2021年山西省长治市西仵中学高二数学理联考试卷含解析

2021年山西省长治市西仵中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则“”是“”的(

)条件

A.充分而不必要

B.必要而不充分

C.充要

D.既不充分又不必要参考答案：A略2.△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：B【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC?sinC∴sinC=1，C=90°．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选B．3.已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是

（

）

A．

B．1

C．2

D．3参考答案：B略4.如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（）x3456y2.5m44.5A.4 B.3.15 C.4.5 D.3参考答案：D【详解】因为线性回归方程=0.7x+0.35，过样本点的中心，，故选D.5.已知：成立,：函数(且)是减函数,则是的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C.充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A6.如图是一组样本数据的茎叶图，则这组数据的中位数是（）A.39

B.36C.31

D.37参考答案：B7.一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编为1～50号，为了解他们在课外的兴趣爱好。要求每班是40号学生留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（

）A．分层抽样

B．抽签法

C．随机数表法

D．系统抽样法参考答案：D略8.中，，，，则的值是（

）A．

B．

C．

D．或参考答案：B略9.若，是异面直线，，，则直线（

）A．同时与，相交 B．至少和，中一条相交C．至多与，中一条相交 D．与一条相交，与另一条平行参考答案：B10.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C解答： 解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．点评：本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知两点，，点是圆上任意点，则面积的最小值是__________．参考答案：圆，，由题意即为在圆上找一点到线段的距离最小即可，直线，，∴线段，圆心到其距离，∴圆上某点到线段的距离最小值为，，．12.已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是__________．参考答案：313.已知圆的半径为3，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，，则切线的长为

。

参考答案：14.若函数在是增函数,则实数的取值范围是_____________．参考答案：略15.某人睡午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间不长于10min的概率是

。参考答案：16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：与x轴交于A，B两点，若动直线l与圆C相交于M，N两点，且的面积为4，若P为MN的中点，则的面积最大值为_____．参考答案：8【分析】根据题意求出点A、B的坐标，然后根据△CMN的面积为4求得MN的长以及高PD的长，再利用面积公式，求得结果.【详解】当y=0时，解得x=-1或x=3，即A（-1,0），B（3,0）圆的标准方程：圆心C（1,2）半径r=△CMN的面积为4即则，即要使△PAB的面积最大，则此时三角形的高PD=2+2=4，AB=3-(-1)=4则△PAB的面积故答案为8【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及面积公式等综合知识，解题的关键是在于能否知道直线与圆的相交关系，属于中档题.17.下面的程序运行后的结果为__________(其中：“（a+j）mod

5”表示整数(a+j)除以5的余数）参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）推导出OD=OC，DE⊥OB，CF⊥OA，从而Rt△ODE≌Rt△OCF，进而∠DOE=∠COF=，由此得到S区域Ⅱ=（0＜θ＜），从而能求出θ．（2）由S区域Ⅰ=，求出S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．由此利用导数性质求出当θ=时，年总收入最大．【解答】解：（1）∵BD=AC，OB=OA，∴OD=OC．∵∠AOB=，DE∥OA，CF∥OB，∴DE⊥OB，CF⊥OA．又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF．∴∠DOE=∠COF=，又OC=OF?cos∠COF∴S△COF=?OC?OF?sin∠COF=cosθ∴S区域Ⅱ=（0＜θ＜）．由，得cosθ=，∵0＜θ＜，∴θ=．（2）∵S区域Ⅰ=，∴S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=30×cosθ=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），所以y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．当0＜θ＜时，y'＞0；当时，y'＜0．故当θ=时，y有最大值，即年总收入最大．19.某高中尝试进行课堂改革.现高一有A，B两个成绩相当的班级，其中A班级参与改革，B班级没有参与改革.经过一段时间，对学生学习效果进行检测，规定成绩提高超过10分的为进步明显，得到如下列联表.

进步明显进步不明显合计A班级153045B班级104555合计2575100

（1）是否有95%的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关?（2）按照分层抽样的方式从A，B班中进步明显的学生中抽取5人做进一步调查，然后从5人中抽2人进行座谈，求这2人来自不同班级的概率.附：，当时，有95%的把握说事件A与B有关.参考答案：（1）没有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.（2）【分析】（1）计算出的值，由此判断出没有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.（2）先根据分层抽样计算出班抽取的人数.然后利用列举法和古典概型概率计算公式求得所求的概率.【详解】解：（1），所以没有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.（2）按照分层抽样，班有人，记为，班有人，记为，则从这人中抽人的方法有，共10种.其中人来自于不同班级的情况有种，所以所示概率是.【点睛】本小题主要考查独立性检验的知识，考查分层抽样，考查列举法求解古典概型问题.属于中档题.20.若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是________参考答案：略21.已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）

证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）

设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；（3）

记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.参考答案：解析：（Ⅰ）由已知，

，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知

（*）

=

由（*）式得（Ⅲ）

又

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

又

.22.（12分）直线l:y=x-1与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,且直线l过C的焦点.(1)求抛物线C的方程.(2)若以A