初中数学中考复习 课时33 矩形、菱形、正方形

第33课时

矩形、菱形、正方形考点一矩形的性质与判定【主干必备】定义有一个角是_________的平行四边形叫矩形

直角性质对称性矩形既是_______对称图形又是_________对称图形,有_______条对称轴

角矩形的四个角都是_________

对角线矩形的对角线_________

轴中心两直角相等判定角有一个角是_________的平行四边形是矩形

有_____________是直角的四边形是矩形

对角线对角线_________的平行四边形是矩形

面积计算S=a×b(a,b分别为矩形两条边)直角三个内角相等【微点警示】

1.矩形的一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形.2.矩形的两条对角线将矩形分成面积相等的四个小等腰三角形.【核心突破】【例1】(原型题)(2018·株洲中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为________.

2.5【变形题1】(变换条件和结论)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点.若AF=4,EF=,则矩形ABCD的周长为_______.

28【变形题2】(中位线变为动线)如图,矩形ABCD中,BC=6,AB=3,R在CD边上,且CR=1,P为BC上一动点,E,F分别是AP,RP的中点,当P从B向C移动时,线段EF的长度为____.

【明·技法】矩形的判定思路(1)①若给出的图形是一般的四边形.思路一:证明有三个角都是直角.思路二:先证明为平行四边形,再证明有一个角是直角或证明其对角线相等.②若给出的四边形是平行四边形,则直接证明有一个角是直角或证明对角线相等.(2)矩形除了具有平行四边形所有的性质以外,还在角和对角线上具有自身的特性:四个角都是直角,对角线相等,矩形的一条对角线将矩形分成两个直角三角形,矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形.【题组过关】1.(2019·泉州模拟)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠AOD=120°,AC=6,则图中长度为3的线段有 (

)A.2条 B.4条 C.5条 D.6条D2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作BD的垂线,垂足为点E.已知∠EAD=3∠BAE,则∠EAO的度数为 世纪金榜导学号(

)A.22.5° B.67.5° C.45° D.60°C3.(2019·新乡卫辉模拟)如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10.P为BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,则EF的最小值为________. 世纪金榜导学号

4.84.如图,四边形ABEF中,AF∥BE,点D是BE的中点,AD与BF交于点C,AC=CD. 世纪金榜导学号(1)求证:AF=DE.(2)如果AB=AE,试判断四边形ADEF的形状.并证明你的结论.略考点二菱形的性质与判定【主干必备】定义有一组邻边_________的平行四边形叫菱形

相等性质对称性菱形既是_______对称图形又是_________对称图形,有_______条对称轴

边菱形的四条边都_________

对角线菱形的对角线_________________且每一条对角线平分_________轴中心两相等垂直且互相平分一组对角判定边有一组邻边_________的平行四边形是菱形

四条边都_________的四边形是菱形

对角线对角线_____________的平行四边形是菱形

面积计算1.S=ah(a为菱形的边,h为菱形的高)2.S=m·n(m,n分别为对角线的长)相等相等互相垂直【微点警示】

1.菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形.2.菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.【核心突破】【例2】(2019·兰州中考)如图,AC=8,分别以A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D.依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由.(2)求BD的长.【自主解答】(1)四边形ABCD为菱形.由作法得AB=AD=CB=CD=5,所以四边形ABCD为菱形.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OA=OC=4,OB=OD,AC⊥BD,在Rt△AOB中,OB==3,∴BD=2OB=6.【明·技法】菱形的性质与判定1.性质:(1)菱形的对边平行,对角相等,四边相等,常用等量代换来转换为其他的边和角求解问题,(2)利用对角线垂直借助勾股定理求线段的长.2.判定:(1)先证明四边形是一个平行四边形,再证明一组邻边相等或证明对角线互相垂直.(2)证明四条边相等或对角线互相垂直且平分.【题组过关】1.(2019·成都锦江区模拟)如图,在菱形ABCD中,∠A=130°,连接BD,∠DBC等于 世纪金榜导学号(

)A.25° B.35° C.50° D.65°A2.(2019·三明建宁县期中)如图,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为AB的中点,且DE⊥AB,AC=6,则菱形ABCD的面积是 (

)A.18 B.18 C.9 D.6D3.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.且AD交EF于点O,则∠AOF=_______度. 世纪金榜导学号

904.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为点F,连接CD,BE. 世纪金榜导学号(1)求证:CE=AD.(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由.【解析】(1)∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE,∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.(2)四边形BECD是菱形,理由如下:∵D为AB的中点,∴AD=BD,∵CE=AD,∴BD=CE,∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形,∵∠ACB=90°,D为AB中点,∴CD=BD,∴四边形BECD是菱形.考点三正方形的性质与判定【主干必备】1.正方形的性质与判定:定义有一个角是_________,一组邻边_________的平行四边形叫正方形

直角相等性质对称性正方形既是_______对称图形,又是_________对称图形,有______条对称轴

边、角正方形的四条边都_____,四个角都是_____对角线正方形的对角线互相垂直平分、且_________,每一条对角线都平分_____________

轴中心4相等直角相等一组对角判定边、角有一个角是_________,一组邻边_________的平行四边形是正方形

一组邻边_________的矩形是正方形

一个角是_________的菱形是正方形

对角线对角线_______________的平行四边形是正方形对角线___________________的四边形是正方形直角相等相等直角相等且互相垂直相等、互相垂直平分面积计算S=a2(a为正方形的边长)=_____(l为对角线长)

l22.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系:【核心突破】【例3】(2019·甘肃中考)如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE,过点A作AG⊥ED交DE于点F,交CD于点G.(1)证明:△ADG≌△DCE.(2)连接BF,证明:AB=FB.【自主解答】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADG=∠C=90°,AD=DC,又∵AG⊥DE,∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF,∴∠DAG=∠CDE,∴△ADG≌△DCE(ASA).(2)如图所示,延长DE交AB的延长线于H,∵E是BC的中点,∴BE=CE,又∵∠C=∠HBE=90°,∠DEC=∠HEB,∴△DCE≌△HBE(ASA),∴BH=DC=AB,即B是AH的中点,又∵∠AFH=90°,∴在Rt△AFH中,BF=AH=AB.【明·技法】正方形的性质及判定1.正方形的性质:(1)正方形的四条边都相等,四个角都是直角.(2)正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角.(3)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.2.正方形的四个判定方法:(1)有一个角是直角的菱形是正方形.(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.(3)对角线相等的菱形是正方形.(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.【题组过关】1.(2019·宁德模拟)如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的大小是(

)A.67.5° B.22.5° C.30° D.45°B2.(2019·苏州太仓期末)如图,等边△ABC与正方形DEFG重叠,其中D,E两点分别在AB,BC上,且BD=BE.若AB=6,DE=2,则△EFC的面积为 世纪金榜导学号(

)A.1 B.2 C.2 D.4