2021年湖南省娄底市涟源花桥中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021年湖南省娄底市涟源花桥中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．±1 B．﹣1 C．0 D．1参考答案：B【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】复数是纯虚数，实部为0虚部不为0，求出a的值即可．【解答】解：因为复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，所以a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得a=﹣1．故选B．【点评】本题考查复数的基本概念的应用，实部为0并且虚部不为0，是解题的关键．2.设F为抛物线的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则（A）9

（B）6

（C）3

（D）2参考答案：C3.设，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知集合，，则中元素的个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C5.已如点M（1，0）及双曲线的右支上两动点A，B，当∠AMB最大时，它的余弦值为（）A．﹣B．C．﹣D．参考答案：D6.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为

(

)A．

B.

C.

D.参考答案：A7.已知，，则的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.函数y＝的图象大致是()参考答案：D9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（☆）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.如图所示的程序框图，满足的输出有序实数对的概率为(

)A. B. C. D.参考答案：B【分析】分析框图的意义结合几何概型求解即可【详解】由题知框图的意义是在内取点（x,y）,满足的概率因为与均关于原点中心对称，故概率为故选：B【点睛】本题考查程序框图，考查面积型几何概型，准确理解框图含义是关键，是基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________．参考答案：，所以，得离心率.

12.已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为

．

参考答案：解：SA=SB=SC=2，TS在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC．∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等．∵SH=，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心．SM=1，∴SO=，∴OH=，即为O与平面ABC的距离．13.已知函数，若，则

▲▲

．

参考答案：

14.设是周期为2的奇函数，当时，，则______.参考答案：略15.已知向量,则的取值范围是_______.参考答案：答案：

16.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为

．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列求和公式代入9s3=s6求得q，根据首项为1写出等比数列{an}的通项公式，从而确定出数列也为等比数列，进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和．【解答】解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，则前5项和为：．故答案为：17.（5分）在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），则a2014=．参考答案：﹣1【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：利用递推公式依次求出前8项，得到该数列是周期数列，由此能求出a2014．解：∵a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），∴a3=5﹣1=4，a4=4﹣5=﹣1，a5=﹣1﹣4=﹣5，a6=﹣5﹣（﹣1）=﹣4，a7=﹣4﹣（﹣5）=1，a8=1﹣（﹣4）=5，∴数列{an}是周期为6的周期数列，∵2014=6×335+4，∴a2014=a4=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题，解题时要注意递推思想的灵活运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：解：（1）∵f（x）=x2+x∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，∴f′（1）=3，∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，当3＜x＜4时，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=，h（4）=m﹣，∵m+，∴，即m。考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 导数的综合应用．分析： （1）求切线方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题．解答： 解：（1）∵f（x）=x2+x∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，∴f′（1）=3，∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，当3＜x＜4时，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=，h（4）=m﹣，∵m+，∴，即m。点评： 导数再函数应用中，求切线方程就是求某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．19.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线与曲线（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C1,C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知与C1,C2的公共点分别为,，，当时，求的值．参考答案：解:（1）曲线的极坐标方程为，即．曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．

…………5分（2）由（1）知，，

由，知，当，．

………10分

20.设函数f（x）=x．（1）当时，求f（x）的最大值；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，，且C为锐角，c=，求a﹣b的取值范围．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由已知可求范围，利用正弦函数的性质可求最大值．（2）由已知可求，结合C为锐角，可求C，利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，利用三角函数恒等变换的应用可求a﹣b=2sin（A﹣），结合范围，可求，利用正弦函数的性质可求其范围．【解答】解：（1），∵，∴，∴当时，．（2），∴，又∵C为锐角，∴．∵，∴，∴a=2sinA，b=2sinB，又，∴，∴，又∵，∴，∴，即．21.（本题12分）某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟.（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?参考答案：解：（I）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，则，满足的数学关系式为该二次元不等式组等价于做出二元一次不等式组所表示的平面区域（II）设公司的收益为元，则目标函数为：考虑，将它变形为.这是斜率为，随变化的一族平行直线，当截距最大，即最大.又因为满足约束条件，所以由图可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大.解方程组得,代入目标函数得.答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.

22.已知函数f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）．（Ⅰ）设x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明：f（x）＞﹣ln2．参考答案：（Ⅰ）解：∵f（x）=ex﹣m﹣ln（2x），∴f′（x）=ex﹣m﹣，由x=1是函数f（x）的极值点得f′（1）=0，即e1﹣m﹣1=0，∴m=1．

…（2分）于是f（x）=ex﹣1﹣ln（2x），f′（x）=ex﹣1﹣，由f″（x）=ex﹣1+＞0知f′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，且f′（1）=0，∴x=1是f′（x）=0的唯一零点．

…（4分）因此，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

…（6分）（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（0，+∞）时，ex﹣m≥ex﹣