鲁棒控制系统设计

鲁棒控制设计报告学院专业报告人目目1绪论.........................................................................................................21.1控制系统设计背景21.2本文主要工作分配32一级倒立摆模型建立.............................................................................42.1一级倒立摆的工作原理42.2一级倒立摆的数学模型43鲁棒控制器设计................................................................................63.1基于Riccati方程的控制73.2基于LMI的.....................................................................74一级倒立摆系统的仿真.........................................................................94.1一级倒立摆控制系统设计94.2闭环控制系统仿真及分析105结论.......................................................................................................13-1-11.1意义。为解决一级倒立摆系统的非线性、强耦合、多变量、自然不稳定问题，本文利用H鲁棒控制实现对一级倒立摆的控制。yxLθxF图1.1一级倒立摆系统结构图本文采用的直线一级倒立摆的基本系统如图1.1当倒立摆出出现偏角后，如果不给小车施加控制力，倒立摆会倾倒。所以本文采用H鲁棒控制方法的目的是通过调节水平力F留在零点、并使摆杆的摆角为0的稳定状态。-2-1.2第一章：对一级倒立摆系统的特点、结构以及控制要求进行阐述。模型，并在系统平衡点处进行线性化，得到系统简化的状态方程。第三章：首先H鲁棒控制的基本原理，然后分别利用Riccati方程和LMI方法设计H状态反馈控制器。MATLAB计算基于Riccati方程的H状态反馈控制器和基于LMI的H状态反馈控制器，然后进行闭环控制系统的仿真并控制系统的性能分析。第五章：对本次设计进行总结。-3-22.1如图1.1所示，倒立摆装置主要由摆杆、小车以及导轨组成。导轨的一端装量为，小车位置，作用在小车上力大小为F，摆杆的长度为2，均匀材Ll质的摆杆质心是摆杆的中心。2.2在机理，利用相关的平衡方程，获得所需要的数学模型。的代数和，则摆杆绕其重心的转动方程为：sinFlcosJFl(2.1)yx摆杆在水平方向上受到的合力为：d2Fmx(xlsin)(2.2)dt2摆杆在垂直方向上受到的合力为：d2Fmgm(xlsin)(2.3)(2.4)dt2y小车在水平方向上受到合力：dx2FFMdt2y-4-将等式(2.2)(2.3)分别带入等式(2.1)和(2.4)中：mlxcosmglsin(2.5)(2.6)Jml2FMmxmlcossin2整理得到系统精确模型为：sinmlgsincosJmlFmlJml22222xJmlMmmlcos2222(2.7)MmmlgsinmlFcossincosml222JmlMmmlcos2222ml2式中，转动惯量。J3由等式(2.7)sin此选择工作点0、00、、x001，得到进一步的简化模型：JMmmMlMmmglmlJmlJMmmMl2FJMmmMl22(2.8)mgl222xFJMmmMl2以摆杆与竖直向上方向的偏角，小车的位移、摆杆摆角变化和小车的x速度(2.8)转化为状态方程的形式：xxBBu(2.9)12001000000100x式中，，uFx，，，b、ABBx000000kk1b21113kbk224JMmmMl2Mmmglm2gl2k2b1k，，21JMmmMl2Jml2k3，k。JMmmMl2JMm42-5-3H∞对于图3.1所示的系统，为控制输入，为被控量，为被控对象输出，yuz为控制输入干扰，由输入，到输出，的传递函数阵()称为增广被控对Gsyuz象，控制器为()。Kszωs)()yu图3.1控制框图H传递函数阵()的状态空间表达式如下：GsxAxBBu12zCxDDu(3.1)11112yCxDDu22121其中，，，，分别是系统的状态、控制输入扰动、控制输入、系统输出和被控量。xRnRuRzRmyRqprH满足：，使闭环系统ua)中。b)从控制输入干扰到输出的闭环传递函数()的范数小于1TsHzzT(s)1。z针对本次设计的一级倒立摆控制系统：xBBu12zDDu(3.2)1112yx取0D-6-(1)0xx有()0。xt(2)对于任意扰动LT(s)1。2z3.1设增广被控对象()的状态空间表达式为：GsxBBu12zDu(3.3)(3.4)12yxABB12(s)COD即G，设计状态反馈控制器：12IOOuKRpm定理0使闭环系统(3.3)和(3.4)内部稳K定且T(s)成立的充分必要条件是存在正定阵0满足Riccati不等式：XzAXXA2XBBXCC(XBCD)(DD)1(BXDC)0TT1TTT2T1212121212若上述不等式成立且有正定解0T(s)成立的控Xz制器为：K(DD)1(BXDC)(3.5)TT2T推论1：设增广被控对象(3.3)满足正交条件，标准设计问题有基于状态H反馈阵(3.4)的充分必要条件Riccati等式：AXXAXBBBBXCC0(3.6)TTT2T112有正定解0。若上式有正定解，则标准设计问题的解为：XHK(DD)1(BXDC)(3.7)TT2T若上述不等式成立且有正定解0T(s)成立Xz的控制器为：KBX(3.8)T23.2的线性矩阵不等式（LMI）的一般形式为()FxFxFxF0，其中011mm-7-FFR,i1,2,,m是一组给定的实对称阵；[,,,]是待求变量。xxxxmTnTii12Schur补性质：对于给定的矩阵SR并分块表示为nSSS1112SS2122其中，SR，，，0等价于0SSSR(rnr)SR(nrrSR()(nrnr)rrSSS00SSSS0且。且S1121112S1122212TT2211上述性质可以用于将非线性不等式问题转化为线性矩阵不等式问题。考虑系统xAxzCx(3.9)其中，，，分别是系统的状态、输入和输出。xRnRzRmr定理0(3.9)是渐进稳定的且从输入到输出的传递函数()满足T(s)当且仅当存在一个正定阵0满足：TsPzzzAPCTT(3.10)BPTID0TqCDIm对于本设计的控制系统(3.3)设计一个状态反馈控制器(3.4)，使得闭环系统x(ABK)xB(3.11)21zCDK)x12是渐近稳定的且从输入扰动到输出的传递函数()满足：TszzT(s)CDK(ABK)1B](3.12)z21定理3(3.3)存在一个状态反馈控制器使得闭环系统是渐近稳H定的且满足性能指标(3.12)当且仅当存在一个对称正定阵P0和矩阵使P1P2T1得下面不等式成立：APPABPPBCPDP()2BB1T1TTTT0(3.13)1122221122CPDPI1122(3.13)有解，则KPP是系统的状态反馈控制器。如果H121-8-44.1本文选取的一级倒立摆系统中，小车的质量kgmkg1，摆的质量0.1，M摆的长度m，重力加速度gms，考虑本文设计的控制系统为：/l2xBBu12zDu(4.1)12yx001000010MmmglJMmmMl20x式中，x，，kAB，x000kk2113k000k24J2mgl2JM2k，k，k3JMm2mmMlm2JM224100000010000B，00100001，D0C。10.500.500001方法1：基于Riccati方程的控制器设计。H使用MATLAB求解，需要将(3.6)转化为下列等式：0IBT1AXXAXBBXCC0(4.2)T0IT12BT210取BBB，，使用X,B,CC,R)，解得RT0112，由(3.8)得，状态反馈控制器X31.7054K。-9-方法2：基于LMI的H控制器设计。使用MATLAB中的LMI工具箱求解，由公式(3.13)解得P1-0.1747P2由得，状态反馈控制器K。KPP1214.2(0)30(0)0.2/s，x0，x0，其中摆杆的角度初始条件取oo及角速度应转变为弧度值。并在时加入控制扰动1t仿真结果1：基于Riccati方程的控制。H00)d)mar((置度角位05时间05时间320)s/)dsa/mr(1度速角(度速005时间05时间图4.1基于Riccati方程的控制系统响应曲线H-10-50入输制控05时间图4.2基于Riccati方程的控制系统控制输入H由图4.1Riccati方程的H摆角为0的稳定状态。在15s时加入扰动，系统能快速调整到稳定状态。仿真结果2：基于LMI的控制。H00)d)mar((置度角位05时间05时间210)s/)dsa/mr(度速角(度0速05时间05时间-11