微积分基础知识演示文稿

微积分基础知识演示文稿当前1页，总共43页。微积分基础知识当前2页，总共43页。1.分析基础:函数,极限,连续

2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程二、主要内容多元微积分当前3页，总共43页。三、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.会运用数学能力。2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.华罗庚当前4页，总共43页。3、极限的思维方法1）计算圆的周长圆内接正n

边形Or)当前5页，总共43页。当前6页，总共43页。abxyo3)计算曲边梯形面积曲边梯形面积为当前7页，总共43页。4)无穷级数当前8页，总共43页。具备的数学素质：从实际问题抽象出数学模型的能力计算与分析的能力了解和使用现代数学语言和符号的能力使用数学软件学习和应用数学的能力当前9页，总共43页。一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的对象的全体.组成集合的事物称为该集合的元素.P（x)表示元素具有性质

第0章基本知识当前10页，总共43页。2.邻域:当前11页，总共43页。二、函数当前12页，总共43页。２．函数类别：显函数y=f(x)

隐函数F(x,y)=0

参量函数初等代数函数(只含代数运算显函数）分段表达函数单值函数多值函数基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数）.当前13页，总共43页。(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo当前14页，总共43页。(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线当前15页，总共43页。有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数当前16页，总共43页。(4)取最值函数yxoyxo

在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.当前17页，总共43页。复合函数定义:设函数y=f(u),uU，函数u=(x),xX,其值域为(X)={u\u=(x),xX

}U，则称函数y=f[(x)]为x的复合函数。代入法当前18页，总共43页。复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①—复合映射的特例②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合当前19页，总共43页。注:复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.复合函数代入法当前20页，总共43页。

初等函数定义:由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。例：不是初等函数为初等函数不是初等函数为初等函数可表为故为初等函数.当前21页，总共43页。双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.双曲函数当前22页，总共43页。奇函数,有界函数,当前23页，总共43页。双曲函数常用公式当前24页，总共43页。2.反双曲函数奇函数,当前25页，总共43页。当前26页，总共43页。奇函数,当前27页，总共43页。三.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称A为上界，B为下界。(2)单调性为有界函数.当时,称为I

上的单调增函数;称为I

上的单调减函数.当前28页，总共43页。(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,

偶函数双曲余弦记当前29页，总共43页。例1判断函数的奇偶性.解：∴f(x)是奇函数.例2设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。证明：设显然g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而

故命题的证.

当前30页，总共43页。(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数当前31页，总共43页。四.反函数若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:当前32页，总共43页。2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数当前33页，总共43页。例1

证明若函数y=f(x)是奇函数且存在反函数

x=f1(y),则反函数也是奇函数。证明：∴反函数是奇函数。例2解:当x0时,y1,当x<0时,y<1,x=y-1,当前34页，总共43页。几何解释:

数列的极限(P6):数列xn当n无限变大时，xn能无限制的接近唯一确定常数a当前35页，总共43页。n=5n=7n=11n=20当前36页，总共43页。如:唯一性,有界性,局部保号性,夹挤规则（两边夹）当前37页，总共43页。证:

用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式当前38页，总共43页。两边夹准则证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故当前39页，总共43页。两边夹法则.若则：当前40页，总共43页。例.

证明数列是发散的.

证:

用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N

时,有因此该数列发散.当前41页，总共43页。例(P10)证明若X2k-1→a,X2k→a(k→∞),

则数列{Xn}收敛于a。证：对任ε>0,ヨK1,当k>K1时X2k

落在[a-ε,a+ε]即满足|Ｘ2k-a|≤ε…(1)

ヨK2当k>