第二次建模作业

/人体血糖浓度的稳定性摘要：本文主要讨论人体血糖浓度在注射速率、血液容积以及人体组织吸收共同作用下的稳定性。针对问题一，建立血糖浓度的变化率与注射速率、血液容积以及血糖浓度的非齐次线性微分方程模型.在血液容积不变，注射速率系数、注射速率和人体组织吸收系数分别是固定的常数的情况下，通过逐步微分法和极限的方法对方程的求解，求出了血液浓度关于时间的函数，进一步求出稳定点，对血糖浓度的稳定性进行讨论，此时，血液浓度是稳定的。针对问题二，建立血液容积关于时间的函数，进而得到血糖浓度变化率与注射速率、血液容积和血糖浓度的微分方程,利用数学分析中求稳定点的方法，先求解出血糖浓度关于时间的一阶、二阶导数,进而对血糖浓度的稳定性进行讨论。当血液容积随注入溶液而增加时，血糖的浓度处于不稳定状态。针对问题三，建立血液容积关于排泄速率、吸收速率、时间的函数,得到血糖浓度的变化率与注射速率、血液容积以及血糖浓度微分方程模型。利用数学分析中求稳定点的方法,先求出血液浓度的一阶、二阶导数，再进行稳定性的讨论，此时,在不同条件下，血液浓度的稳定性，需要分情况说明.关键词:血糖浓度血液容积注射速率微分方程模型稳定性一、问题的重述与分析通过对题目的分析，这个问题需要建立一个微分方程模型，在题目不同的条件下，要求对人体血糖浓度的稳定性进行讨论.问题的重述在人体注射葡萄糖时,血糖浓度的增加率会随着时间与注射速率成正比，与血液容积成反比,注射速率越大,血糖浓度增加率越大,血液容积越大，血糖浓度增加率越小;由于人体组织的吸收作用,血糖浓度的减少率与血糖浓度本身成正比,血糖浓度越大，那么血糖浓度减少率越大。第一问，在假定血液容积恒定不变的情况下，把血液容积看作一个固定的正实数,当时间趋于无限大的时候，对血糖浓度的稳定性进行讨论；第二问，血液的容积随注入溶液而增加，随着时间和注射速率的改变而改变，在这种情况下，当时间趋于无限大的时候，对关于血糖浓度的微分方程的稳定性进行讨论；第三问,考虑到人体排泄等因素，此时，血液的容积的增加具有极限值，随着时间的改变，对血糖浓度的稳定性进行讨论。1。２问题的分析在实际生活中，人体注射葡萄糖溶液时,注射速率不能无限大，血液的容积也不能无限大，正常人体血糖的浓度在一个范围内变动。在这里,为了简化问题的分析，约定注射速率为正常注射速率且是一个固定的正实数，而血液容积不能超过某一个最大值,血糖的浓度随时间的变化是有界的.再根据血糖浓度增加率与注射速率、血液容积以及血糖浓度之间的关系，可以建立一个关于血糖浓度变化率、血糖浓度、血液容积、注射速率的非齐次线性微分方程模型。在血液容积恒定不变的情况下，把血液容积看作一个固定的正实数，根据所建立的微分方程，求解出血糖浓度关于时间的函数,进一步求解出稳定点,对血糖浓度的稳定性进行讨论。在血液的容积随着溶液的注入而增加时,此时血液的容积是一个关于时间的函数，根据建立的微分方程，运用数学分析中求稳定点的方法，求出血糖浓度的稳定点以及关于时间函数，进一步对稳定性进行讨论。在考虑人体排泄等因素时，血液的容积增加具有极限值，此时,血液容积与注射速率，排泄的速率有关，根据所建立的微分方程，求解出血糖浓度以及稳定点，进一步进行稳定性的讨论。二、基本假设1．假设对血糖浓度稳定性讨论的对象是正常人体;２.假设主要考虑注射速率，血液容积，血糖浓度本身对血糖浓度的影响，忽略其他次要因素；3.假设血糖浓度随时间改变是连续可微的；4。假设注射速率是一个恒定的正实数;５．假设时间的无限大是相对的而不是绝对的。三、符号表示表1符号变量以及说明符号变量名符号含义任意时刻时间的变化量刚开始时血糖的浓度时刻血液中葡萄糖的浓度开始时刻血液的容积血液最大容积时刻血液的体积恒定的血液容积血糖浓度的变化率注射速率注射速率系数体积系数血糖减少系数排泄速率考虑排泄等因素影响时，血液容积的增加量的极限值四、模型的建立根据血糖浓度的增加率与注射速率、血液容积1／之间的正比关系,血糖浓度的减少率与血糖浓度本身的正比关系，建立以下数学模型。4。1血液容积为恒定常数时，血糖浓度的稳定性当血液容积恒为常数时，本文采用微分思想建立数学模型.设血糖浓度的变化率为，那么,则,从而有(１）人体注射葡萄糖溶液时，血糖浓度的增长率与注射速率成正比,那么（2)血糖浓度的增长率与血液容积成反比比，那么(3)由于人体组织的吸收作用，血糖浓度的减少率与成正比，那么（4)则（5)所以所建立的模型为(6)表示血糖浓度的变化率与注射速率、血液容积、血糖浓度本身有关，并且是关于时刻的函数。4。2血液容积随注入溶液而增加，血糖浓度的稳定性补充假设假设血液容积的增加量随着时间的增加而减小。建立模型当血液的容积随着溶液注入而增加时，血液的容积随时间的变化而变化。设血液最大容积为，那么血液容积随着时间变化的函数为（7）血糖浓度的增长率与血液容积成反比比，那么（8）此时,血糖浓度的增长率与注射速率成正比,血糖浓度的减少率与成正比，即(2）、（４)式仍然成立，所以(９)而所以，建立的数学模型为代入第(7）式得(１0）表示血糖浓度的变化率与注射速率、血液容积、血糖浓度本身有关,血糖浓度的变化率随着时刻的变化而变化。4．3排泄等因素引起血液容积增加有极限，血糖浓度的稳定性当考虑到人体排泄等因素对血液容积的影响时，设血液容积的增加量的极限值为,据题意知（11)设排泄速率为,那么（12）根据血糖浓度的增长率与注射速率成正比,血糖浓度的减少率与成正比，即(2）、(4)式仍然成立，即而所以建立的数学模型为(13)这个模型是血糖浓度的变化率与注射速率,血液容积以及血液浓度本身的关系式，是关于时刻的函数。五、模型的求解根据所建立的数学模型,通过微分方程的解法分别对模型进行求解，进一步进行对血糖浓度的稳定性的讨论。5．1血液容积为恒定常数时，讨论血糖浓度的稳定性求解模型（1４）令(１５)所以,血液浓度的平衡态为.(16)此时，血糖浓度趋于平衡态,所以血糖浓度稳定。5。2血液容积随注入溶液而增加，讨论血糖浓度的稳定性当时,令,(17）对两边求导（18)而，所以此时，血糖的浓度不稳定。５.３排泄等因素引起血液容积增加有极限,讨论血糖浓度的稳定性当时，令则,（19)方程两端对求导则（２0）当时，,此时，血糖的浓度稳定；当时，,此时，血糖的浓度不稳定。六、模型结果与分析本文根据以上模型的建立于求解，分别对血糖浓度的稳定性在血液容积变化的不同情况下进行了讨论,并且得到了相应的结果,以下给出模型的求解结果，进一步对模型分析。6.1模型的结果当血液的容积为一恒定的常数时,当时,血糖浓度,此时，血糖的浓度处于稳定状态;当血液容积随注入溶液而增加时,当时，血糖浓度不稳定，此时，血糖的浓度处于不稳定状态；当血液容积由于排泄等因素引起血液容积增加有极限值时,当时，若，则血糖的浓度处于稳定状态;若，则血糖的浓度处于不稳定状态。6．2模型分析根据题意,随着血糖浓度的变化率建立微分方程模型，并随着血液容积的改变而不断改进模型.由于血液浓度的改变，分别得到了血液容积为常量，随注入溶液的改变，随排泄以及注入溶液改变三种情况下的血液浓度，并分别对三种情况下血液浓度的稳定性进行了讨论。由于当血液容积时变量时，此时建立血液容积与时间的函数是一个预测趋势的函数，不能比较具体准确的描述血液容积的变化，这对模型的稳定性讨论产生了偏差。在血液容积为一个常量时，能够描述出血糖的变化趋势以及稳定性。七、模型的评价和改进模型的优点：所建立的数学模型,在题目所给的背景下，结合实际，能够用数学语言与符号比较具体的阐述了题中血糖浓度变化率与血液容积、注射速率以及和血糖浓度本身的关系，通过对模型的求解,能够说明血糖浓度在人体中的稳定情况。模型的缺点：所建立的数学模型,没有选取一个标准作为对照，在题目中有些量之间的关系表现形式比较模糊,有些地方对题目的条件的考虑过于复杂，使模型复杂，求解过程中没有具体的给出血糖浓度的误差。模型的改进：模型需要改进主要以下几点：在模型的建立过程中，应该尽量选定一个标准，通过所选的标准，对血糖浓度的稳定性进行讨论；在用数学语言表达题目中的各变量之间的关系时，应该力求更加的清晰与准确，尽量减少模型的模糊性；在模型的求解过程中，为了使血糖浓度的稳定性分析更加逼真、准确，应该进行相对准确的误差分析。八、模型的应用与推广本文通过对人体血糖浓度的变化率在不同