=3.故方程组无解。当前265页，总共541页。例3求解非其次线性方程组解对增广矩阵B实施行的初等变换当前266页，总共541页。显然，R(A)=R(B)=2＜4，所以原方程组有无穷多解，且具有下列同解方程组：当前267页，总共541页。即故

k1,k2为任意常数。当前268页，总共541页。k1,k2

为任意常数。写成向量形式当前269页，总共541页。例4设有线性方程组问

λ

取何值时，此方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时，求其通解。当前270页，总共541页。解对增广矩阵B=（A|b）实施行的初等变换:当前271页，总共541页。当前272页，总共541页。1）当

λ≠0,且λ≠－3时，Ｒ(A)=R(B)=3,方程组有唯一解;2)当λ=0时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解；3)当λ=－3时,R(A)=R(B)=2,方程组有无穷多解.当前273页，总共541页。当λ=-3时，得同解方程：即当前274页，总共541页。§4初等矩阵一、初等矩阵的概念定义４由单位矩阵Ｅ经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。当前275页，总共541页。１．对调两行（列）．第i行第ｊ行当前276页，总共541页。２．以数ｋ≠０乘以某行（列）第i行当前277页，总共541页。３．以数k乘以某行（列）加到另一行（列）上去．第i行第ｊ行当前278页，总共541页。注意：初等方阵是可逆矩阵，且其逆矩阵仍然是初等方阵。当前279页，总共541页。例１．设计算：当前280页，总共541页。解：当前281页，总共541页。当前282页，总共541页。当前283页，总共541页。二、初等方阵的有关定理定理４．设Ａ是一个m×n矩阵，对A实施一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A实施一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。当前284页，总共541页。定理5.设A为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵，使

Ａ＝证：因为，故Ｅ经过有限次初等变换可变成Ａ，也就是说，存在有限个初等矩阵使即当前285页，总共541页。推论：m×n矩阵Ａ～Ｂ的充分必要条件是：存在m

阶可逆矩阵Ｐ及n阶可逆矩阵Ｑ，使ＰＡＱ=Ｂ．当前286页，总共541页。三、用初等矩阵求逆矩阵故即所以当|A|≠

0，由1、利用初等变换求逆当前287页，总共541页。例2.设求解当前288页，总共541页。所以当前289页，总共541页。注意：亦可利用矩阵的初等列变换求解逆矩阵.事实上：因为所以当前290页，总共541页。2、利用矩阵的初等行变求解矩阵方程.事实上，对于若A可逆，则有对应于：即当前291页，总共541页。例3.设AX=B,求X.其中解若可逆，则当前292页，总共541页。所以当前293页，总共541页。同理亦可求解矩阵方程若可逆，则有即当前294页，总共541页。例4.设A的伴随矩阵且有求B.解:在两边左乘右乘A，得当前295页，总共541页。即因为而从而有（*）故（*）式可改写为即所以当前296页，总共541页。当前297页，总共541页。第三章小结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等换初等方阵矩阵的秩线性方程组当前298页，总共541页。矩阵的初等变换概念1.对换矩阵的i,j两行（列）.2.用k≠0乘矩阵的第i行（列）.3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的对应元素上去.性质1.初等变换不改变矩阵的秩.2.对A经过有限次初等变换得到B，则A等价B.用途求逆，

求矩阵A的秩、最简型、标准形.当前299页，总共541页。初等方阵性质初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同种的初等矩阵.对Am×n矩阵实施一次行初等变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等方阵；对A实施一次列初等变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等方阵.任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方阵的乘积.概念对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.三种初等变换对应三种初等方阵.当前300页，总共541页。矩阵的秩概念k阶子式.秩：矩阵非零子式的最高阶数.性质零矩阵的秩为零.R(A)=R(AT)若B可逆，则R(AB)=R(A).R(A+B)≤R(A)+R(B)R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB)≥R(A)+R(B)-n若AB=0,则R(A)+R(B)≤n当前301页，总共541页。线性方程组有非零解R(A)<n.求解1.化系数矩阵为最简形.2.找等价的方程组.3.写通解.有解R(A)=R(B).求解1.把增广矩阵B化为最简形.2.找等价的方程组.3.写通解.当前302页，总共541页。

Ax=0解的结构Ax=0有唯一零解R(A)=r=n.Ax=0有无穷多个非零解R(A)=r<n.其通解可表为：为方程组的基础解系.其中当前303页，总共541页。Ax=b解的结构Ax=b无解R(A)≠R(B)Ax=b有解R(A)=R(B)=r1）当r=n时，方程组有唯一解.2）当r<n时，方程组有无穷多解.且其通解可表为：其中为方程组对应的导出组的基础解系.为方程组的一个特解.当前304页，总共541页。第四章向量组的线性相关性§1

n维向量一、n维向量的概念

定义1

n个有次序的数所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数称为第i个分量。当前305页，总共541页。列向量＝α行向量零向量负向量当前306页，总共541页。二、n维向量的运算定义2设n维向量1)2）3)其中k是数量。当前307页，总共541页。

注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的线性运算。三、n维向量的运算律设α，β，γ为n维向量，k、l为实数，0为零向量。1)α+β=β+α2)α+β+γ=α+(β+γ)3)α+0=α4)α+(–α)=0

5)1·α=α6)k(lα)=(